《随机信号处理》重点题目题型及相关知识点简介资格考试建造师考试高等教育工学.pdf

第一组上台讲解题目（第 2、7题）2.复随机过程0()()jtZ te，式中0为常数，是在(0,2)上均匀分布的随机变量。求：(1)()()E Z tZt和()()E Z tZ t；(2)信号的功率谱。解：(1)0000()201()()212jtjtjjE Z tZteedede 0000()2(2)202(2)201()()212120jtjtjtjtjE Z tZ teededeed (2)00()()()()2()ZZjSF RF E Z tZtF e 备注:主要考察第二章 P37,功率谱计算,第一步求期望用数学积分方法,得到 ()()E Z tZt即输出的自相关,对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱。7.一零均值 MA(2)过程满足 Yule-Walker方程：试求 MA 参数：0b，1b，2b 解：由于对于零均值 MA(q)过程而言，均值为 0，令方差为 1，其自相关函数 220(0)qxkkrb 2220120 11 202321bbbb bbbb b 220(0)qxkkrb（公式：3.2.5）2,0()0,qkk lk lxb blqr llq ()(),1xxr lrlql （公式：3.2.6）则可得：222010 11 210(0)(1)()qxqqxqxbbbrb bbbbbrb br q LLM 故由题意知，MA(2)过程的自相关函数为(0)3,(1)(1)2,(2)(2)12xxxxxrrrrrk 由此不难求得 MA(2)过程的功率谱 22122()()232kxxkszr k zzzzz（公式：2.4.14）其因式分解为：122()(1)(1)xszzzzz 根据功率谱分解定理2*()()(1/)xszQ z QZ（公式：2.5.2a），比较得传输函数：12()1Q zzz 即0121,1,1bbb 备注：本题主要考察 MA 模型满足 Yule-Walker方程的模型参数求解，根据 P54页 3.2.6 求得自相关函数值，由 P38页 2.4.14 求得复功率谱密度，因式分解，与 P39页 2.5.2a 比较得出结果。二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解第二组上台讲解题目（第 1、2、5、7题）1.某离散时间因果 LTI 系统，当输入)1()31(41)()31(x(n)1nnnn时，输出)()21()(ynnn（1）确定系统的函数 H(Z)（2）求系统单位序列相应 h（n）（3）计算系统的频率特性 H（ej）（4）写出系统的差分方程 解：（1）)41)(21()31(31413121)()()(1ZZZZZZZZZZZZXZYZH|Z|21 (2)41972192)41)(21(31)(ZZZZZZZH|Z|21 )()41(97)()21(92)(hnnnnn (3)因为 H（z）收敛域为|Z|21，包含单位圆,所以 H（ej）存在:41972192|)()(jjjjeZjeeeeZHeHj （4）21121281-41131-181-4131)()()(ZZZZZZZZXZYZH=121)(31)()(81)(41)(ZZXZXzzYzzYzY )1(31)()2(81)1(41)(nxnxnynyny 二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解备注:考察第一章数字信号基础,比较完整。2.一个方差为 1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为:，求该系统的传递函数，差分方程。解：由给定信号的功率谱，得（公式：2.5.8）其中 ，因此 与之对应的最小相位系统为：（公式：2.5.7）系统的传递函数为：差分方程为：（公式：2.5.9）备 注：参 考 P41 页 例 2.5.1。题 目 会 有 改 动，谱 分 解+一 个 系 统 21()()()()h nx nh ny n 再对输出求功率谱，()h n：P39页，新息滤波器去噪。1()h n：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。再根据 P38页 2.4.22 式对输出求功率谱。5.有一个自相关序列为()0.8lsr l 的信号 s(n)，被均值为零、噪声方差为 1的加性白噪声 v(n)干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(n)=s(n)+v(n)中尽可能恢复 s(n)，求出一阶 FIR滤波器的系数和最小均方误差。解：由白噪声与信号不相关，因此有 二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解()()()0.8()lxsvr lr lr ll 并且有()()()()0.8lxdsrlE x n s n lr l 对于一阶 FIR维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为(0)(1)20.8(1)(0)0.82xxxxxrrRrr （公式：5.3.12）(0)1(1)0.8xdxdxdrrr （公式：5.3.11）解 Wiener-Hopf 方程，得 10.4350.238optxxdhRr（公式：5.3.13）维纳滤波器的最小均方误差：2min0.435110.81 0.65240.37460.238TdxdoptJr h （公式：5.2.16）备注：典型例题，本题出自第五章。考察最优线性滤波器设计方法。参考 P97页例 5.3.1。根据 P97页 5.3.12,5.3.13。计算上有点麻烦，复习数学逆阵算法。可能改动：需求解自相关序列，白噪声方差。系统评估：从均分误差和信噪比分析。7.已知信号的 4 个样值为()x n（2,4,1,3）,试用自相关法估计 AR(1)模型参数。解：AR(1)的参数(1)a就是一阶预测误差滤波器的预测系数。一阶预测误差滤波器的结构如图所示。二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解 一阶预测误差滤波器 滤波器的输出是预测误差()()*()e nx na n，其中()x n的长度是N=4,()a n的长度是 2，所以()e n的长度是4+2-1=5(n=0,1,2,3,4)，有 10()()*()()()me nx na na m x nm=(0)()(1)(1)ax nax n=()(1)(1)x nax n (0)(0)(1)(1)exxa (1)(1)(0)(1)exxa(2)(2)(1)(1)exxa(3)(3)(2)(1)exxa(4)(4)(3)(1)exxa 上面各式中，(0),(1),(2),(3)2,4,1,3xxxx为已知数据，(1)x 和(4)x是未知数据。(1)a的选择应使预测误差功率达最小。自相关法：自相关法认为假定已知数据段之外的数据为0，预测误差功率为：()n=420()nen=22222(0)(1)(2)(3)(4)eeeee=22222242(1)14(1)3(1)3(1)aaaa =23030(1)30(1)aa 令()0(1)na，得3060(1)0a，所以(1)0.5a。备注：主要考察第 5，7 章。线性预测误差滤波器+AR模型+自相关法（P137页式 7.2.2）。二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解改动：将题中使用到的自相关法换成协方差法（P139页）第三组上台讲解题目（第 2、6题）2.已知随机信号 0X tsintA，0为常数，是0,2)的均匀分布随机变量，讨论当 A 满足系列条件时，X t的广义平稳性。（1）A为常数；（2）A为时间常数 AA t；解：（1）当 A 为常数时：20001X tsintsint02EE AAdg；（公式：2.2.1）2120 10 220120 10 220,sintsintcoscostt22cos2xRt tE AAEttA（公式：2.2.2）其中12tt，故此时 X t是广义平稳的；（广义平稳=宽平稳，指随机过程的 1 阶矩和 2 阶矩与起始参考时间无关）（2）当 AA t为时间函数时：20001X tsintsint02EE A tA tdg；12120 10 2120120 10 2120,sintsintcoscostt22cos2xRt tE A tA tA tA tEttA tA t 其中12tt，此时 X t不是广义平稳的。二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解 备注：本题出自第二章随机信号分析基础，主要考查的是该章第二节（随机过程）中的随机信号平稳性问题。其中用到的公式（2.2.1/2）在书上 P30页。其中用到的概念主要来自式 2.2.4以及 P31页中的内容。判断平稳性的两个关键性指标是：信号均值等于常数，与时间无关；信号的自相关主要取决于时间间隔，与长短和起始位置无关。6.用下列的数据矩阵和期望响应信号解 LS问题：已知1 1 1221313101x 和 1243y。解：首先计算正则方程的系数矩阵和互相关向量：1581386613612R 20918 d（公式：6.2.12/13）接着对R进行RLDL分解（参考例 6.4.1）。利用 MATLAB函数L,D=ldl(R)，可以得到：1000.5333100.86670.53851L 150001.7330000.2308D 由LDkr式（公式：6.4.26）可得解向量k和 LSE为：3.01.51.0k 1.5lsE w=？（公式：6.4.25）备注：本题出自第六章最小二乘滤波和预测，主要考查的是该章第四节（最小二乘线性预测）的相关问题。其中用到的公式分布在书上 P117-P130 页。本题参考的是 P131页的例 6.4.2题。二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解本题的主要难点在于，求解正则方程、对系数矩阵进行LDL分解。其中正则方程的式 6.2.14在 P117页，三角分解的例题 6.4.1在 P130页。第四组上台讲解题目（第 2、3题）2.一个广义平稳随机信号(n)x的自相关函数|k|0.8xrk，该信号通过一个系统函数为11(z)10.9Hz的LTI 系统，其输出为(n)y。试求：（1）输入随机信号(n)x的功率谱(w)xS和复功率谱(z)xS。（2）输出随机信号(n)y的功率谱(z)yS 解：（1）功率谱：（公式：2.4.13）(w)xS=(e)(k)ejwjwkxxkSr=|k|0.8jwkke000.80.8kjwkkjwkkkee000.80.8kjwkkjwkkkee 1110.810.8jwjwee 复功率谱：（公式：2.4.14）(z)xs=(k)zkxkr=|k|0.8 zkk 1111 0.81 0.8zz (2)功率谱：（公式：2.4.18）(z)yS=1(z)H*()S(z)*xHZ=1110.9z11 0.9z111()1 0.81 0.8zz 备注：本题出自第二章随机信号分析基础，主要考查的是关于功率谱的计算问题。其中用到的公式（2.4.13/14/18）都在书上二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解P38页。3.一个 AR（2）过程满足如下的差分方差：()=().()+()。其中，()是一个均值为 0，方差为 0.5的白噪声。（1）写出该过程的 Yule-Walker 方程（2）求解自相关函数值()和()（3）求出()的方差 解：（1）由于(1)=(1)，(2)=(2)，实二阶 AR（2）过程()的 Yule-Walker方程为：（公式：3.1.27、3.1.32）(0)(1)(2)(1)(2)(0)(1)(1)(0)110.5=0.500（2）解上述 Yule-Walker方程可得：(0)=1.2；(1)=0.8；(2)=0.2（可扩展点：依照已知模型对自相关函数进行递推求解，如求(3)、(4)等。此时用到的公式是 P53页的 3.1.30 式中 L0 的情况。）（3）因为()均值为 0，所以()的均值为零（因为 AR模型为线性模型，其输入与输出的均值满足线性关系），其方差等于平均功率，即 Var=(0)=1.2。备注：本题出自第三章随机信号的线性模型，主要考查的是关于AR 模型的计算问题。其中用到的公式（3.1.27/32）在书上P52-53页。该类题目还可以衍变为简答题，如“对经典谱估计和现代谱估计这两种方法进行比较”、“现代谱估计相比于经典谱估计的优点”（该类谱估计问题的解答请关注 P62/P134页的章节简介部分）第五组上台讲解题目（第 6题）6.我们希望从观察矢量和中估计序列。确定最优滤波器系数、误差矢量 e。解：最优滤波器系数：二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解（公式：6.2.12）（公式：6.2.13）由，得：=1=0.80770.42310.42310.2692 1018=0.46150.6154 （公式：6.2.14/15）误差矢量 e：投影矩阵为：（公式：6.2.28）（公式：6.2.29）备注：本题出自第六章最小二乘滤波和预测，主要考查的是该章第二节（线性最小二乘估计）的相关问题。其中用到的公式（6.2.12/13、6.2.14/15、6.2.28/29）在书上 P115-P120 页。本题参考的是 P119页的例 6.2.1题。注：上述题目中的相关知识点及概念如果遗漏或错误欢迎指正。请大家认真复习准备，祝你好运！二章功率谱计算第一步求期望用数学积分方法得到即输出的自相关对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱一零均值过程满足方程试求参数解由于对于零均值过程而言均值为令方差为其自相关函数公式公式则可得故由题意知过程的自要考察模型满足方程的模型参数求解根据页求得自相关函数值由页求得复功率谱密度因式分解与页比较得出结果第二组上台讲解题目第题某离散时间因果系统当输入时输出确定系统的函数求系统单位序列相应计算系统的频率特性写声激励一个线性系统产生一个随机信号该随机信号的功率谱为解由给定信号的功率谱得求该系统的传递函数差分方程公式其中因此与之对应的最小相位系统为公式系统的传递函数为差分方程为公式备注参考页例题目会有改动谱分解