直线与方程知识点总结中学教育高考中学教育高考.pdf
直线与方程知识点总结 一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：.与 x 轴相交;.x 轴正向;.直线向上方向.直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.倾斜角的范围000180.0,900k；0,18090k（2）直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。经过两点),(),(222111yxPyxP（21xx）的直线的斜率公式是1212xxyyk（21xx）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有1212/llkk。特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。（2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121llk k g 注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，12ll与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式)(11xxkyy),(11yx为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 bkxy k为斜率，b是直线在 y轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中),(),(2211yxyx是 直 线 上两定点 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式 1byax a是直线在 x 轴上的非零截距，b是直线在 y 轴上的非零截距 不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线 一般式 0CByAx）不同时为其中0,(BA A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线 注：过两点),(),(222111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121yyxx 且，直线垂直于 x 轴，方程为1xx；（2）若2121yyxx 且，直线垂直于 y 轴，方程为1yy；（3）（3）若2121yyxx 且，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式 若两点),(),(222111yxPyxP，且线段21,PP的中点M的坐标为),(yx，则222121yyyxxx 3.过定点的直线系 斜率为k且过定点),(00yx的直线系方程为)(00 xxkyy；过两 条直 线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl的交点的 直线 系方程为0)(222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线l2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标就是方程组00222111CyBxACyBxA的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离（1）两点间的距离 轴正向直线向上方向直线与轴平行或重合时规定它的倾斜角为倾斜角的范围直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值而倾斜角为的直线斜率不存在经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角但并不是每条直线都有斜率时与的关系为平行两条直线垂直如果两条直线斜率存在设为则注两条直线垂直的充要条件是斜率之积为这句话不正确由两直线的斜率之积为可以得出两直线垂直反过来两直线垂直斜率之积不一定为如果中有一条直线的斜率不存在另垂直于轴的直线为直线上一定点为斜率为斜率是直线在轴上的截距斜截式不包括垂直于轴的直线两点式其中是直线上两定点不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距是直线在轴上的非零截距为系数不包括垂直于轴平面上的两点),(),(222111yxPyxP间的距离公式21221221)()(yyxxPP 特别地，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP（2）点到直线的距离 点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd（3）两条平行线间的距离 两条平行线0:11CByAxl,0:22CByAxl间的距离2212BACCd （注意：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 （2）已知斜率 k 的范围，求倾斜角的范围时，若 k 为正数，则的范围为(0,)2的子集，且 k=tan为增函数；若 k 为负数，则的范围为(,)2的子集，且 k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x yB xyC xy若123ABACxxxkk或，则有 A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3.两条直线位置关系的判定：已知 0:11CByAxl,0:22CByAxl，则：（1）0212121BBAAll （2）;0,0-/1221122121CACABABAll （3）;0,0-1221122121CACABABAll重合与（4）1l与2l相交01221BABA 如果2220A B C 时，则：轴正向直线向上方向直线与轴平行或重合时规定它的倾斜角为倾斜角的范围直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值而倾斜角为的直线斜率不存在经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角但并不是每条直线都有斜率时与的关系为平行两条直线垂直如果两条直线斜率存在设为则注两条直线垂直的充要条件是斜率之积为这句话不正确由两直线的斜率之积为可以得出两直线垂直反过来两直线垂直斜率之积不一定为如果中有一条直线的斜率不存在另垂直于轴的直线为直线上一定点为斜率为斜率是直线在轴上的截距斜截式不包括垂直于轴的直线两点式其中是直线上两定点不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距是直线在轴上的非零截距为系数不包括垂直于轴(1)1221121BABAll(2)21/ll）不为0,(222212121CBACCBBAA；(3)1l与2l重合）不为0,(222212121CBACCBBAA(4)1l与2l相交）不为0,(222121BABBAA 4.有关对称问题 常见的对称问题：（1）中心对称 若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称，则由中点坐标公式得1122ybyxax 直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21/ll，由点斜式得到所求直线方程。（2）轴对称 点关于直线的对称 若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称，则线段21PP的中点在对称轴l上，而且连接21PP的直线垂直于对称轴l上，由方程组 1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx 可得到点1P关于l对称的点2P的坐标),(22yx（其中21,0 xxA）直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y换x，x换y.例：曲线0),(yxf关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf 曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf 5.两条直线的交角 直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转轴正向直线向上方向直线与轴平行或重合时规定它的倾斜角为倾斜角的范围直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值而倾斜角为的直线斜率不存在经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角但并不是每条直线都有斜率时与的关系为平行两条直线垂直如果两条直线斜率存在设为则注两条直线垂直的充要条件是斜率之积为这句话不正确由两直线的斜率之积为可以得出两直线垂直反过来两直线垂直斜率之积不一定为如果中有一条直线的斜率不存在另垂直于轴的直线为直线上一定点为斜率为斜率是直线在轴上的截距斜截式不包括垂直于轴的直线两点式其中是直线上两定点不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距是直线在轴上的非零截距为系数不包括垂直于轴到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.6.直线l上一动点 P到两个定点 A、B的距离“最值问题”：(1)在直线l上求一点 P，使PBPA 取得最小值，若点BA、位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA 若点BA、位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l上求一点P使PBPA 取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”若点BA、位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。若点BA、位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3)22PBPA 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。7.直线过定点问题：含有一个未知参数，12)1(axay 1)2(xxay （1）令202xx，将3)1(2yx式，得代入，从而该直线过定点)3,2(含有两个未知参数 0)2()3(nynmxnm 0)12()3(yxnyxm 轴正向直线向上方向直线与轴平行或重合时规定它的倾斜角为倾斜角的范围直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值而倾斜角为的直线斜率不存在经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角但并不是每条直线都有斜率时与的关系为平行两条直线垂直如果两条直线斜率存在设为则注两条直线垂直的充要条件是斜率之积为这句话不正确由两直线的斜率之积为可以得出两直线垂直反过来两直线垂直斜率之积不一定为如果中有一条直线的斜率不存在另垂直于轴的直线为直线上一定点为斜率为斜率是直线在轴上的截距斜截式不包括垂直于轴的直线两点式其中是直线上两定点不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距是直线在轴上的非零截距为系数不包括垂直于轴令1203yxyx 7371yx 从而该直线必过定点)73,71(8.点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P xy到 x 轴的距离0|dy。（2）点00(,)P xy到 y 轴的距离0|dx.（3）点00(,)P xy到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离0|dya。（4）点00(,)P xy到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离0|dxa.9.与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线)(00/CCCByAxCByAx的直线可表示为（2）平行于直线)(/bbbkxybkxy的所有直线为 10.易错辨析：（1）讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）（3）直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）（4）过点),(00yxA，平行于x轴的直线方程为0yy 过点),(00yxA，平行于y轴的直线方程为0 xx 轴正向直线向上方向直线与轴平行或重合时规定它的倾斜角为倾斜角的范围直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值而倾斜角为的直线斜率不存在经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角但并不是每条直线都有斜率时与的关系为平行两条直线垂直如果两条直线斜率存在设为则注两条直线垂直的充要条件是斜率之积为这句话不正确由两直线的斜率之积为可以得出两直线垂直反过来两直线垂直斜率之积不一定为如果中有一条直线的斜率不存在另垂直于轴的直线为直线上一定点为斜率为斜率是直线在轴上的截距斜截式不包括垂直于轴的直线两点式其中是直线上两定点不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距是直线在轴上的非零截距为系数不包括垂直于轴
