直线参数方程t的几何意义 2中学教育高考中学教育中学课件.pdf
利用直线参数方程 t 的几何意义 1、直线参数方程的标准式(1)过点 P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程是 s inc o s00tyytxx （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段PP0的数量，P(yx,)P0P=t P0P=t 为直线上任意一点.(2)若 P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、t2，则 P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3)若 P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为 t1、t2、t3 则 P1P2中点 P3的参数为 t3221tt,P0P3=221tt (4)若 P0为 P1P2的中点，则 t1t20，t1t20 时，点 P在点 P0的上方；当 t 0 时，点 P与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的右侧；当 t 0 时，点 P与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的左侧；问题 2：直线l上的点与对应的参数 t 是不是一 对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数 t 便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.问题 3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2，则 P1P2？，P1P2=？P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2=t2t1 问题 4：若 P0为直线l上两点 P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为 t1、t2，则 t1、t2之间有何关系？根据直线l参数方程 t 的几何意义，P1Pt1，P2Pt2，P0为直线l 上两点 P1、P2的中点，|P1P|P2P|P1PP2P，即 t1t2,t1t20 一般地，若 P1、P2、P3是直线l上的点，所对应的参数分别为 t1、t2、t3，P3为 P1、P2的中点 则 t3221tt （P1P3P2P3,根据直线l参数方程 t 的几何意义，P1P3=t3t1,P2P3=t3t2,t3t1=(t3t2,)）性质一：A、B 两点之间的距离为|21ttAB，特别地，A、B 两点到0M的距离分别为.|,|21tt 性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为221tt，若0M是线段 AB 的中点，则 021 tt，反之亦然。在解题时若能运用参数 t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离 例 1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与圆722yx相交于 A、B 两点。（1）求弦长 AB.（2）求AP0和BP0的长。x y0P0P(yx,)x y0P P0l x y0P1 P0l P2 方程是为直线上任意一点若是直线上两点所对应的参数分别为则若是直线上的点所对应的参数分别为则中点的参数为的数量若为的中点则直线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参数方程一直线的参数的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与直线反方向时同时改变符号仍成立设为参数又是所求的直线的参数方程即为参数的几何意义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且的右侧当时点与点重合当时点在点的左侧问题直线上的点与对应的参数是不是一对应关系我们把直线看作是实数轴以直线向上的方向为正方向以定点为原点以原坐标系的单位长为单位长这样参数便和这条实数轴上的点建立了一一对解：因为直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为 6sin06cos4tytx，即tytx21234，（t 为参数），代入圆方程，得 7)21()234(22tt，整理得09342tt（1）设 A、B 所对应的参数分别为21,tt，所以3421 tt，921tt，所以|21ttAB.324)(21221tttt（2）解方程09342tt得，3,3321tt，所以AP033|1t，BP0.3|2t 应用二：求点的坐标 例 2、直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为 4 的点的坐标。解：因为直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为 6sin46cos2tytx，即tytx214232，（t 为参数），（1）设直线l上与已知点)4,2(0P相距为 4 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为 t，则|0MP4|t，所以4t，将 t 的值代入（1）式，当 t4 时，M 点的坐标为)6,322(；当 t4 时，M 点的坐标为)2,322(，综上，所求 M 点的坐标为)6,322(或)2,322(.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题 例 3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于 A、B 两点，求线段方程是为直线上任意一点若是直线上两点所对应的参数分别为则若是直线上的点所对应的参数分别为则中点的参数为的数量若为的中点则直线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参数方程一直线的参数的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与直线反方向时同时改变符号仍成立设为参数又是所求的直线的参数方程即为参数的几何意义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且的右侧当时点与点重合当时点在点的左侧问题直线上的点与对应的参数是不是一对应关系我们把直线看作是实数轴以直线向上的方向为正方向以定点为原点以原坐标系的单位长为单位长这样参数便和这条实数轴上的点建立了一一对AB 的中点 M 点的坐标。解：直线l过点)0,1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数方程为 tytx22221，（t 为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 xy22中，得：)221(2)22(2tt，整理得022212tt，06)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为21,tt，由韦达定理得2221 tt，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得 2221tttM，易知中点 M 所对应的参数为2Mt，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，A、B 两点对应的参数为21,tt，则它们的中点所对应的参数为.221tt 方程是为直线上任意一点若是直线上两点所对应的参数分别为则若是直线上的点所对应的参数分别为则中点的参数为的数量若为的中点则直线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参数方程一直线的参数的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与直线反方向时同时改变符号仍成立设为参数又是所求的直线的参数方程即为参数的几何意义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且的右侧当时点与点重合当时点在点的左侧问题直线上的点与对应的参数是不是一对应关系我们把直线看作是实数轴以直线向上的方向为正方向以定点为原点以原坐标系的单位长为单位长这样参数便和这条实数轴上的点建立了一一对
