从一道二次根式方程解法说开去中学教育中考中学教育中考.pdf

从一道二次根式方程解法说开去 浙江省兰溪市永昌初中(321104)周振华 下面是一道 99 年杭州市中考试题:解方程163 xx313=3 初看此题貌不惊人，是一道常见的二次根式方程题，采用常规解法“两次平方法”即得结果。但仔细观察两被开放式，其中未知数系数恰好为互为相反数，这样就有（3x16）(133x)=29 ，如果令163 x=u，x313=v，则原方程化为一个方程组 uv=3 u2v2=29 由 得 u=v 3 ，把代入得 v23v10=0,解得 v1=2 ，v2=5 由于 v=x313 0 ，v2=5 舍去 由 v=x313=2 ,得 x=3 经检验是原方程的根 解法二中，在实行换元后，根据方程特点，独创性地构造出新方程 u2v2=29，而这点没有敏锐观察力是办不到的，也得益于两被开方式中 x 的系数为互为相反数。如果此题改为163 xx313=1，也可 用上述两种方法，但还有如下解法：考虑到两被开方式中 x 的系数相等，对于方程左边实行“分子有理化”,就能使分子为常数，因而得 xxxx31363)313()163(=1 即 xx313163=3 由163 xx313=1，xx313163=3 得163 x=2 ，x313=1 解得 x=4，经检验是原方程的根 此种解法从另外角度构造新方程：xx313163=3，但实质是令163 x=u ，x313=v ，得 uv=1 ，u2v2=3 最后得 uv=3 ，所以有xx313163=3 因而这两种解法有异曲同工之秒。熟悉上述解题思路，下面这道试题就不难了。已知215x219x=2 ，则219x2215x=(98 年杭州市中考题)解析：由已知条件，可用“两次平方法”先求得 x2，再代入所求代数式即可，但这种做法费时费力，如果整体求出215x ，219x 不是更方便吗？因此，可令215x=u (u0），219x=v（v0），则原方程化为：uv=2 u2v2=34 式变形代入得 v22v15=0 解得 v1=5（舍去）v2=3 由 得 u=5 即 219x=3 ，215x=5 所以 219x2215x=325=13 下面这道题供读者练习：解方程8532 xx1532 xx=1 (x1=1 ，x2=38)