2021届新高考数学考前最后模拟03（解析版）-2021年新高考数学考前压轴冲刺（新高考地区专用）.pdf

2021届新高考数学考前最后模拟03本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合4=0|兰3 0，B=x|y=log2(/-2 x-3),则 A C B=()x-1A.r|-2 x -1 B.x|-1 1 C.x-2 x 0=.很3,，A n8=x|-2Wx-1.故选：A.【知识点】交集及其运算2.若复数z 的虚部小于0，lz|=巡，且 z S=4,则 iz=()A.l+3z B.2+i C.1+2/D.1 -2i【答案】C【分析】设 z=+4(m/?GR,b 0),由己知列式求得小。的值，则答案可求.【解答】解：设 z=+4(，/?GR,bVO),4.定理汇编是一本十分重要的书籍，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上的三个半圆由己知可得a?+b 5,解得产21 2 a=4 l b=-l(b 2），如图所示,在大半圆。内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为，则口 的值为（A.3-B.3+73C.2-V3D.2+V3【答案】D【分析】根据圆的面积以及在大半圆。内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为短，得到W 和 二 的值,3 R R作商即可.【解答】解：山题意得：r2 3-V3故选：D.【知识点】几何概型5.已知函数）=$诂（3*+。）。$（3乂+）（30,1。1 根据 W 3,即可求得的最大值.【解答】解：求导，f (x)=aX L，X X当a W O或0 a 4工时，f(x)VO在犬曰1,e 恒成立，从而/(x)在 1,e 单调递减，f(x)min=f C e)=ae-1=3,解得a.生(-8,1 ,不合题意，e e当!1时，/(x)在 1,e 单调递增，所以f(x)nun=f(1)=。=3 1,满足题意，所以4=3,所以f(x)=3x -Inx,x G l,e ,所以f(x)min=f(1)=3,f(x)max=f(e)=3e-1,依题意有(n-l)f(x),而“W/(x)m a x,即(n-1)3W 3e-1,得 ne，又因为 6N*,所以W3,所以的最大值为3,故选：B.【知识点】利用导数研究函数的最值二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.共享经济的商业模式在全球范围迅速崛起，以Uber,Airbnb为代表的共享经济商业平台，以超乎想象的速度在影响和改变着人们的生活方式、商业的运行模式、组织管理模式，也对传统的领域带来了巨大冲击和压力.某共享汽车公司为了解大众家庭在汽车共享方面的支出情况，随机抽取了 个家庭进行调查，结果显示这些家庭的支出都在 1 0,50)(单位：元)，其频率分布直方图如图所示，则以下说法正确的是()|频率/组距0.0 37 卜-1-I0.0 23 I-0.0 1 0 01 0 20 30 40 5()支出/元A.若=20 0,则支出在 40,50）（单位：元）的家庭有60 个B.调查的这些家庭的支出的平均值为33.8 元C.若支出在 30,50）（单位：元）的家庭的有67人，则调查的家庭共有1 0 0 个D.调查的这些家庭的支出的中位数约为31.35元【答案】A C【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系和平均数、中位数计算公式即可解答.【解答】解：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系和平均数、中位数计算公式可得：支出在 40,50）（单 位:元）的频率为 1 -（0.0 1+0.0 23+0.0 37）X 1 0=0.3,则频数为 20 0 X 0.3=6 0,故选项A正确；调查的这些家庭的平均消费值为 1 5X 0.0 1 X 1 0+25 X 0.0 23 X 1 0+35 X 0.0 37 X 1 0+45 X 0.0 3 X 1 0=33.7（元），故选项8错误：由图知 1 0,30）的频率为（0.0 23+0.0 1）x 1 0=0.33,30,50）的频率为 1 -0.33=0.67,所以=S r=1。,故选项C 正确；0.67 1 0,30）的频率为（0.0 23+0.0 1）X 1 0=0.33,可知中位数应该在 30,40）内,则有 0.0 1 X 1 0+0.0 23X 1 0+（x-30）X0.0 37=0.5,解得 x-34.59,故选项。错误，故选：AC.【知识点】频率分布直方图1 0.抛物线C：/=2 p y 的焦点为尸，P为其上一动点，当 P运 动 到（/,1）时，|P F|=2,直线/与抛物线相交于A,B两点，点 M（4,1）,下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为好=8），B.I P M+I P 月的最小值为6C.当直线/过焦点尸时，以A F为直径的圆与x轴相切D.若过A,8 的抛物线的两条切线交准线于点T,则 A,8 两点的纵坐标之和最小值为2【答案】C D【分析】由抛物线的定义、性质根据题设条件逐个选项验证正误即可.【解答】解：由题设知：/冏=1+5=2,解得：p=2,.抛物线方程为/=4y,故选项A 错误；连接F M交抛物线于点P,此时|P M|+|P/q 的值最小为4,故选项B错误：如右图所示，设 G为 4 尸的中点，过点A 作 AC J _ 抛物线的准线/于点C,交 x轴于点。，过点G作 G D J uX轴于点。，：.DG=（|O F|+|A2|）=AC=AF,故以A F为直径的圆与x轴相切，故选项C正确；设点A（x i，y i）,B（X 2，）2）,由/=4y即y=&2 得：9=口，则切线A T的方程为y -y i=54 2 2x i （x -X i ）f.1 1 211 1 1 y2xlxTxl即 尸 排 x-52,同理可得切线8 7 的方程为 广 如 -会 2,由,解得：N d k Z J L x 2yx2xx2，一 中2x=2 不-上不是单调函数，C 错误；将函数y=2s i n2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的，得y=s i n2x的图象；2JT JT TT再把所得函数图象向左平移W 个单位长度，得丫=$皿2(x+W)=s i n(2/:)的图象，12 12 6即函数/(X)的图象，所以。正确.故选：BD.【知识点】函数y=As i n(x+q)的图象变换、正弦函数的奇偶性和对称性、两角和与差的三角函数eX-l x m12.已知函数/(x)=(正R,e为自然对数的底数)，则()-x-4 x 4,xmA.函数f(x)至多有2个零点B.函数/(x)至少有1个零点f(x,)-f(x2)C.当机-3时，对 为会及，总有-二-=-炉-以-4的图象如图所示，当布0时，函数f(x)只 有1个零点，当-2 V/n W 0时，函数/(x)有2个零点，当,2时，函数/(x)只 有1个零点，故选项A 8正确；当-3时，函数/(x)为增函数，故选项C正确;当,=0时，f(f)=0,0=-2,=0，当f(x)=h=-2时，该方程有两个解，当f(x)=e=0时，该方程有两个解，所以方程况/(x)=0有4个不同的解，故选项O错误.故选：ABC.【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的应用三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.辐子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辐轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动短轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为一.【分析】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为a,6,c,d,e,f,甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，利用列举法求出基本事件有3 6个，其中这两人选的叶齿对应的“度”相同的有6个，由此能求出这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率.【解答】解：记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为a,h,c,d,e,f,甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则基本事件有：(a,a),(a,b),(a.c),(a,d),(a,e),(a,7)(/?(a),C b,/?),(b,c),(.b,d),(b,e),(Z?,/).(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c.e),(c,/),(d,a),(d,b),(d,c),(4,d),(4,e),(d,/),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e),(e,/),(/,a),(/,b),(/,c),(/,d),3,e),(/,f),共 3 6 个，其中这两人选的叶齿对应的“度”相同的有6个，故这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率36 6故答案为：士 .6【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率1 4.如图，正方体A B C。-A B i G O i的棱长为6,点尸是棱A4的中点，A C与8。的交点为O,点例在棱B C上，且8 M=2 M C,动 点T(不 同 于 点 在 四 边 形ABC。内部及其边界上运动，且T M L O F,则直线SF与T M所 成 角 的 余 弦 值 为.【分析】建立空间直角坐标系，设T(x,y 0),由0F=0.可得出x与y的等量关系，再求出|c o s 及 了,元 1的值，即可得解.【解答】解：以A为原点，AD,AB,44所在的直线分别为小y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,贝I J S (0,6,6),F(0,0,3),M(4,6,0),O(3,3,0),设 T(x,y,0),则 币=(4-x,6-y,0),B-p=(0,-6,-3),而=(-3,-3,3),JTMLOF,TM*0 F=0,即-3(4-x)-3(6-y)=0,Ay=10-x,TM=(4-x,x-4,0),_ _ B i F TM _6()|cos|=|I I-I =I =-I =IIB F|TM|V36+9 v(4-x)+(x-4)-6(x-4)35 XV2 lx-4|.点 T 与点 M 不重合，.X-4W0,.IcosV瓦了，T M|=S,1 5.直线B尸 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 逗.5故答案为：叵.5【知识点】异面直线及其所成的角15.如图，平面A8CL平面8C O E,四边形BCDE为矩形，BE=2,BC=4,2XABC的面积为2 ,点尸为线段。E 上一点，当三棱锥P-A C E的体积为退时，器=.3 DE-【分析】过 A 作 4 尸，8 c 的延长线，垂足为F,证 明 平 面 8C Q E,再由已知求得4 F,进一步求出三棱锥 力-ACE的体积，利 用 瞿 孝 妊 求 得 粤，进一步得到答案.DE VD-ACE DE【解答】解：如图，过 4 作 4尸，8 c 的延长线，垂足为尸，.平面 A8C_L平面 B C D E,平面 A8CC 平面 BCDE=BC,平面 BCDE,由 BE=2,BC=4,ZVIBC 的面积为 2 ,得/BC AF=2加，:.A F=M，则 WE =WE 4 XfX D E X B E X 研=4 Xf *4 X 2 X 考;V VP-ACE=VA-PCE 4 XPE XBE X AF哼.返.PE.VA C E _ 3 _1 DP 3.而 飞 嬴 三 N施N3【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积JT16.已知函数f(x)=Acos2(a)x+(p)+1(A0,u)0,0 (p )的最大值为 3,/(x)的图象与 y 轴的交点坐标为（0,2）,其相邻两条对称轴间的距离为2,则/（1）V（2）=_【答案】3【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=-1cos（23X+2P）+1+A,由函数的最值求出A,由周期求出3,由特殊点的坐标求出 0,a)0,0(p =.4又 /(幻 的 图 象 与 y 轴的交点坐标为(0,2),可得：c o s (2(p)+1+1=2,j l 7 T 7 T/.c o s 2q)=0,由 0 pVy,可得 2(P=F-,解得：(p =-2 2 4TT TT TT.,.函数的解析式为：/(x)c o s ()+2=-s i n 1r+2,TT 2兀(1)+/(2)=-(s i n 4-s i n-y-)+2 X 2=-1+4=3.故答案为：3.【知识点】三角函数的最值、余弦函数的单调性、余弦函数的图象四、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.已知 4 8 C,它的内角A,B,C的对边分别为小b,c,且 3a=J c,=,_.6 a s i n 8=3；当 x=B 时，函数/(x)=c o s 2x+s i t i r c o s x+2取得最大值.在这两个条件中选择一个补充至上述横线上，求解下述问题：若问题中的三角形存在，能否求出边c 的值？若能，请求出边c 的值；若不能，请说明理由；若问题中的三角形不存在，请说明理由.【分析】由已知结合余弦定理可得6的值，当补充至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求s in B,进而可求a的值，可求c 的值；当补充至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求c o s 结合分TT TT CBe(0,T T),可 得 化 简 函 数 解 析 式 可 得/(x)=cos (2x-)+得，利用余弦函数的性6 3 2质即可求解.【解答】解：因为。=返 以 结合余弦定理可得c o s A=Y =b2+c2-a2,整理可得按-遍 儿+?/=(),3 2 2bc 3即(6-返0)=0,解得6=返、，或 生 巨c,3 3 3 3当补充至条件中时：当人=义1 时，由余弦定理可得COSB=T -=，?，则$诂8=上，再由a s in 8=3,可3 2 a c 2 2得a=6,可得?=6巧；L 2 2 2当6=2为3 c时,由余弦定理可得cos B=*+c 殳 _=0,则s in B=l,再由a s in B=3,可得。3 2 a c=3,可得 c=3“，综上可知三角形存在，且可求得c=6“或3 y.当补充至条件中时：当6=返、0寸，由余弦定理可得c o$8=S /f=返，由(0,n),可得8=工；3 2 a c 2 6当b=2愿c时，由余弦定理可得cos B=a+。-=0)由Be (0,n),可得8=二；3 2 a c 2因为/(x)=cos 2 x+V s ia r cos x+2=1 2 Z s in 2 x+2=cos (右-)+-1-.TT TT TT要使f(x)取得最大值，只需2 x-k=2 K r,在Z,解得x=E+k，k E Z,所 以 3=-T-时,3 6 6满足条件，综上所述，这样的三角形存在，但这样的三角形彼此相似，有无数多个，故无法确定边长c的值.【知识点】两角和与差的三角函数、余弦定理、正弦定理S S18.已知数列 斯 的前“项和为5”,0=3,且一士-上：=1(22,nGN*).n n-1(1)求数列伍 的通项公式;（2）设 为=-数列 儿 的前项和为北，求刀,.（V3）n【分析】本题第（1）sn题根据题干已知条件可判断出数列 2 是以3为首项，1为公差的等差数列，即可计n算S”的表达式，再根据公式4“=SS“T（”2 2,n G N*）,并结合0=3,即可计算出数列 斯 的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 小 的通项公式并进行转化，然后两次运用错位相减法即可计算出前项和7；的表达式.【解答】解：（I）由题意，可知S,a 的底面是边长为2的正方形,且平面SAC平面ABC D,M,N分别为棱AD,的中点，P,Q为侧棱S。上的三等分点.(1)求证：P N平面M Q C；(2)若S 4=S =J 5，求二面角O-S 4-N的余弦值.【分析】(1)连接NO交CM于点R连 接Q R,M N,根据条件得到P N。凡 利用线面平行的判定定理,即可证明P N平面M Q C成立；(2)先根据条件，证 明S M _ L平 面4 8 C D,然后建立空间直角坐标系，利用向量法，求出二面角O-S A-N的余弦值.【解答】解：(1)证明：如图，连接N。交CM于点R,连接Q R,MN.在正方形A 8 C O中，M,N分别为A D,8 c的中点,二四边形MNC。为矩形，；./?为 N C的中 点.又 Q 为 P D 的中点、，：.PNQR.：QRu平面 MQC,PNC平面 MQC,.PN平面 MQC.(2),/S A S A D2,SAZ)为等腰直角三角形.连接 SM,为4。的中点，J.SMLAD,.SM=.又平面SAOJ_平面48CZ),；.SM_L平面ABCD以4 为坐标原点，AB,4 0 所在直线分别为x,y 轴，过点A 且与平面A B C D垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 4(0,0,0),N(2,1,0),D(0,2,0),S(0,I,1),SNA N=(2,1,0),A S=(O,1,1)设E=a，y，z）为平面S A N 的法向量,n,A N=0,则 _ _ _ _ _ _r ij A S=0,CX0）取 尸 3 则M（-l，2,-2）.又平面S A O 的一个法向量为 2=（1，0，0）,易知二面角D -SA-N为锐二面角，故二面角D-S A-N的余弦值为O【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面平行2 1.已知抛物线C：y2=2 p x的焦点与圆x2+/-2 x-3=0的圆心重合.（I ）求抛物线的方程;（H）y=2与抛物线C的交点为A,点/，N为 C上两点，且 心,叶 妹=-1 （/CAM，f e w 分别为直线A，A N的斜率），过点A 作 A CMN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|Q Q|为定值.【分析】（I）将圆的方程配方求得圆心，进而得到抛物线的焦点，即可得到所求抛物线的方程；（I I ）分斜率存在和不存在两种情况，设直线方程，与抛物线的方程联立，由斜率关系和韦达定理，得到直线方程中,6的线性关系，可得直线MN过定点，然后再运用几何关系，即直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得点。.【解答】解：（I ）/+）2-陵-3=0即（x -1）2+/=4,可得圆心的坐标为（1,0）,即有抛物线的焦点坐标为（1，0）,即5=1，可得P=2,则抛物线的方程为）2=4x；（II）证明：由题意可得A（1,2）,当直线MN的斜率存在时，由题意可得MN的斜率不为0,设直线MN的方程为y=心:+人(&#0),M(x i，y i)N(及，及)，y=kx+b联立，9,消去y可 得 以2+(2心-4)x+b 2=o,.y=4x=1 6-1 6奶=0,故她V I,mil,_4-2kb b2则 X l+X 2 =-Z-X|X 2 =-7，kJ kz消去x可得。仃+皿=。，=1 6-1 6 e 0,故妨 1,则 y+yz=所以 +=-1,xl x2-l整理可得(y i -2)(1 2 -1)+(m -2)(x i -1)=-(x i -1)(%2 1)即(f c n+b)+x i (kx2+h)-2 (x i+x 2)-(y i+、2)+4=-.也+(x i+1 2)-1，即(2左+1)为 冗2+(/?-3)(x i+x 2)一 (y i+y 2)+5=0,即(2 A+1”+即-3 A4-攀.+5=0,k2 k2 k整理可得 5k 2+6妨+4b-4*-1 2=0,即(k+b-2)(5A+6+6)=0,由题意可得MN不过点A,故A+-2 W 0,所以次+H 6=0,则直线MN的方程为y=&(x-5)-6,所以直线MN过定点尸(5,-6)；当直线M N的斜率不存在，设方程为x=t,则 M(n 2/),N(n -2 V t).由 kAM+kAN=-1 可 得 经Y E+丝YE=-,1-t 1-t4.即:二 二-1，解得f=5,也过定点P (5,-6),1-t综上可得，直线MN过定点P (5,-6).取A P的中点Q,则Q（3,-2）,此时始终有|。|=/依2|=2加 为 定值.【知识点】直线与抛物线的综合、抛物线的标准方程2 2.设函数f（x）=（a x-a）eX（&e R）,其中e为自然对数的底数.X（1）当。=0时，求函数f G）的单调减区间；（2）已知函数/（X）的 导 函 数/（X）有三个零点汨，X 2，X3（X 1 X 2 X 3）.求。的取值范围；若 如，加2 （如 机2）是函数/（X）的两个零点，证明：X l /n i X +l.【分析】（1）将4=0代入/（x）中，然后求导，再由/G）vo得到/（X）的单调递减区间；（2）对/（X）求导，然后构造函数g（X）=0-x+l,再根据/（X）有三个零点X|,X 2，X 3（X|X 2 0）,进一步证明加皿 V x i+1.A、（1-v）pX【解答】解：（1）当。=0 时，f（x）=-=一，其定义域为（-8,0）（J（0,+o o）,f （x）=u X；e.x x2令:（x）L .（x）的单调递减区间为（1,+8）.由f （x）=（a x-a）e、,得f （x）=Q 掾 一，x x2设g（X）=如3 _+1,则 导 函 数/（X）有三个零点，即函数g（X）有三个非零的零点.又 g （x）=3 6 2-1,若“W 0,则 g （x）=3 5 2-i v o,:g（X）在（-8,+8）上是减函数，g（X）至多有1个零点，不符合题意，q 0.令g (x)=0,x=,则当 xe(-c o,一 舟。后403）时，g（X）0;当 XC（_g(x)0),且 p(7?i)=p(i2)=0,m m2=-又;如 V，*,加 V 0 V xV如或工观2 时，p(x)0：如 V xV/z 时，p(x)0,X|0X2 0,p(xj+l)=a(x j+1)2-a(x1+l)-l=-0,Xi成立.【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值