八年级一元一次不等式学生讲义中学教育高考中学教育中学课件.pdf

第四章 一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 （3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为 0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式 （6-8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组 不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。经典例题透析 类型一：解一元一次不等式组 1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。举一反三：【变式 1】解不等式组：【变式 2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别 于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将 【变式 3】解不等式组：【变式 4】解不等式：15 总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解.【变式 5】求不等式组的整数解。类型二、含参数的一元一次不等式组 2、若不等式组无解，求 a 的取值范围.于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将 举一反三：【变式 1】若不等式组无解，则的取值范围是什么？【变式 2】若关于的不等式组 的解集为，则的取值范围是什么？总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高.解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式 2，最后归结为对不等式组解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。【变式 3】不等式组的解集为x2，试求 k 的取值范围.【变式 4】已知关于的不等式组 的整数解共有 5 个，求的取值范围。于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将 【变式 5】若不等式组的解集为1x1，则(a b)2008。类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题 3、某校在一次外出郊游中，把学生编为 9 个组，若每组比预定的人数多 1 人，则学生总数超过 200 人；若每组比预定的人数少 1 人，则学生总数不到 190 人，求预定每组学生的人数。总结升华：列不等式(组)解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。举一反三：【变式 1】某饮料厂为了开发新产品，用 A、B两种果汁原料各 19 千克、17.2 千克，试制甲、乙两种新型饮料共50 千克，下表是试验的相关数据：饮料每千克含量 甲 乙 A（单位：千克）05 02 B（单位：千克）03 04（1）假设甲种饮料需配制 x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。（2）设甲种饮料每千克成本为 4 元，乙种饮料每千克成本为 3 元，这两种饮料的成本总额为 y 元，请用含 有 x 的式子来表示 y。并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料 的成本总额最小？【变式 2】某园林的门票每张 10 元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票人使用一年）。年票分 A、B、C三类：A类年票每张 120 元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C类年票每张 40 元，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次 3 元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上，试通过计 算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将 （2）求一年中进入该园林至少多少次时，购买 A类年票才比较合算。【变式 3】若干名学生，若干间宿舍，若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处；若每间住 8 人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？【变式 4】某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租车公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元，（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车 8 辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节 省的租车方案。【变式 5】解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1 和2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。在数轴上，1 和2 的距离为 3，满足方程的 x 对应点在 1 的右边或2 的左边，若 x 对应点在 1的右边，由图（17）可以看出 x2；同理，若 x 对应点在2 的左边，可得 x3，故原方程的解是 x=2 或 x=3 参考阅读材料，解答下列问题：于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将（1）方程的解为 （2）解不等式9；（3）若a 对任意的 x 都成立，求 a 的取值范围 一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧 (提高部分)已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。一、化简不等式（组），比较列式求解 例 1若不等式的解集为，求 k 值。例 2（2014 年山东威海市中考题）若不等式组的解集是 x3，则 m的取值范围是（）。A、m 3 B、m=3 C、m3 D、m 3 例 3（2014 年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1x2 的解集为，则 a 的取值范围是（）。A、a0 B、a1 C、a0 D、aa，则 a 的取值范围是（）。A、a3 D、a3 变式（2014 年重庆市初数赛题）关于 x 的不等式(2a-b)xa-2b 的解集是，则关于 x 的不等式 ax+b0 的解集为_。三、利用性质，分类求解 例 6已知不等式的解集是，求 a 的取值范围。例 7若不等式组有解，且每一个解 x 均不在-1x4 范围内，求 a 的取值范围。评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在 axb 范围内的不等式(组)，也可分 xa 或 x b 求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。四、借助数轴，分析求解 例 8（2014 年山东聊城中考题）已知关于 x 的不等式组的整数解共 5 个，则 a 的取值范围是_。变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求 a 的范围。(2)若上不等式组无整数解，求 a 的范围。于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将 例 9关于 y 的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数 t 的范围。评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图 2 中确定可动点 A、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。五、运用消元法，求混台组中参数范围 例 10.下面是三种食品 A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食品混合成 100kg，混合后每 kg 含硒不低于 5 个单位含量，含锌不低于 4.5 个单位含量。要想成本最低，问三种食品各取多少 kg?A B C 硒（单位含量/kg）4 4 6 锌（单位含量/kg）6 2 4 单位（元/kg）9 5 10 于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集求不等式的解集的过程叫做解不等式用数轴等式两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变说明在一元一次不等式中不像等式那样等号是不变的是随着加或乘的运算改变如果不等式乘以那么不等号改为等号所以在题等式不成立考点三一元一次不等式分一元一次不等式的概念一般地不等式中只含有一个未知数未知数的次数是且不等式的两边都是整式这样的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤去分母去括号移项合并同类项将