一轮复习定积分教案中学教育中考中学教育中学课件.pdf
学习好资料 欢迎下载 第三讲 定积分与微积分基本定理 一基础知识梳理 1.定积分的概念：1、定积分概念 定积分定义：如果函数()f x在区间,a b上连续，用分点0121iinaxxxxxxb L，将区间,a b等分成几个小区间，在每一个小区间1,iixx上任取一点(1,2,)iin，作和1()()niiibafxifn，当n 时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x在区间,a b上的定积分，记作1,iixx()baf x dx，即1()lim()nbainibaf x dxfn，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间,a b叫做积分区间，函数()f x叫做被积函数，x叫做积分变量，()f x dx叫做被积式.注：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代 替；求和；取极限.2.定积分性质（1）()()bbaakf x dx kf x dx；（2）1212()()()()bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx（3）()()()()cbbacaf x dxf x dxf x dx acb 3.微积分基本定理 一般地，如果()f x是在,a b上有定义的连续函数，并且()()Fxf x，则()()()baf x dxF bF a，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把()(FbFa，记作()|baF x，即()()|bbaaf x dxF xF bF a.4、常见求定积分的公式（1）11|(1)1bnnbaax dxxnn （2）|bbaacdxcx（C为常数）（3）sincos|bbaaxdxx （4）cossin|bbaaxdxx（5）1ln|bbaadxxx （6）|bxx baae dxe（7）|(01)lnxbxbaaaa dxaaa且 5、定积分的几何意义 设函数()f x在区间,a b上连续.在,a b上，当()0f x 时，定积分()baf x dx在几何上表示由曲线()yf x以及直线,xa xb与x轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在,a b上，当()0f x 时，由曲线()yf x以及直线,xa xb与x轴围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分()baf x dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在,a b上，当()f x既取正值又取负值时，定积分()baf x dx的几何意义是曲线()yf x，两条直线,xa xb与x轴所围成的各部分面积的代数和.在x轴上方的面积积分时取正号，在x轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.学习好资料 欢迎下载 6、应用定积分求曲边梯形的面积 （1）如图，由三条直线,xa xb ab，x轴（即直线()0yg x）及一条曲线()yf x()0)f x 围成的曲边梯形的面积()()()bbaaSf x dxf xg x dx （2）如图，由三条直线,xa xb ab，x轴（即直线()0yg x）及一条曲线()yf x()0)f x)围成的曲边梯形的面积：；（3）如图，由曲线11()yf x，22()yfx12()()0f xfx及直线,xa xb ab，围成图形的面积公式为：.注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.7、利用定积分解决物理问题 变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数()vv t()0)v t 在时间区间,a b上的定积分，即.变力作功 物体在变力()F x的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x相同的方向从xa移动到xbab，那么变力()F x所作的功()baWF x dx.二、典型例题 题型一 定积分的定义 将和式的极限)0(.321lim1pnnPppppn表示成定积分（B ）Adxx101 Bdxxp10 Cdxxp10)1(Ddxnxp10)(题型二、微积分基本定理求定积分 1、计算下列定积分的值（1）312)4(dxxx；（2）dxxx20)sin(；（3）dxx222cos（4）44120(1)1xxdxx （235）（1）203；（2）218；（3）2 2 320|312|xdx=（C）A21 B 22 C 23 D 24 3.赢在高考第 51 页例 2 数在区间上连续用分点将区间等分成几个小区间在每一个小区间上任取一点作和当时上述和无限接近某个常数这个常数叫做函数在区间上的定积分记作即这里分别叫做积分的下限与上限区间叫做积分区间函数叫做被积函数叫做积分限定积分性质微积分基本定理一般地如果是在则上有定义的连续函数并且这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便常常把记作即常见求定积分的公式为常数且定积分的几何意义在区间上连续设函数在上当时定梯形位于轴下方定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值在上当既取正值又取负值时定积分的几何意义是曲线两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和在轴上方的面积积分时取正号在轴下方的面积积分时取负号如图所示学习学习好资料 欢迎下载 题型三、用定积分求面积 1、如图，求由两条曲线2xy，24xy及直线 y=-1 所围成图形的面积 解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于 y轴右侧图形面积的 2倍 由12yxy得 C（1，-1）同理得 D（2，-1）所求图形的面积 S=)1(4)(4 22122102dxxdxxx )443(221102122dxdxxdxx 34)124(221213103xxx 2、如图，抛物线 C1：y=-x2与抛物线 C2：y=x2-2ax(a0)交于O、A 两点若过原点的直线 l 与抛物线 C2所围成的图形面积为329a，求直线 l 的方程 解：设过原点的直线方程为 y=kx，解方程组axxykxy22，得 x1=0，x2=k+2a 当 k+2a0 时，akakdxxxakdxaxxkxS202022)2()2(6)2()3122(32032akxxakak 于是(k+2a)3=27a3，解得 k=a 所以，直线 l 的方程为 y=ax 当 k+2a0 当 x=0 时，t=0；当 x=a 时，311)(batt，又 ds=vdt，故阻力所作的功为 3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu 2 设某物体一天的温度T是时间t的函数，T(t)=at3+bt2+ct+d(a0)，其中温度的单位是C，时间的单位是小时，t=0 表示1200，t 取正值表示 1200 以后若测得该物体在 800 的温度为 8C，1200 的温度为60C，1300的温度为58C，且已知该物体的温度在 800 和 1600 有相同的变化率（1）写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式；（2）该物体在 1000 到 1400 这段时间中（包括 1000和 1400），何时温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数)(xf在)(,2121xxxx上函数y x o 1 2 2-1-1 A B C D 2xy 24xy 例 1 图 例 2 图 A xy024246812102424BPA数在区间上连续用分点将区间等分成几个小区间在每一个小区间上任取一点作和当时上述和无限接近某个常数这个常数叫做函数在区间上的定积分记作即这里分别叫做积分的下限与上限区间叫做积分区间函数叫做被积函数叫做积分限定积分性质微积分基本定理一般地如果是在则上有定义的连续函数并且这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便常常把记作即常见求定积分的公式为常数且定积分的几何意义在区间上连续设函数在上当时定梯形位于轴下方定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值在上当既取正值又取负值时定积分的几何意义是曲线两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和在轴上方的面积积分时取正号在轴下方的面积积分时取负号如图所示学习学习好资料 欢迎下载 值的平均值为21)(112xxdxxfxx，求该物体在 800 到1600 这段时间内的平均温度 解：（1）根据条件可得 T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，)4()4(TT，则 d=60，b=0，a=1，c=-3，因此，温度函数 T(t)=t3-3t+60（2）)1)(1(333)(2ttttT，当)2,1()1,2(t时，0)(tT；当)1,1(t时，0)(tT因此，函数 T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上递增，即 t=-1 是极大值点 由于 T（-1）=T（2）=62，所以 1000 到 1400 这段时间中，该物体在 1100 和 1400 的温度最高，最高温度为62C （3）根据定义，平均温度为4444360)603(81)()4(41dtttdttT，即该物体在800 到 1600 这段时间内的平均温度 60C 三、课后练习 赢在高考 数在区间上连续用分点将区间等分成几个小区间在每一个小区间上任取一点作和当时上述和无限接近某个常数这个常数叫做函数在区间上的定积分记作即这里分别叫做积分的下限与上限区间叫做积分区间函数叫做被积函数叫做积分限定积分性质微积分基本定理一般地如果是在则上有定义的连续函数并且这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便常常把记作即常见求定积分的公式为常数且定积分的几何意义在区间上连续设函数在上当时定梯形位于轴下方定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值在上当既取正值又取负值时定积分的几何意义是曲线两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和在轴上方的面积积分时取正号在轴下方的面积积分时取负号如图所示学习学习好资料 欢迎下载 数在区间上连续用分点将区间等分成几个小区间在每一个小区间上任取一点作和当时上述和无限接近某个常数这个常数叫做函数在区间上的定积分记作即这里分别叫做积分的下限与上限区间叫做积分区间函数叫做被积函数叫做积分限定积分性质微积分基本定理一般地如果是在则上有定义的连续函数并且这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便常常把记作即常见求定积分的公式为常数且定积分的几何意义在区间上连续设函数在上当时定梯形位于轴下方定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值在上当既取正值又取负值时定积分的几何意义是曲线两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和在轴上方的面积积分时取正号在轴下方的面积积分时取负号如图所示学习
