2021年广西高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（附答案详解）.pdf

2021年广西高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.若z(l i)=1+3 i,贝！J z=()A.-1+2 i B.-1-2 i C.2 +2 i D.2 -2 t2 .已知集合4 =x|2/+x -1/6+/2-,*4 4 第2页，共17页1 2 .已知函数/(x)=(l/+3 x +?+l,x 0个不同的实数根，则实数。的取值范围为()A.(-1,0)B.(-|,0)C.(0,1)D.(0,|)二、单 空 题(本大题共4 小题，共 2 0.0分)x 1 2 01 3 .若 x,y 满足约束条件卜万一3 y 8 W 0,则z =2 x +y 的 最 大 值 为 .,x -y 01 4.已知圆柱的底面周长为2 兀，高为2,则 该 圆 柱 外 接 球 的 表 面 积 为 .1 5.桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号 称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客.甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2 个游玩已知“印象刘三姐”的门票为1 95元/位，“象山景区”的门票为3 5元/位，其他2 个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为 元.1 6.已 知 双 曲 线 会 =1(1 0/0)的左，右焦点分别为F i，尸 2，点PQW o)为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为S，双曲线的离心率为3,则 霜 的 取 值 范 围 是 .三、解 答 题(本大题共7 小题，共 82.0分)1 7.某公司为了解服务质量，随机调查了 1 0 0 位男性顾客和1 0 0 位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这2 0 0 位顾客所打的分数均在 2 5,1 0 0 之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数 2 5,4 0)4 0,5 5)5 5,7 0)7 0,85)85,1 0 0 男性顾客人数461 03 05 0女性顾客人数61 02 44 02 0(1)估计这2 0 0 位顾客所打分数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值为代表).(2)若顾客所打分数不低于7 0 分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于7 0 分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列2 x 2 列联表，并根据列联表，判断是否有9 9%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；吟西段需即PK2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知数列 an 满足的=1,Qn+i=册+九+1.(1)求 册 的通项公式；(2)求 数 歹!?+2阿的前 项和又.ttn19.如图，在四棱柱ABCD-&BiCi)i 中，AB=2,=4,底面ABCO是菱形,/-BAD=p 平面CC15。J 平 面 ABCD,BD 1(1)证明：C D il平面A8CD(2)求二面角4 -B B i-C的正弦值.第4页，共17页20.已知椭圆C冬+5=i(a/,0)的离心率为a且C经过点P(2%,次).(1)求C的方程；(2)已知尸为C的右焦点，4为C的左顶点，过点尸的直线/与C交于M,N两点(异于点4),若A/IMN的面积的范围.21.已知函数/(x)=ax-Inx.(1)若/(x)0在(0,+8)上恒成立，求实数的取值范围.(2)证明：Vn 6 N*,e(n+i)(n!)2e._ V2.22.在直角坐标系xOy中，曲线G 的参数方程为“一 3 c (t为参数).以坐标原点为极.y=t2-1点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的的极坐标方程为pcos。+psind-1 =0.(1)求Ci的普通方程与C2的直角坐标方程；(2)设 M,N 是Q 与C2的公共点，点 P 的直角坐标为(0,1),求 薪+息的值.23.已知函数f(x)=|2 x-l|+|2尤 +3|.(1)求不等式/(%)8的解集；(2)若/(%)的最小值为M,且正数小c 满足=M,求Q+2b+c的最大值.第 6 页，共 17页答案和解析1.【答案】A【解析】解：z(l-i)=1+3i,.上义=d+3i)(i+i)=-2+而=+2i l-i(1-0(14-0 2 故选：A.根据复数的基本运算法则进行化简即可.本题主要考查复数的基本运算，属于基础题.2.【答案】D【解析】解：4=%|-1 V%B=yy A nB =(心,|),故选：D.分别解关于A,B 的不等式，求出A,8 的交集即可.本题考查了不等式问题，考查集合的运算，是基础题.3.【答案】C【解析】解:因 为 3sin2B=2bsinAcosB,可得 6sinBcos8=2bsinAcosB,因为8 为锐角，所以6sinB=2加出4,由正弦定理可得6b=2ab,所以a=3.故选：C.由已知利用二倍角的正弦公式，正弦定理化简即可求解a 的值.本题主要考查了二倍角的正弦公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想,属于基础题.4.【答案】C【解析】解：两个单位向量落至满足|2 五一方|=百，可得：4 a2-4 a.K +K2=5-4 a-石=3,解得日7 =：，所以|有 +石|-J a2+2a-b+b2-V3 故选：C.利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可.本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题.5.【答案】C【解析】解：根据题意，=%l n =1 0 0 0 x)50 0 =1 0 0 0 x甯=1 0 0 0 x债”62 1 9m/s,故选：C.根据题意，由函数的解析式代入数据计算可得答案.本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题.6.【答案】B【解析】解：对于函数/(x)=c o s(2 x+$,夏然它的最小正周期为詈=兀，故A错误;当2%+兀4 呜在 0,)上的最大值为c o s冲 苧,故8正确；令x=,求得f(x)=0,不是最值，故C错误；当2 x+：e尊 尊，故/(%)在生方上没有单调性，故。错误，故选：B.由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题.7.【答案】D【解析】解：由题意可知抛物线的焦点坐标(1,0),由抛物线定义可知当4P l x轴时，|P F|+仍川取得最小值，最小值为：3 -(-4)=4.故选：D.利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.8.【答案】A第8页，共17页【解析】解：执行如图所示的程序框图，若输入的x e (-2,4,即当x 6(1,4 时，y=l o g2x+3 x,当x e(2,1 时，y=x2+2x 1,解可得y e (3,1 旬；解可得y e -2,2 ；故输出的y 的范围为：-2,2 U(3,1 4.故选：A.由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，可得答案.本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.9.【答案】B【解析】解：令x=l,则(2 -1)(2 +1)n =2 4 3,即3 =2 43,所以n =5,则展开式中含/的项为2/-I5-1 X C寅2 x)2 =一 3 8/,所以/的系数为一 3 8,故选：B.先令 =1,求出的值，再求出含/的项，进而可以求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.1 0 .【答案】c【解析】解：根据题意，函数/(%)=l n|x|+c o s x,其定义域为 x|x4 0 ,则有/(-x)=l n|x|+cosx=/(x),则函数/(x)为偶函数，排除AB,在区间(0,夕)上，/(%)=l n|x|+cosx=Inx+cosx,Inx 2,则/(x)0时，g(x)=2lnx+|x2 2 x +1,则g(x)=0等价于Q =2xlnx+|x3 2x2+x,令/i(x)=2xlnx 4-1x3-2x2+%,则 九(%)=2lnx-4%+x2+3,令m(x)=2lnx-4%+%2+3,则加(%)=|4 4-2%2 V 4 4=0,根。)在区间(0,+8)上单调递增，又m(l)=0,第 10页，共 17页九(X)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增,o即/l(x)在X=1处取得极小值/l(l)=-g,当X T 0时，九。)T 0,当X f +8 时，/l(x)Th(x)的大致图象如下,二当-,a 0时，关于x 的方程/i(x)=a在区间(0,+oo)上有两个不同的实数根，即关于%的方程f。)+/(-%)=0有 4 个不同的实数根.故 选:B.设g(无)=/(%)+/(-%),得到g(光)是偶函数，得到关于x 的方程g(x)=0有 4 个不同的实数根等价于g(x)在(0,+8)上有2 个零点，令g(x)=0等价于a=2xlnx+|x3-2x2+x,等价为函数/i(x)=2x/nx+炉-2产+工 的图象和直线y=a有且只有两个交点.求出仅乃的单调区间、极值，画出图象，即可得到所求”的范围.本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用函数方程的转化思想和数形结合思想方法,考查导数的运用：求单调区间和极值，画出图象，属于中档题.13.【答案】12【解析】解：由约束条件作出可行域如图,联立7 3；：8=。，解得3 4)，由z=2%+y,得y=2x+z,由图可知，当直线y =2 x +z 过 A时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2 x 4 +4=12.故答案为：12.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.14.【答案】87r【解析】解：圆柱的底面周长为2 兀，圆柱的底面半径为1,则底面直径为2,又圆柱的高为2,则圆柱的轴截面是边长分别为2 和 2 的矩形，则圆柱的外接球的半径为r =V 2.二 该圆柱的外接球的表面积为4兀x (V 2)2=8 兀.故答案为：8 兀.求出圆柱的外接球的半径，然后求解圆柱的外接球的表面积.本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查计算能力，是基础题.15 .【答案】2 10【解析】解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为:x (2 3 0+2 9 0+2 9 0+19 0+13 0+13 0)=2 10元.故答案为:2 10.利用等可能事件的概率，判断甲同学这4 个景点中任选2个游玩的概率，然后求解期望即可.本题考查离散型随机变量的期望的求法，是基础题.16 .【答案】(1,2 第12页，共17页【解析】解：因为点尸到双曲线两条渐近线的距离之积为三所以依。+3。1.叫。-3。=9 c c 9则 哗=勺，C2 9又双曲线的离心率为3,所以广=8,a2=1,所以c 2 =9,所以缁翳=1+高,l 2 l I尸 卜 2 l I尸 卜 2 1因为|P Fz|2 c-a =2,所以。剧 j W l，故1 6,6 3 5,所以有9 9%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关.【解析】（1）由题意计算加权平均数即可.（2）根据题意填写列联表，根据表中数据计算K 2,对照附表得出结论.本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题.18.【答案】解：（1）由的=1,an+1=an+n 4-1,可得7 i 2 2 时，a n -a n-i=n,可得 an=%+(a2%)+(a3 a2)+.+(an an-i)=1 +2+3+.+九=1n(n+1),即+1),n E N*；(2)由可得a+2 =七+2九=2(：/+2”，所以 Sn=2(l-|+|-|+.4-i-W)+(2+4+2n)=2(1 1)+2(1-27 1)_ 21+2n+1 2 =2n+1 _ _ _ n+17 1-2 n+1-n+1【解析】(1)由数列的恒等式和等差数列的求和公式，可得所求；(2)求得得十+2 =2 G-击)+2 再由数列的分组求和、裂项相消求和，化简整理Un 7 1 7 1 十 J L可得所求和.本题考查数列的通项公式的求法和数列的裂项相消求和、分组求和，考查转化思想和运因为平面CCi。_L 平面A B C D,平面CC15。n平面4BC。=DC,所以DE 1平面44传传，又因为CDi u 平面4 4 1 G C,所以DE 1 C Di，因为 BD H D E =D,B D、DE u 平面 A B C D,所以 C/_ L 平面 A BC D.(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系,n r 1_因 为 南=3，所以4。山。=60。，于是。也=2百,西=(0,2,2 BC=(-V3,l-0)，设平面BBiGC的法向量为沅=(x,y,z),(BB1-m=2y+2/3z=0BC -m =V3x+y=0令y=b，m =(1,V3,-1),平面4 4$iB 的法向量为元=(1,0,0),设二面角4 -BB1-C的大小为0,第1 4页，共1 7页I c os O I =黯=高=看 sin9=V l-c os20 =J l 一合 哈所以二面角为 一 BB C 的正弦值为等.【解析】(1)只须证AC垂直于平面A B C D内两相交直线B D和E D即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解.本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)将点P(2 低 次)代 入 C的方程得葭+总=1，又？=；,c2=a2-b2,a 2解得 Q=4,b =2 /3，椭圆C的方程为：-+=1.16 12(2)由题意可设直线/的方程为：x =t y +2,M Q i，%),/V(x2,y2),r x =t y 4-2联 立 方 程 组,y Z 消去 X 得：(3 t2+4)y2+1 2 t y-3 6 =0,(石+石=1-12t-3 6 儿+丫2=许,y/E4 (-4,0),S“MN=1 x 6 x|y1-y2|=3 5(乃+丫 2 3 一 4 y l y 2 =令m=7t2+1,m 1,则产=巾 2-1,e_ 72m _ 72二、AAMN=3m2+1=3m+工m72m 1,3 m+4,0,.1/(%)0等价于a 拳,令g(x)=等则 g (x)=1-lnxx2令g (x)0，解得：0 x e,令d(欠)e,故g(x)在(0,e)递增，在(e,+8)递减，故 g(x)m ax =9(e)=故实数的取值范围是色+8).(2)证明：由(1)可知:一 x 0在(0,+8)上恒成立，则x elnx=lnxe,即e”xe,当且仅当=e时成立，取 =1,2,3,几，则e 1%e2 2e,e3 3e,en ne9将上述不等式相乘可得e 1+2+3 i+n(1x2x3 xn)0=(n!)e,即6中 (n!)e，故e(n+i)(n!)2 e.【解析】(1)问题等价于a 2于，令g(x)=受，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的取值范围即可；(2)求出靖之工。，取 =1,2,3,九，累乘即可证明结论成立.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题.2 2.【答案】解：(1)由、一3 (t为参数)，消去参数f,可得y =2/1,.y=t2-l由pc os。+psind 1 =0,解得x =pcosd,y=psind,可得直线/的直角坐标方程为x +y-1 =0；(2)由(1)可得直线/的参数方程为1 2，代入y =2/l,(y =1+y t得产一净t 2 =0,设M、N对应的参数分别为“，t2，贝 亚i +t2=y,txt2=-2,则I 2异号，.1 1|P M|+|P N|Ji-tz l=Z(ti +t2)2 -4t】t2_ _ _ _ _ _ _ 两 Wi-PMPN trt2|t j二 J冷+4X2 二反.2 4第 16页，共 17页【解析】(1)把曲线a 的参数方程中的参数消去，可得普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，可得的直角坐标方程：(2)写出直线C2的参数方程，代入a 的普通方程，化为关于，的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时，的几何意义求解.本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题.23.【答案】解：(1)不等式/(X)8即为|2x-l|+|2x+3|8,当 2 号 时，2x-l+2x+3-8 2 0,解得 x N,当一 V%:时，2x+1+2x+3 8 N 0,不等式无解；Q E当 0,解得 W 5；综上，不等式的解集为(-8,-三”|,+8);(2)v 2x-1|+2x+3|2x-l-(2x+3)|=4,当(2x-l)(2x+3)。时取等号,:.a2+b2+c2=4,二(a+2b+c)2 (1+22+l)(a2+b2+c2)=24,当且仅当b=2a=2c=半时取等号，a+2b+c的最大值为2V.【解析】(1)所求不等式即为|2x-l|+|2x+3|2 8,分类讨论去掉绝对值，解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可知a?+b2+c2=4,再利用柯西不等式即可得解.本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及利用柯西不等式求最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于基础题.