抛物线高三复习专题中学教育高考中学教育高考.pdf
一、抛物线的方程 例 1求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线 x2y4=0 上.（3）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M（-3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 （4）点 M与点 F（4,0）的距离比它到直线05:xl的距离小 1，求点 M的轨迹方程 （5）斜率为 1 的直线经过抛物线pxy 2的焦点，与抛物线相交 于两点 A、B，线段 AB的长为 6，求抛物线的方程 （6）一抛物线拱桥跨度为 52 米，拱顶离水面 6.5 米，一竹排上载 有一宽 4 米、高 6 米的大木箱，问能否安全通过？（7）点P、Q是抛物线22ymx上两点，PQ垂直于这条抛物线的 对称轴，且|5OP，O为坐标原点，|6PQ，则 m的值为 （8）抛物线2axy 的准线方程是2y，则 a 的值为（）A81 B81 C8 D8（9）在抛物线ypx22上，横坐标为 4 的点到焦点的距离 为 5，则 p 的值为（）A.12 B.1 C.2 D.4（10）.已知抛物线方程为xy82，则它的焦点坐标是 ，准线方程是 ，若该抛物线上一点到y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点等于 ，抛物线上的M到焦点的距离是 4，则点M的坐标是 。（11）.抛物线24xy 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是（）A1617 B1615 C87 D0（12）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点，若 x1+x2=6,则 PQ的值为（）A.10 B.8 C.5 D.6（13）斜率为 2 的直线经过抛物线xy42的焦点，与抛物线相 交于BA,两点，则|AB 。（14）抛物线xy22上的两点BA,到焦点的距离和是 5，则线段AB 的中点到y轴的距离是 。（15）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点（m，2）到焦点的距离等于 4，则 m 的值为 .16方程22sincos1xy表示的曲线不可能是（）()A直线 ()B抛物线 ()C圆 ()D双曲线 的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?二、抛物线的定义（1）已知抛物线 x 2=4 y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点，则 PA+PF的最少值是（）A.16 B.6 C.12 D.9 （2）已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点111222()()P xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列，则有（）A321xxx B 321yyy C2312xxx D.2312yyy（3）P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点，又 F 是抛物线的焦点，A(2,5)，则PA+PF的最少值是 .（4）已知点),4,3(AF 是抛物线xy82的焦点,M 是抛物线上的动点,当MFMA 最小时,M 点坐标是 ()A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3(（5）抛物线2yx 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 A、14 B、34 C、85 D、3（6）抛物线 x 2=14y 上的点到直线 y=4x-5的距离最短，则该点的坐标为 A.(0,0)B.(1,4)C.1,12 D.(5,1)（7）已知抛物线xy42，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(),(),2211yxByx、两点，则 y2212y的最小值是 8以抛物线22(0)ypx p的焦半径|PF为直径的圆与y轴位置关系是（）()A相交 ()B相切 ()C相离 ()D以上三种均有可能 的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?三、抛物线的几何性质 1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或 2 条 D.不存在 2.如果1P，2P，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，8x，F 是抛物线的焦点，若)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则|5FP=（）A5 B6 C 7 D9 3.设O是坐标原点，F是抛物线24yx的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为 4.(山东省威海市 20XX 年普通高中毕业年级教学质量检测)抛物线,42Fxy的焦点为准线为 l，l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，ABl，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（）A33 B34 C36 D38 四、抛物线和直线的综合应用：例 1斜率为 1 的直线经过抛物线xy42的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，求线段 AB的长 的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?变式 1.斜率为 1 的直线经过抛物线pxy 2的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，线段 AB的长为 6，求抛物线的方程 变式 2.过抛物线pxy22的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切 例 2：设0p是一常数，如图，过点 Q（2p，0）的直线与抛物线pxy22交于相并两点 A、B，以线段 AB 为直径作H（H 为圆心），试证抛物线顶点 O 在H 上，并求当H 的面积最小时，直线 AB 的方程。变式 1：设 A、B 为抛物线pxy22上的点,且90 AOB(O 为原点),则直线 AB 必过xyEOFBADCH的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?的定点坐标为_.变式 2：如图所示，F 为抛物线)0(22ppxy的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，PFPA 的最小值为 8。（1）求抛物线的方程；（2）若 O 为坐标原点，问是否存在点 M，使过点M 的动直线与抛物线交于 B、C 两点。且90BOC，证明你的结论。例 3：已知抛物线xy42的准线与x轴交于 M 点，过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线与x轴交于 E（0,0 x）。（1）求0 x的取值范围；（2）ABE能否是正三角形？若能，求0 x的值；若不能，请说明理由。变式 1：已知抛物线)0(22ppxy过动点 M（0,a）且斜率为 1 的直线l与抛物线交于的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?不同的两点 A、B，pAB2。（1）求a的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB面积的最大值。例 4.(理)已知抛物线24xy的焦点为 F，过焦点 F 且不平行于x轴的动直线l交抛物线于,A B两点，抛物线在 A,B两点处的切线交于点 M，（1）求证 A,M,B 三点的横坐标成等差数列（2）求点 M 的轨迹（3）设直线 MF 交抛物线于 C,D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值（文）设抛物线 y 2=2px(p0)被直线 y=2x-4截得的弦长 AB 长为3 5。（1）求此抛物线的方程；（2）设直线 AB 上一点 Q，使得 A、Q、B 三点到抛物线准线的距离成等差数列，求 Q 点坐标；(3)在抛物线上求一点 M 使 M 到 Q 点距离与 M 到焦点距离之和最小.导数在解析几的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?何中的应用 例 1：例:2：已知过点 1,0 P的直线l与抛物线yx42交于两点11,yxA、22,yxB。1l、2l分别是该抛物线在A、B两点处的切线。M、N分别是1l、2l与直线1y的交点。求直线l的斜率的取值范围 试比较PM与PN的大小，说明理由。例 3过y轴正方向上一点 cC,0任作一直线，与抛物线2xy 交于A、B两点。一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线cyl:交于点P、Q。若P为线段AB的中点，求证：AQ为此抛物线的切线 的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?例4：已知曲线C上的动点,P x y满足到点1,0F的距离比到直线:2l y 的距离小1 （）求曲线C的方程；（）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线,EA EB，切点为A、B求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标.的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?例 5、已知抛物线24xy的焦点为 F，A、B 是直线上的两动点，且(0).AFFB过A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。（I）证明FMAB为定值；（II）设ABM的面积为 S，写出()Sf的表达式，并求 S 的最小值。例 6：设抛物线 y=4-x2与直线 y=3x 的交点为 A、B，点 M在抛物线的 AB弧上运动，设MABS达到最大值时，点 M的坐标为（p，h）（1）求过点（p，h）的切线方程；（2）证明：若与直线 AB平行的直线截抛物线 y=4-x2的弦为 CD，则 CD被直线 x=p 平分。的顶点在原对称轴为对称称的顶抛物线上到焦点抛距离离等离等离等在于轴对顶顶顶的顶求方程和值与比它直小轨迹的顶求方程值与比程斜率小轨迹经的顶过距抛物相交相交相交相交顶的顶与比顶点两段小它直线长一距离顶拱桥跨度的顶度的顶且度顶顶顶的顶它直且坐标且度的顶顶点坐则准小对称的顶度顶点坐是横小对已知到若称的顶相交该中顶表顶拱桥跨示曲不可能的顶该小?顶的顶?小两?直标且标且?该中顶?抛物?的顶的顶的顶?顶?点小两物相交相交相交相交相交的顶抛物?中一?相交的顶两?该中的顶?长一它直坐坐小原?
