球面正弦余弦定理证明中学教育中学学案中学教育高中教育.pdf
4球面余弦定理和正弦定理 平面儿何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角 学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三 角形的余弦定理：设三角形ABC的三条边分别是a、b、c，它们的对角 分别是 S、ZB、N6则 c2=?+b2-2abcosZC b2=c2+a2-2caco$ZB a2=b2+c2-2bccosZA 其中，cos.cosZ5.cosZC分别表示厶、乙B、ZC的余弦。三角形的正弦定理：设三角形ABC的三条边分别是a、b、c,它们的对 角分别是厶.、ZB、N6 贝IJ sin ZA _ sin ZB _ sinZC a b c o 类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系，其中最主要的结果就是球 面三角的正弦定理和余弦定理。为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另一种乘积一外积。两向量d与b的外积是一个矢量，记做aXb,它的模是 aXb|=|a b血/（a,b）,它的方向与a,b都垂直,并且按a,b,aXb这个顺序 构成右手标架。对于向量的外积，有拉格朗日恒等式成立。aXb）（&Xb）二（&）（bb）（ab）（ba）定理4.1（球面三角余弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形必EC,其三边釘勺。和三角43恒满足下述函数关系 cosa=cos&cosc 十sin i sin c cos A cosi=coscxcosG+sin a sin c cos5 cos c=cos a cosb+sin azm b cos C J（证法一）证明：如图4-1所示,42是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量 043,则球面 三角形ZL4EC的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引b,c表达如下：a是b,c之间夹角的弧度，所以cos a=b c,同理冇cos b=ac,cosC=a b。/力是“a,b所张的平面”和“a,c所张的平面”之间的夹角，所以ZE也等于 axb和axe之间的夹角，即(axb)*(axc)=|axb|*|axc|cosA=sin csin?cos J4 同理亦有(bxc)-(bxa)=sin a sine cos B(exa)-(cxb)=acosC 111(axb)-(axc)=sin c sini cos-cos cat _ cosicose 所以 cos a=coscosc+sin Z?sin c cos A 同理可证 cosb=cosacosc+sin a sin c cos5 cos c=cos a cosZ?+sin avcib cos C 旳单位球面上的球面三角形三边都小于2时，可以用平面三角余弦定理证明球 面三角余弦定理。证明如下：取球面三角形M2C,将各顶点与球心0连接，过顶点A作b,c边的切线，分 别交OC,一性定理提升到有效能算的角边函数关系其中最基本的就是三角形的余弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是则其中分别表示厶乙的余弦三角形的正弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是厶贝类似地球面三角我们介绍有关向量的另一种乘积一外积两向量与的外积是一个矢量记做它的模是血它的方向与都垂直并且按这个顺序构成右手标架对于向量的外积有拉格朗日恒等式成立二定理球面三角余弦定理在单位球面上对于给球面三角形必其角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引表达如下是之间夹角的弧度所以同理冇力是所张的平面和所张的平面之间的夹角所以也等于和之间的夹角即同理亦有所以同理可证旳单位球面上的球面三角形三边都小于时可以用平0B的延长线于,M,山此得到两个平面直角三角形少和两 个平面三角形AOMMH4河。在AOW中，根据平面三角形的余弦定理，有 W2 二 ON2+OM2-2OM ONcsa,同理在 ZUW 中 W2=AN2+/胚2-2AM-Wcos/因此O2+OM2-2OM ON cosa=AN2 AM2-2AM-力Mcos 乂 即 20才一 2OM ONcostj=-2AM J4Z7COS A Q4 CM AM AN A -+-COS J4=COSiJ 即 0M ON OM ON 即得 cos a=cosbcosc+sin Z?sin c cos A 同理可证 cosb=cosacosc+sin a sin c cos5 cos c=cos a cosZ?+sin avcib cos C（证法2）证明：设球心为0,连接OA、OB、0C,则 40 =C9AAOC=bBOC=a 图4-2 过点A做虫的切线交直线OB于D,过点A做4的切线，交直线0C于E,连 接DE（如图4-2所示）。显然，AD丄AO,AE丄A0,在直角三角形OAD中，A0二1,AD=tan AAOD=tanc T 一性定理提升到有效能算的角边函数关系其中最基本的就是三角形的余弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是则其中分别表示厶乙的余弦三角形的正弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是厶贝类似地球面三角我们介绍有关向量的另一种乘积一外积两向量与的外积是一个矢量记做它的模是血它的方向与都垂直并且按这个顺序构成右手标架对于向量的外积有拉格朗日恒等式成立二定理球面三角余弦定理在单位球面上对于给球面三角形必其角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引表达如下是之间夹角的弧度所以同理冇力是所张的平面和所张的平面之间的夹角所以也等于和之间的夹角即同理亦有所以同理可证旳单位球面上的球面三角形三边都小于时可以用平1 _ 1 0D=cosZAO cosc o 在直角三角形OAE中,低二 tan AAOC=tanZ?,1 1 0E=cos AAOC COS&注意乙#ZSAD。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理 3.1）,DE2=OD2 十 00s _ 20D OEcosZBOC 1 1 2 T+厂_-c o s&cos c cos b cosccosb DE2=AD2+AE2-2AD 直 ECOS ZJL=tan2c+七血纶-2tanc tanbcosZA 边)因为（1）式与（2）式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得 csa=csb-cosc+sinb sine cosZA o o 类似地可以得到另外两式。A=1(1)在三角形ADE中,一性定理提升到有效能算的角边函数关系其中最基本的就是三角形的余弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是则其中分别表示厶乙的余弦三角形的正弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是厶贝类似地球面三角我们介绍有关向量的另一种乘积一外积两向量与的外积是一个矢量记做它的模是血它的方向与都垂直并且按这个顺序构成右手标架对于向量的外积有拉格朗日恒等式成立二定理球面三角余弦定理在单位球面上对于给球面三角形必其角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引表达如下是之间夹角的弧度所以同理冇力是所张的平面和所张的平面之间的夹角所以也等于和之间的夹角即同理亦有所以同理可证旳单位球面上的球面三角形三边都小于时可以用平当三角形有一个内角为直角时，比如 2,则山球面三角余弦定理有 cosa=cos&cosc o这恰好是平面儿何中的勾股定理在球面儿何中的对应物，但 形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。定理4.2（球面三角正弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形以EC,其三边釘勺。和三角43恒满足下述函数关系 sin 月 _ sin 刃 _ sin C sin a sin b sin c 9 证明：因为上述三个比值都是正的，所以我们只要证明 sin2 _ sm 2 _ sin2 0 5=;5=sin a sin Z?sin c 恒成立。由球面三角余弦定理，得 sin2 4 _(1 一 cos2 Qsin2 isin 2 c sin a sin a sin b sin c?sinUsin%cosa cosb case)2=:2:FT-2 sm(2sm osm c AAA 1-(CGS(2+cos cos c)4-2COS 2 COSCGSC sin 2 CJ sin.2 Z)sin.2 c sin2sm2sin2C sin N _ sin 召 _ sin C 同理可证 sin a sin b sin c,所以 sin a sin b sin c o 一般地，易证在半径为r的球面上，对于任给球面三角形MEC,其三边 ac和三角43恒满足下述函数关系 a b c.b.匕 H cos =coscos-4-sin sin-cos r r r r r b a c.a.匕 戸 cos 一=coscos-4-sin sin.-cos5 r r r FT sin J4 sin 5 sin C G a b a 3 宀 a b c cos =coscos 十 sin sin cos C 生 r r r r r 和 厂 r r 一性定理提升到有效能算的角边函数关系其中最基本的就是三角形的余弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是则其中分别表示厶乙的余弦三角形的正弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是厶贝类似地球面三角我们介绍有关向量的另一种乘积一外积两向量与的外积是一个矢量记做它的模是血它的方向与都垂直并且按这个顺序构成右手标架对于向量的外积有拉格朗日恒等式成立二定理球面三角余弦定理在单位球面上对于给球面三角形必其角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引表达如下是之间夹角的弧度所以同理冇力是所张的平面和所张的平面之间的夹角所以也等于和之间的夹角即同理亦有所以同理可证旳单位球面上的球面三角形三边都小于时可以用平当厂T-KO时，上述关系式会变成什么形式呢？如图，当厂T+OD时，球面三角 形人4犯的三边釘处可以看作直线段，所以 代入上述关系式，当枷时对式子取极限，整理得:左二/十丁 一 2bczoA 护=/+/-2ac cos B/二/+沪 一 2ab cos C sin A sin B sin C 这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在实际使用时，考虑到所给条件的不同及计算的方便，我们常常需要不同形式 的球面三角公式，这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而 得到。前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面儿何中特有的全等条件AAA,在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。定理43（角的余弦公式）在单位球面上，对于任给球面三角形心EC,其三边 必和三角恒满足下述函数关系 cos/二一cosBcosC十sin.Esin Ccosa cosB=-COSACQSC+sin 4sin Ccosb cosC=-cos Acos 4-sin.j4sin Bcosc 一性定理提升到有效能算的角边函数关系其中最基本的就是三角形的余弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是则其中分别表示厶乙的余弦三角形的正弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是厶贝类似地球面三角我们介绍有关向量的另一种乘积一外积两向量与的外积是一个矢量记做它的模是血它的方向与都垂直并且按这个顺序构成右手标架对于向量的外积有拉格朗日恒等式成立二定理球面三角余弦定理在单位球面上对于给球面三角形必其角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引表达如下是之间夹角的弧度所以同理冇力是所张的平面和所张的平面之间的夹角所以也等于和之间的夹角即同理亦有所以同理可证旳单位球面上的球面三角形三边都小于时可以用平证明：山MEC的极对偶三角形的余弦定理 cos a=cos*cosc*十sin 扩 sin c*cos J4*利用上节定理3.1将UPC中相应的元素代入上式即有 cos（兀一虫）=cos（兀一E）cos（X-C）+sin（-E）sm（%-C）co$（兀一a）乘以1,化简得 cos 乂 二一 cosBcosC+sin Esin Ccosa 同理可证其他两式。一性定理提升到有效能算的角边函数关系其中最基本的就是三角形的余弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是则其中分别表示厶乙的余弦三角形的正弦定理设三角形的三条边分别是它们的对角分别是厶贝类似地球面三角我们介绍有关向量的另一种乘积一外积两向量与的外积是一个矢量记做它的模是血它的方向与都垂直并且按这个顺序构成右手标架对于向量的外积有拉格朗日恒等式成立二定理球面三角余弦定理在单位球面上对于给球面三角形必其角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量引表达如下是之间夹角的弧度所以同理冇力是所张的平面和所张的平面之间的夹角所以也等于和之间的夹角即同理亦有所以同理可证旳单位球面上的球面三角形三边都小于时可以用平
