相交线与平行线知识点中学教育中学学案2中学教育中学学案.pdf

一、本章共分 4大节共 14个课时；（2.163.7 第 1、4周）章节 内容 课时 第五章 相交线与平行线 14 5.1 相交线 3 5.2 平行线及其判定 3 5.3 平行线的性质 4 5.4 平移 2 单元小结 2 二、本章有四个数学基本事实 1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；4.两直线平行，同位角相等.三、本章共有 19个概念 1.对顶角 2.邻补角 3.垂直 4.垂线 5.垂足 6.垂线段 7.点到直线的距离 8.同位角 9.内错角 10.同旁内角 11.平行 12.数学基本事实 13.平行公理 14.命题 15.真命题 16.假命题 17.定理 18.证明 19.平移 四、转化的数学思想 遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14 五、平移 1.找规律 2.转化求面积 3.作图（2009 年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加 dcm，如图所示已知每个菱形图案的边长10 3cm，其一个内角为 60 （1）若 d26，则该纹饰要 231 个菱形图案，求纹饰的长度 L；【解】（2）当 d20 时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】60 d L 第 19题图 相交线与平行线知识点 5.1 相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 与2 有公共顶点 1 的两边与2 的两边互为反向延长线 对顶角相等 即1=2 邻补角 3 与4 有公共顶点 3 与4 有一条边公共，另一边互为反向延长线.3+4=180 注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角 如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与不一定是邻补角.两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、垂线 定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O 垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.3、垂线的画法：过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线.注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.1 2 4 3 A B C D O 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆.如图，POAB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长.PO 是垂线段.PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条.现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.联系：具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.5.2平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作ab.2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，ba，ca bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.P A B O a b c 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.如图，直线ba,被直线l所截 1 与5 在截线l的同侧，同在被截直线ba,的上方，叫做同位角（位置相同）5 与3 在截线l的两旁（交错），在被截直线ba,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）5 与4 在截线l的同侧，在被截直线ba,之间（内），叫做同旁内角.三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型.6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.例如：如图，判断下列各对角的位置关系：1 与2；1 与7；1 与BAD；2与6；5 与8.我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.如图所示，不难看出1 与2 是同旁内角；1 与7 是同位角；1 与BAD 是同旁内角；2 与6 是内错角；5 与8 对顶角.a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C A B F 2 1 A B C 1 7 A B C D 2 6 A D B F 1 B A F E 5 8 C 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长注意：图中2 与9，它们是同位角吗？不是，因为2 与9 的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.7、两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言：32 ABCD（同位角相等，两直线平行）12 ABCD（内错角相等，两直线平行）42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”.根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：不相交的两条直线必定平行线.在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解答：错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.正确 不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：由2B 可判定 ABDE，根据是同位角相等，两直线平行；由1D 可判定 ACDF，根据是内错角相等，两直线平行；由ACFF180可判定 ACDF，根据同旁内角互补，两直线平行.A B C D E F 1 2 3 4 A B E D F C 1 2 3 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长5.3平行线的性质 1、平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补.几何符号语言：ABCD 12（两直线平行，内错角相等）ABCD 32（两直线平行，同位角相等）ABCD 42180（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离 如图，直线 ABCD，EFAB 于 E，EFCD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB与 CD 间的距离.注意：直线 ABCD，在直线 AB 上任取一点 G，过点 G 作 CD 的垂线段 GH，则垂线段GH 的长度也就是直线 AB 与 CD 间的距离.3、命题：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的组成 每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果，那么”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.有些命题，没有写成“如果，那么”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果，那么”的形式.注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述.4、平行线的性质与判定 平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补.其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线A B C D E F 1 2 3 4 A E G B C F H D 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.典型例题：已知1B，求证：2C 证明：1B（已知）DEBC（同位角相等，两直线平行）2C（两直线平行 同位角相等）注意，在了 DEBC，不需要再写一次了，得到了 DEBC，这可以把它当作条件来用了.典型例题：如图，ABDF，DEBC，165 求2、3 的度数 解答：DEBC（已知）2165（两直线平行，内错角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180（两直线平行，同旁内角互补）3180218065115 5.4 平移 1、平移变换 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征：经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.典型例题：如图，ABC 经过平移之后成为DEF，那么：点 A 的对应点是点；点 B 的对应点是点.点的对应点是点 F；线段 AB的对应线段是线段；线段BC 的对应线段是线段；A 的对应角是.的对应角是F.解答：D；E；C；DE；EF；D；ACB.思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.A D E B C 1 2 A D F B E C 1 2 3 A D B E C F 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长考点一：对相关概念的理解 对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等 例 1：判断下列说法的正误。（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7）同旁内角互补；（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（9）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（10）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（11）两直线不相交就平行；（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。练习：下列说法正确的是（）A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 考点二：相关推理（识记）（1）ac，bc（已知）_ _（）（2）1=2，2=3（已知）_=_（）（3）1+2=180，2=30（已 知）1=_（）（4）1+2=90，2=22（已 知）1=_（）（5）如 图（1），AOC=55 （已 知）BOD=_（）（6）如 图（1），AOC=55 （已 知）BOC=_（）（7）如图（1），AOC=21AOD，AOC+AOD=180（已知）BOC=_（）（1）（2）（3）（4）a b 1 1 2 3 4 a b.A C B 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长（8）如图（2），ab（已知）1=_（）（9）如图（2），1=_（已知）ab（）（10）如图（3），点 C为线段 AB的中点 AC=_（）(11)如图（3），AC=BC 点 C为线段 AB的中点（）（12）如图（4），ab（已知）1=2（）（13）如图（4），ab（已知）1=3（）（14）如图（4），ab（已知）1+4=（）（15）如图（4），1=2（已知）ab（）（16）如图（4），1=3（已知）ab（）（17）如图（4），1+4=（已知）ab（）考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算 例题 1：如图 51，直线 AB、CD 相交于点 O，对顶角有_对，它们分别是_，AOD 的邻补角是_。例题 2：如图 52，直线 l1，l2和 l3相交构成 8 个角，已知1=5，那么，5 是_的对顶角，与5 相等的角有1、_，与5 互补的角有_。例题 3：如图 53，直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OE 为BOD 的平分线，BOE=30，则AOE 为_。图 51 图 52 图 53 考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别 例题 1：如图 2-44，1 和4 是 AB、被 所截得的 角，3 和5是 、被 所截得的 角，2和5是 、被 所截得的 角，AC、BC被 AB所截得的同旁内角是 .例题 2：如图 2-45，AB、DC被 BD所截得的内错角是 ，AB、CD被 AC所截是的内错角是 ，AD、BC被 BD所截得的内错角是 ，AD、BC被 AC所截得的内错角是 。例题 3：如图 126 所示AE BD，1=32，2=25，求C 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长 考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）例题1：如图9,已知DF AC,C=D,要证AMB=2,请完善证明过程,并在括号内填上相-应依据:DF AC(已知),D=1()C=D(已知),1=C()DB EC()AMB=2()例题 2：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，AEF+CFE=180，1=2，则图中的H与G 相等吗？说明你的理由.考点六：特殊平行线相关结论 例题 1：已知，如图：AB/CD,试探究下列各图形中的关系BPDDB,.21(9)DCFMAEBNA B C D P(1)A B C D P(2)A B C D P(3)A B C P(4)A 1 B C D E F G H 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长 考点七：探究、操作题 例题：（阅读理解题）直线 ACBD，连结 AB，直线 AC,BD及线段 AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点 P落在某个部分时，连结 PA,PB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角）（1）当动点 P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点 P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点 P 在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD 之间的关系，并写出动点 P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明 课时二本章有四个数学基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么两直线平行两直线平行同位角相等三本章共有个概念对顶角邻理证明平移四转化的数学思想遇到新问题时常常把它转化为已知或已解决的问题五平移找规律转化求面积作图年安徽中考学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案每增加一个菱形图案纹饰长度就增加如图所示已知每要多少个这样的菱形图案解相交线与平行线知识点相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系有公共顶点的两边与对顶角相等的两边互为反即向延长