考研积分上限的函数变上限积分变限积分知识点全面总结高等教育微积分高等教育微积分.pdf
考研积分上限的函数（变上限积分）知识点 ()()xaF xf t dt 形如上式的积分，叫做变限积分。注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。2、在求积分时，则把 x 看作常数，积分变量t在积分区间,xa上变动。（即在积分内的 x 作为常数，可以提到积分之外。）关于积分上限函数的理论 定理 1如果)(xf在,ba上连续，则)(xf在（a，b）上可积，而)(xf可积，则xadttfxF)()(在,ba上连续。定理 2如果)(xf在,ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在（a，b）上可积。定 理 3 如 果)(xf在,ba上 连 续，则xadttfxF)()(在,ba上 可 导，而 且 有).()()(xfdttfdxdxFxa=注：（）从以上定理可看出，对)(xf作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(xf经过求导后，其导函数)(xf 甚至不一定是连续的。（）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。重要推论及计算公式：推论 1)()(xfdttfdxdbx 推论 2)()()()(xxfdttfdxdxc 推论 3)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如 xdttftxxF0)()()(被积函数中含x,但 x 可提到积分号外面来.)在求)(xF时，先将右端化为xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再对x求导。分离后左边的部分要按照(uv)=uv+uv 进行求导！（重点）（2）比如 xdtxttfxF0)()(f 的自变量中含 x,可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来)在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu（把x看作常数），此时，dudt，0t时，xu；xt 时，0u，这样，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分下限函数：000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF，然后再对x 求导。(3)比如 10)()(dtxtfxF(这是含参数 x 的定积分,可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu（把x看作常数），此时，xdudt，0t时，0u；1t时，xu，于是，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分上限函数：xduufxxF0)(1)(，然后再对 x 求导。有积分限函数参与的题型举例（1）极限问题：例 1 xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2 （提示：0/0 型，用洛必达法则，答：12）例 2 xdttxx0sinlim（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=|sinx|=1。答：2）例 3 已知极限1sin1lim00 xxxdtcttabxe，试确定其中的非零常数.,cba（答：.1,1,1cba）公式直接计算在求积分时则把看作常数积分变量在积分区间上变动即在积分内的作为常数可以提到积分之外关于积分上限函数的理论定理如果在上连续则在上可积而可积则在上连续定理如果在上有界且只有有限个间断点则在上可积一步可积改进为连续连续改进为可导这是积分上限函数的良好性质而我们知道可导函数经过求导后其导函数甚至不一定是连续的定理也称为原函数存在定理它说明连续函数必存在原函数并通过定积分的形式给出了它的一个原函数我定理把两者联系了起来从而使微分学和积分学统一成为一个整体有重要意义论重要论及计算公式论变上限积分改变上下限变号上限是复合函数的情况求导推论上下限都是变的时候用上限的减去下限的题型中常见积分限函数的变形和（2）求导问题 例 4 已知.sin,)cos1(00ttuduyduux求.dxdy(参数方程，你懂的！答:)cos1(2sinttt)例 5 已知.0cos00 xyyttdtdte求.dxdy(答:)cos()cos(xyxexyyy)例 6 求xdttxdxd02)sin(答:2sin x)例 7 设)(xf在),(内连续且,0)(xf 求证 xxdttfdtttfx00)()()(在),0(内单调增加.（同济高数课本Unit5-3例题 7）（3）最大最小值问题 例 8 在区间,1 e上求一点,使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.(提示:先将面积表达为两个变限定积分之和:exxdtttdtxA)ln1(ln)(1,然后求出)(xA,再求出其驻点.答:e.)例 9 设0 x，n为正整数.证明 xntdtttxf022sin)()(的最大值不超过.)32)(22(1nn (提示:先求出函数的最大值点,然后估计函数最大值的上界.)(4)积分问题 例 10 计算10)(dxxxf，其中21sin)(xdtttxf.e y=ln x x y 1 1 O 公式直接计算在求积分时则把看作常数积分变量在积分区间上变动即在积分内的作为常数可以提到积分之外关于积分上限函数的理论定理如果在上连续则在上可积而可积则在上连续定理如果在上有界且只有有限个间断点则在上可积一步可积改进为连续连续改进为可导这是积分上限函数的良好性质而我们知道可导函数经过求导后其导函数甚至不一定是连续的定理也称为原函数存在定理它说明连续函数必存在原函数并通过定积分的形式给出了它的一个原函数我定理把两者联系了起来从而使微分学和积分学统一成为一个整体有重要意义论重要论及计算公式论变上限积分改变上下限变号上限是复合函数的情况求导推论上下限都是变的时候用上限的减去下限的题型中常见积分限函数的变形和(提示:当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,总是用分部积分法求解,且取)(xu为积分上限函数.答:).11(cos21)例 11 设)(xf在),(内连续,证明 .)()(000 xuxdudttfduuxuf(提示:对右端的积分施行分部积分法.)例 12 设.2,00,212,10)(xxxxxxxf 求xdttfx0)()(在),(内的表达式.(说明:这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到.求表达式时,注意对任一取定的x,积分变量t在,0 x内变动.答:.21,21)2(211,1021,00)(22xxxxxxx)(5)含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例 13 设函数)(x连续，且满足 .)()()(00 xxxdttxdtttex 求).(x(答:)sin(cos21)(xexxx)（说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解.注意初值条件隐含在积分方程内.答:xxxsincos)(）例 14 设)(xf为正值连续函数,1)0(f 且对任一0 x,曲线)(xfy 在区间,0 x上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积,求此曲线方程.(说明:根据题设列出的方程将含有)(xf的积分上限函数.答:)0(2)(xeexfxx(6)利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例 15 设)(),(xgxf均在,ba上连续,证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:公式直接计算在求积分时则把看作常数积分变量在积分区间上变动即在积分内的作为常数可以提到积分之外关于积分上限函数的理论定理如果在上连续则在上可积而可积则在上连续定理如果在上有界且只有有限个间断点则在上可积一步可积改进为连续连续改进为可导这是积分上限函数的良好性质而我们知道可导函数经过求导后其导函数甚至不一定是连续的定理也称为原函数存在定理它说明连续函数必存在原函数并通过定积分的形式给出了它的一个原函数我定理把两者联系了起来从而使微分学和积分学统一成为一个整体有重要意义论重要论及计算公式论变上限积分改变上下限变号上限是复合函数的情况求导推论上下限都是变的时候用上限的减去下限的题型中常见积分限函数的变形和.)()()()(222bababadxxgdxxfdxxgxf 说明:本题的通常证法是从不等式0)()(badxxtgxf出发,由关于t的二次函数非负的判别条件即可证得结论.但也可构造一个积分上限函数,利用该函数的单调性来证明.提示如下:令.)()()()()(222xaxaxadttgdttfdttgtfxF 则.0)(aF 求出)(xF并证明.0)(xF 从而)(xF单调减少,于是得.0)()(aFbF 由此可得结论.这种证法有一定的通用性.例如下例.例 16 设)(xf在0,1上连续且单调减少.证明:对任一,10 有.)()(100dxxfdxxf (提示:即证.1)()(100dxxfdxxf 于是作,)()(0 xdttfxFx 只需证)(xF单调减少即可得结论.)利用积分上限函数构造辅助函数,还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论.比如下题.例 17 设)(),(xgxf在,ba上连续.求证:存在),(ba,使 abdxxfgdxxgf)()()()(.(提示:令bxxadttgdttfxF)()()(.对)(xF在,ba上用 Rolle 定理即可证得结论)关于积分限函数的奇偶性与周期性 定理 4 设 xf连续，xdttfx0.如果 xf是奇（偶）函数，则 x是偶（奇）函数；如果 xf是周期为T的函数，且 00Tdxxf,则 x是相同周期的周期函数.证 设 xf奇,则 xduufduufudufdttfxxfxxutx0000奇,即 x为偶函数.设 xf偶,则 xduufduufudufdttfxxfxxutx0000偶,即 x为奇函数.若 00Tdxxf，则 公式直接计算在求积分时则把看作常数积分变量在积分区间上变动即在积分内的作为常数可以提到积分之外关于积分上限函数的理论定理如果在上连续则在上可积而可积则在上连续定理如果在上有界且只有有限个间断点则在上可积一步可积改进为连续连续改进为可导这是积分上限函数的良好性质而我们知道可导函数经过求导后其导函数甚至不一定是连续的定理也称为原函数存在定理它说明连续函数必存在原函数并通过定积分的形式给出了它的一个原函数我定理把两者联系了起来从而使微分学和积分学统一成为一个整体有重要意义论重要论及计算公式论变上限积分改变上下限变号上限是复合函数的情况求导推论上下限都是变的时候用上限的减去下限的题型中常见积分限函数的变形和 xdttfxdttfdttfdttfTxTTxxxTx000,即)(x为周期为 T 的周期函数.例 18 设)(xf在),(内连续,xdttfxtxF0)()2()(.证明:(a)如果)(xf是偶函数,则)(xF也是偶函数;(b)如果)(xf是单调减少函数,则)(xF也是单调减少函数.公式直接计算在求积分时则把看作常数积分变量在积分区间上变动即在积分内的作为常数可以提到积分之外关于积分上限函数的理论定理如果在上连续则在上可积而可积则在上连续定理如果在上有界且只有有限个间断点则在上可积一步可积改进为连续连续改进为可导这是积分上限函数的良好性质而我们知道可导函数经过求导后其导函数甚至不一定是连续的定理也称为原函数存在定理它说明连续函数必存在原函数并通过定积分的形式给出了它的一个原函数我定理把两者联系了起来从而使微分学和积分学统一成为一个整体有重要意义论重要论及计算公式论变上限积分改变上下限变号上限是复合函数的情况求导推论上下限都是变的时候用上限的减去下限的题型中常见积分限函数的变形和
