圆的方程 任意角的三角函数高等教育微积分高等教育大学课件.pdf

精品资料 欢迎下载 圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 222rbyax，圆心 ba,，半径为 r；（2）一般方程022FEyDxyx 当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122 当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆 222:rbyaxC，圆心 baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 221211:rbyaxC，222222:RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 一、任意角的三角函数 1设 是一个任意角，它的始边与 x 轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为 P(x，y)(1)y 叫做 的正弦，记作 sin_，即 sin_ y；(2)x 叫做 的余弦，记作 cos_，即 cos_ x；(3)yx叫做 的正切，记作 tan_，即 tan yx(x0)2三角函数的定义域如表所示：三角函数 定义域 sin R cos R tan|2k，kZ 3.三角函数的值在各象限的符号如图所示 精品资料 欢迎下载 4终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(k2)sin_ cos(k2)cos_ tan(k2)tan_ (其中kZ)5已知角 的终边位置，角 的三条三角函数线如图所示sin MP，cos OM，tan AT.6熟记各特殊角的三个三角函数值 角度 0 30 45 60 90 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 32 2 sin 0 12 22 32 1 0 1 0 cos 1 32 22 12 0 1 0 1 tan 0 33 1 3 不存在 0 不存在 0 知识要点一：对三角函数定义的理解 1三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应 三角函数的自变量是角 ，比值是角 的函数 2 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角 的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关 知识要点二：三角函数值在各象限内的符号 1三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的 2对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”知识要点三：诱导公式一的理解及其应用 1公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等 2公式一的结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为 k2，右边的角为.3 公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求 02(或 0 360)角的三角函数值 知识要点四：三角函数线 1三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便 2三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础 二、同角三角函数的基本关系 圆的方程标准方程一般方程圆心半径为当时方程表示圆此时圆心为半径为时表示一个点当时方程不表示任何图当形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程需求出若利用一般系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆心到的距离圆相离与相切与相交与则有为则过此点的切线方程设圆过圆外一点的切线不存在验证是成立存在设点斜式方程用圆心到该直线距离半径求解得到方程一定两解过圆位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定时两圆外离此时有公切线四条当当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线当时两圆内切连心线经过精品资料 欢迎下载 7同角三角函数的基本关系式包括：平方关系式：sin2 cos2 1；商数关系式：tan sin cos.8商数关系 tan sin cos 成立的角 的范围是|k 2，kZ 知识要点一：公式的推导 1设 P(x，y)是角 的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：xcos ，ysin ，yxtan ，及单位圆上的点到原点的距离为 1，可知 x2y21，即 cos2 sin2 1，且yxsin cos tan.2由任意角的三角函数的定义也可求得 设 P(x，y)为角 终边上的任一点，|OP|r.则 sin yr，cos xr，tan yx.易知 sin2 cos2 x2y2r21，tan yxsin cos.知识要点二：公式应用时注意的问题 1公式成立的条件 sin2 cos2 1 对一切 R 均成立，tan sin cos 仅在 k 2(kZ)时成立 2同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如 sin22 cos22 1，sin 8cos 8tan 8 等都成立，理由是式子中的角为“同角”3使用平方关系 sin 1cos2，cos 1sin2，“”由角 所在象限来确定 4对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用 如：sin2 1cos2，cos2 1sin2，1sin2 cos2，sin tan cos，cos sin tan，sin cos tan 等 一、选择题 .圆22(2)5xy关于原点(0,0)P对称的圆的方程为()A.22(2)5xy B.22(2)5xy C.22(2)(2)5xy D.22(2)5xy 2.若)1,2(P为圆25)1(22yx的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.03 yx B.032yx C.01yx D.052yx 3.圆012222yxyx上的点到直线2yx的距离最大值是（）A.2 B.21 C.221 D.221 圆的方程标准方程一般方程圆心半径为当时方程表示圆此时圆心为半径为时表示一个点当时方程不表示任何图当形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程需求出若利用一般系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆心到的距离圆相离与相切与相交与则有为则过此点的切线方程设圆过圆外一点的切线不存在验证是成立存在设点斜式方程用圆心到该直线距离半径求解得到方程一定两解过圆位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定时两圆外离此时有公切线四条当当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线当时两圆内切连心线经过精品资料 欢迎下载 4.在坐标平面内，与点(1,2)A距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为（）A.023yx B.043yxC.043yx D.023yx 二、填空题 6.若经过点(1,0)P 的直线与圆032422yxyx相切，则此直线在y轴上的截距是_ 7.由动点P向圆221xy引两条切线,PA PB，切点分别为0,60A BAPB，则动点P的轨迹方为_ 8.圆心在直线270 xy 上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)AB,则圆C的方程 为_ 三、解答题 9.点,P a b在直线01yx上，求22222baba的最小值.10.已知圆C和y轴相切，圆心在直线03 yx上，且被直线xy 截得的弦长为72，求圆C的方程.一、选择题 1.A (,)x y关于原点(0,0)P得(,)xy，则得22(2)()5xy 2.A 设圆心为(1,0)C，则,1,1,12CPABABCP kkyx 3.B 圆心为max(1,1),1,21Crd 5.B 两圆相交，外公切线有两条 6.D 2224xy（）的在点)3,1(P处的切线方程为(12)(2)34xy 圆的方程标准方程一般方程圆心半径为当时方程表示圆此时圆心为半径为时表示一个点当时方程不表示任何图当形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程需求出若利用一般系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆心到的距离圆相离与相切与相交与则有为则过此点的切线方程设圆过圆外一点的切线不存在验证是成立存在设点斜式方程用圆心到该直线距离半径求解得到方程一定两解过圆位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定时两圆外离此时有公切线四条当当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线当时两圆内切连心线经过精品资料 欢迎下载 二、填空题 1.1 点(1,0)P 在圆032422yxyx上，即切线为10 xy 2.224xy 2OP 3.22(2)(3)5xy 圆心既在线段AB的垂直平分线即3y ，又在 270 xy 上，即圆心为(2,3)，5r 三、解答题 1.解：22(1)(1)ab 的最小值为点(1,1)到直线01yx的距离 而33 222d，22min3 2(222)2abab.4.解：设圆心为(3,),t t半径为3rt，令322ttdt 而22222(7),927,1rdttt 22(3)(1)9xy，或22(3)(1)9xy 【例 1】若 是第二象限角，则sin cos cos sin 2 的符号是什么？【例 2】已知角 的终边经过点 P(4a,3a)(a0)，求 sin 、cos 、tan 的值 【例 3】已知 cos 35，求 sin ，tan 的值 【例 4】求下列三角函数式的值(1)sin 1320；(2)cos(316)；(3)tan(945)【例 5】求下列各式的值(1)a2sin(1350)b2tan 405(ab)2tan 765 2abcos(1080)；(2)sin(116)cos125tan 4.圆的方程标准方程一般方程圆心半径为当时方程表示圆此时圆心为半径为时表示一个点当时方程不表示任何图当形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程需求出若利用一般系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆心到的距离圆相离与相切与相交与则有为则过此点的切线方程设圆过圆外一点的切线不存在验证是成立存在设点斜式方程用圆心到该直线距离半径求解得到方程一定两解过圆位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定时两圆外离此时有公切线四条当当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线当时两圆内切连心线经过精品资料 欢迎下载 【例 6】求下列函数的定义域：(1)y 2cos x1；(2)ylg(34sin2 x)【例 7】已知 tan 3，求下列各式的值(1)3cos sin 3cos sin；(2)2sin2 3sin cos.【例 8】已知 0，sin cos 15，求 tan 的值 【例 9】求证：cos 1sin sin 1cos 2 cos sin 1sin cos.【例 10】若 sin A45，且 A 是三角形的一个内角，求5sin A815cos A7的值 圆的方程标准方程一般方程圆心半径为当时方程表示圆此时圆心为半径为时表示一个点当时方程不表示任何图当形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程需求出若利用一般系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆心到的距离圆相离与相切与相交与则有为则过此点的切线方程设圆过圆外一点的切线不存在验证是成立存在设点斜式方程用圆心到该直线距离半径求解得到方程一定两解过圆位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定时两圆外离此时有公切线四条当当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线当时两圆内切连心线经过精品资料 欢迎下载 【例 12】已知 cos()12，求 sin(2)的值 【例 15】在ABC 中，若 sin(2 A)2sin(B)，3cos A 2cos(B)，求ABC 的三个内角 圆的方程标准方程一般方程圆心半径为当时方程表示圆此时圆心为半径为时表示一个点当时方程不表示任何图当形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程需求出若利用一般系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆心到的距离圆相离与相切与相交与则有为则过此点的切线方程设圆过圆外一点的切线不存在验证是成立存在设点斜式方程用圆心到该直线距离半径求解得到方程一定两解过圆位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定时两圆外离此时有公切线四条当当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线当时两圆内切连心线经过