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勾股定理典型题目(总6页)-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1 CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 C.3 勾股定理看数学思想【附练习】1.数形转化 “勾股定理”定理是“形 f 数”的转化。条件是形一-“直角三角形”,得出 的结论是数-“边之间的数量关系”。标准格式是:VAABC是直角三角形，ZC是直角,Z.CA:+CB:=AB:“勾股定理”的逆定理是“数一形”的转化。条件是数-“边之间的数量关 系”，得出的结论是形-直角三角形”。标准格式:VCA:+CB:=AB A A ABC是直角三角形，ZC是直角 应用举例：如图所示，有一块地，已知AD二4米.CD二3米，ZADC二90 ,AB二13米，BC二12米，则这块 地的而积为多少 解:VAADC是直角三角形 AAC2=AD2+DC2=42+32=52(注：这是在用勾股定理)VAC2+BC2=52+122=169 AB2=132=169/.AC2+BC2=AB2 ABC是直角三角形（注：这是在用勾股定理的逆定理）U Y AC BC CD AD 12x5 3x4_“S 地 _ =-_-=24 2 2 2 2 2.方程思想 我们知道，知道直角三角形的两条边，可以借助勾股定理求出第三边。但是有 的问题只知道直角三角形的一条边，这时候，要考虑借助勾股定理列方程解决 问题。例1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合，则CD等于（）A.2 B.4 解：在RtAABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100=102 AAB=10(cm)TAE 二 AC 二 6cm,/.EB=4cm VZAED=ZC=90 ZDEB 二 90 DEB是直角三角形 ADE2+EB2=DB2 形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题设 CD=xcm,则 DE=CD=xcm,DB=(8-x)cm Ax2+42=(8-x)2 解得 x=3,所以,CD二3cm形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题(1)如图，点A -D c 例2：在笔直的公路上A、B两点相距20km,在A的正南方8km处有村庄D,在 B的正南方11km处有村庄C现在要在AB上建一个中转站E,是的C、D两村庄 到E站的距离相等。(1)利用尺规作图，做出点E的位置。计算点E距离点A多远？解：设 AE=xkm,则 EB二(20-x)km 在RtAADE中 DE2=AD2+AE2=82+x2 在RtAEBC中 EC2=EB2+BC2=(20-x)2+U2 VDE=EC r.82+x2=(20-x)2+U2 解得x二羊卫km 40 所以，点E与点A的距离是 km 40 典型题目练习*一.折叠问题 1 一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若 AC二6，BC=8,求 DC 的长。2如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm,BC=AD=10cm,求 EC 的长。形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题其他折叠问题常见图形:二.最短问题 1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10 寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的 食物，则它所走的最短路线长是多少？2如图，长方体的长，宽，高分别为8,4,10.若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？3如图，一圆柱体的底面周长为16,高AB为13,BC是上底面的直径一只昆 虫从点A岀发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则昆虫爬行的最短路程为多少？A B 形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题5.如图所示，有一根高为加的木柱，它的底面周长为,4如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的 正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？三梯子问题 1 如图，一架云梯AC长为25皿 斜鼎在一竖直的墙C0上，这时梯子底端A离 墙的距离A0是7皿 如果梯子的顶端C沿墙下滑了 4叫 那么梯子的底部在水平 方向滑动了多少米？形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题高度二2如图，两墙之间的距离BC二22米，当云梯黑在西墙的时候，此时可以达到的 高度AB二24米；若云梯底部0不动，使云梯黑在东墙上，此时云梯可以达到的 四.芦苇问题 1.寿一个边长为10尺的正方形水池，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面 BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 碰到岸边的B（如图）时，水恰好没过芦苇问水深和长各多少？2.如图，小壳将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将 绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2叫 则旗杆的高度 为（滑轮上方的部分忽略不计）为多少米？五.构造直角三角形形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题400 m E 南京路 C 1.如图，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方 形的顶点，则ZABC的度数为（）A.90 B.60 C.45 D.30 2.如图，A,B是公路1（1为东西走向）两旁的两个村 庄，A村到公路1的距离AC=lkm B村到公路1的距离BD=2km,CD二4km（1）求出A,B两村之间的距离;（2）为方便村民岀行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村 的距离相等，请用尺规在图中作岀点F的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要 写明作法）.六.综合题目 1 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如 果小明站在南京路与八一街的交义口，准备去书店，按图中的街道行走，最近 的路程约多少米？环城路 3OOm/匸北 D 书店 西安路 A 400 m 路 形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题2如图，AACB和AECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90 ,D为AB 边上一点，求证：形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题(1)HACE些HBCD (2)AD2+DB2=DE2 形数的转化条件是形一直角三角形得出的结论是数边之间的数量关系标准格式是是直角三角形是直角勾股定理的逆定理是数一形的转化条件是数边之间的数量关系得出的结论是形直角三角形标准格式是直角三角形是直角应用举例如形注这是在用勾股定理的逆定理地方程思想我们知道知道直角三角形的两条边可以借助勾股定理求出第三边但是有的问题只知道直角三角形的一条边这时候要考虑借助勾股定理列方程解决问题例如图有一块直角三角形纸片两直角边公路上两点相距在的正南方处有村庄在的正南方处有村庄现在要在上建一个中转站是的两村庄到站的距离相等利用尺规作图做出点的位置计算点距离点多远解设则二在中在中解得二羊卫所以点与点的距离是典型题目练习一折叠问题
