直线与方程知识点自总结中学教育高考中学教育高考.pdf
第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0.则直线l的倾斜角的范围是0 .2.倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tank.如果知道直线上两点1122(,),(,)P x yP xy，则有斜率公式2121yykxx.特别地是，当12xx，12yy时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当12xx，12yy时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当=90时，斜率k=0；当090 时，斜率0k，随着的增大，斜率k也增大；当90180 时，斜率0k，随着的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定 1.对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，有：（1）12/ll12kk；（2）12ll121kk .2.特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.直线的点斜式方程 1.点斜式：直线l过点000(,)P xy,且斜率为k，其方程为00()yyk xx.2.斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线l过点000(,)P xy且与x轴垂直,此时它的倾斜角为 90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00 xx，或0 xx.4.注意：00yykxx与00()yyk xx是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P xy，后者才是整条直线.直线的两点式方程 1.两点式：直线l经过两点111222(,),(,)P x yP xy，其方程为112121yyxxyyxx，2.截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为1xyab.3.两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4.线段12PP中点坐标公式1212(,)22xxyy.直线的一般式方程 1.一般式：0AxByC，注意A、B不同时为 0.直线一般式方程0(0)AxByCB 化为斜截式方程ACyxBB，表示斜率为AB，y轴上截距为CB的直线.2.与直线:0l AxByC 平行的直线，可设所求方程为10AxByC；与直线0AxByC 垂直的直线，可设所求方程为10BxAyC.3.已知直线12,l l的方程分别是：1111:0lAxB yC（11,A B不同时为 0），2222:0lA xB yC（22,A B不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120llAAB B；（2）1212211221/0,0llABA BACA B；（3）1l与2l重合122112210,0ABA BACA B；（4）1l与2l相交12210ABA B.如果2220A B C 时，则11112222/ABCllABC；1l与2l重合111222ABCABC；1l与2l相交1122ABAB.两条直线的交点坐标 1.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200AxB yCA xB yC.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2.方程111222()()0AxB yCA xB yC为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110AxB yC与2220A xB yC的交点.两点间的距离 1.平面内两点111(,)P x y，222(,)P xy，则两点间的距离为：22121212|()()PPxxyy.特别地，当12,P P所在直线与x轴平行时，1212|PPxx；当12,P P所在直线与y轴平行时，1212|PPyy；点到直线的距离及两平行线距离 1.点00(,)P xy到直线:0lAxByC 的距离公式为0022|AxByCdAB.2.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0lAxByC，22:0lAxByC之间的距离公式1222|CCdAB，推导过程为：在直线2l上任取一点00(,)P xy，则0020A xB yC，即002AxByC.这时点00(,)P xy到直线11:0lAxByC的距离为001122222|AxByCCCdABAB 一.选择题 1.(安徽高考)过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.过点(1,3)P 且垂直于直线032 yx 的直线方程为（）A.012yx B.052yx C.052 yx D.072 yx 3.已知过点(2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行，则m的值为（）A.0 B.8 C.2 D.10 4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线 2x-3y+4=0 垂直，则直线的方程是（）A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 5.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为，切sincos0则 a,b 满足 （）A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 6.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a=A、-3 B、-6 C、23 D、32 线的倾斜角当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为则直线的倾斜角的范围是倾斜角不是的直线的斜率等于直线的倾斜角的正切值即如果知道直线上两点不存在当时直线与轴垂直斜率注意直线的倾斜角时斜率不存在即直线与范围与斜率取值范围的一些对应问题则有斜率公式特别地是当时直线与轴垂直斜率两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线其斜率分别为有特例两条直线中一条斜率不存在时另一条斜率也不存在时则它们平行都垂直于轴直能表示垂直轴直线若直线过点且与轴垂直此时它的倾斜角为斜率不存在它的方程不能用点斜式表示这时的直线方程为或注意与是不同的方程前者表示的直线上缺少一点后者才是整条直线直线的两点式方程两点式直线过两点其方程为7.点 P（-1，2）到直线 8x-6y+15=0 的距离为（）A 2 B 21 C 1 D 27 8.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该点的坐标是 A（-2，1）B（2，1）C（1，-2）D（1，2）9.（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,lkxk ylkxy 与平行，则k得值是（）A.1或 3 B.1或 5 C.3或 5 D.1或 2 10、若图中的直线 L1、L2、L3的斜率分别为 K1、K2、K3则（）A、K1K2K3 B、K2K1K3 C、K3K2K1 D、K1K3K2 11.（05 北京卷）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的()（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 12、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 13.若直线 ax+by+c=0 在第一、二、三象限，则()A.ab0，bc0 B.ab0，bc0 C.ab0，bc0 D.ab0，bc0 14.（2005 北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y 3=0 相互垂直”的 ()A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 15.如果直线 l 经过两直线 2x-3y+1=0和 3x-y-2=0的交点，且与直线y=x垂直，则原点到直线 l 的距离是()A.2 B.1 2C.22 16.原点关于x-2y+1=0的对称点的坐标为()A.52 ，54-B.54 ，52-C.52 ，54 D.54 ，52-二、填空题 L1 L2 x o L3 线的倾斜角当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为则直线的倾斜角的范围是倾斜角不是的直线的斜率等于直线的倾斜角的正切值即如果知道直线上两点不存在当时直线与轴垂直斜率注意直线的倾斜角时斜率不存在即直线与范围与斜率取值范围的一些对应问题则有斜率公式特别地是当时直线与轴垂直斜率两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线其斜率分别为有特例两条直线中一条斜率不存在时另一条斜率也不存在时则它们平行都垂直于轴直能表示垂直轴直线若直线过点且与轴垂直此时它的倾斜角为斜率不存在它的方程不能用点斜式表示这时的直线方程为或注意与是不同的方程前者表示的直线上缺少一点后者才是整条直线直线的两点式方程两点式直线过两点其方程为1.点(1,1)P到直线10 xy 的距离是_.2.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则 a 的值为（）3.经过两直线 11x+3y7=0 和 12x+y19=0 的交点，且与 A（3，2），B（1，6）等距离的直线的方程是 。4.（全国文 16）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）三.解答题 1.已知两条直线12:12,:2416lxm ym lmxy .m为何值时,12:ll与（1）相交 （2）平行 （3）垂直 2.求经过直线0323:,0532:21yxlyxl的交点且平行于直线032yx的直线方程.3.求平行于直线20,xy 且与它的距离为2 2的直线方程。4.已知直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行，求 l1，l2之间的距离为5时的直线 l1的方程.5.已知三角形 ABC的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是 BC边上的中点。（1）求 AB边所在的直线方程；（2）求中线 AM的长（3）求 AB边的高所在直线方程。6.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形，并且两截距之差为 3 的直线的方程。线的倾斜角当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为则直线的倾斜角的范围是倾斜角不是的直线的斜率等于直线的倾斜角的正切值即如果知道直线上两点不存在当时直线与轴垂直斜率注意直线的倾斜角时斜率不存在即直线与范围与斜率取值范围的一些对应问题则有斜率公式特别地是当时直线与轴垂直斜率两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线其斜率分别为有特例两条直线中一条斜率不存在时另一条斜率也不存在时则它们平行都垂直于轴直能表示垂直轴直线若直线过点且与轴垂直此时它的倾斜角为斜率不存在它的方程不能用点斜式表示这时的直线方程为或注意与是不同的方程前者表示的直线上缺少一点后者才是整条直线直线的两点式方程两点式直线过两点其方程为 线的倾斜角当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为则直线的倾斜角的范围是倾斜角不是的直线的斜率等于直线的倾斜角的正切值即如果知道直线上两点不存在当时直线与轴垂直斜率注意直线的倾斜角时斜率不存在即直线与范围与斜率取值范围的一些对应问题则有斜率公式特别地是当时直线与轴垂直斜率两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线其斜率分别为有特例两条直线中一条斜率不存在时另一条斜率也不存在时则它们平行都垂直于轴直能表示垂直轴直线若直线过点且与轴垂直此时它的倾斜角为斜率不存在它的方程不能用点斜式表示这时的直线方程为或注意与是不同的方程前者表示的直线上缺少一点后者才是整条直线直线的两点式方程两点式直线过两点其方程为
