圆锥曲线与方程知识点复习及例题中学教育高考中学教育高中教育.pdf

第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 知识梳理 1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.（2）.椭圆的标准方程：12222byax 12222bxay（ab0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.2、椭圆的简单几何性质（ab0）.（1）椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax,线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，(2).离心率：ace 221ba 0 e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c(4).椭圆的的内外部点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的内部2200221xyab(5).焦点三角形21FPF经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF等关系 2.1.1 椭圆及其标准方程 典例剖析 题型一 椭圆的定义应用 例 1 题型二 椭圆标准方程的求法 例 2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程 2.1.2 椭圆的简单的几何性质 典例剖析 题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等 例 1 已知椭圆22(3)(0)xmym m的离心率32e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标 例 2 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A22 B212 C22 D 21 例 3 已知椭圆 C的焦点 F1（22，0）和 F2（22，0），长轴长 6，设直线2xy交椭圆 C于 A、B两点，求线段 AB的中点坐标 2.2 双曲线 知识梳理 1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a|1F2F|，则无轨迹.若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线12222byax实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率ace 221ba离心率 e 越大，开口越大.（2）.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0 nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数.大于则这样的点不存在若距离之和等于这个条件不可忽视若这个距离之和小于则动点的轨迹是线段椭圆的标准方程椭圆的标准方程判别方法判别焦点在哪个轴只要看分母的大小如果项的分母大于项的分母则椭圆的焦点在轴上反之焦心率越接近于时椭圆越扁反之越接近于时椭圆就越接近于圆椭圆的焦半径椭圆的的内外部点在椭圆的内部焦点三角形经常利用余弦定理三角形面积公式将有关线段有关角结合起来建立等关系椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标等例已知椭圆的离心率求的值及椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标例设椭圆的两个焦点分别为过等腰直角三角形则椭圆的离心率是作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为例（3）焦半径公式21|()|aPFe xc，22|()|aPFexc.（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyab xaby；若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax；若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.双曲线22221(,0)xya bab焦点三角形面积：12F PFS2cot2b，高h 2cot2bc。2.2.1 双曲线的定义与标准方程 典例剖析 题型一 双曲线标准方程的判断 题型二 求双曲线标准方程 例 2 已知双曲线过(1,1),(2,5)MN 两点，求双曲线的标准方程 例 3 2.2.2 双曲线的简单的几何性质 典例剖析 题型一 双曲线的性质 例 1已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.大于则这样的点不存在若距离之和等于这个条件不可忽视若这个距离之和小于则动点的轨迹是线段椭圆的标准方程椭圆的标准方程判别方法判别焦点在哪个轴只要看分母的大小如果项的分母大于项的分母则椭圆的焦点在轴上反之焦心率越接近于时椭圆越扁反之越接近于时椭圆就越接近于圆椭圆的焦半径椭圆的的内外部点在椭圆的内部焦点三角形经常利用余弦定理三角形面积公式将有关线段有关角结合起来建立等关系椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标等例已知椭圆的离心率求的值及椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标例设椭圆的两个焦点分别为过等腰直角三角形则椭圆的离心率是作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为例题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法 例 2 求与双曲线22193xy有共同的渐近线，并且经过点(3,4)的双曲线方程 例 3 设双曲线2212yx 上两点 A、B，AB中点 M（1，2）,求直线 AB方程；例 4 k代表实数，讨论方程22280kxy 所表示的曲线.题型三 直线与双曲线的位置关系 例 已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x22y2=1 总有公共点，试求实数 k 的取值范围.2.3 抛物线 知识梳理 1抛物线的概念 平面内与一定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F不在定直线l上)定点 F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线方程022ppxy叫做抛物线的标准方程 注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0），它的准线方程是2px；2抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程 22(0)ypxp 22(0)ypxp 22(0)xpyp 22(0)xpyp 图形 o F x y l o x y F l x y o F l 大于则这样的点不存在若距离之和等于这个条件不可忽视若这个距离之和小于则动点的轨迹是线段椭圆的标准方程椭圆的标准方程判别方法判别焦点在哪个轴只要看分母的大小如果项的分母大于项的分母则椭圆的焦点在轴上反之焦心率越接近于时椭圆越扁反之越接近于时椭圆就越接近于圆椭圆的焦半径椭圆的的内外部点在椭圆的内部焦点三角形经常利用余弦定理三角形面积公式将有关线段有关角结合起来建立等关系椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标等例已知椭圆的离心率求的值及椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标例设椭圆的两个焦点分别为过等腰直角三角形则椭圆的离心率是作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为例焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准线方程 2px 2px 2py 2py 范围 0 x 0 x 0y 0y 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离 2.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 求抛物线的标准方程 例 1 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的标准方程和 m的值.2.3.2 抛物线的简单的几何性质 题型一 焦点弦问题 例 斜率为 1 的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.题型二 直线与抛物线的位置关系 例 焦点在y轴上的抛物线被直线x2y1=0 截得的弦长为15，求这抛物线的标准方程.大于则这样的点不存在若距离之和等于这个条件不可忽视若这个距离之和小于则动点的轨迹是线段椭圆的标准方程椭圆的标准方程判别方法判别焦点在哪个轴只要看分母的大小如果项的分母大于项的分母则椭圆的焦点在轴上反之焦心率越接近于时椭圆越扁反之越接近于时椭圆就越接近于圆椭圆的焦半径椭圆的的内外部点在椭圆的内部焦点三角形经常利用余弦定理三角形面积公式将有关线段有关角结合起来建立等关系椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标等例已知椭圆的离心率求的值及椭圆的长轴和短轴的长焦点坐标顶点坐标例设椭圆的两个焦点分别为过等腰直角三角形则椭圆的离心率是作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为例