相似三角形的判定讲义中学教育中考中学教育中学课件.pdf

相似三角形的判定 一、知识点讲解 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定定理 2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。（2）在利用判定定理 2 时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似 例 1 在矩形 ABCD 中，E为 BC 上一点，DFAE 于点 F。（1）求证：ABEDFA；（2）若 AB=6，AD=12,AE=10,求 DF 的长。变式练习：1、如图，DEBC，EF AB，则图中相似的三角形一共有（）A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对 2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）A、有一个角是 40两个等腰三角形 B、两个等腰直角三角形 C、有一个角为 100的两个等腰三角形 D、两个等边三角形 例 2 已知：如图，在四边形 ABCD中，B=ACD，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求 AD的长。变式练习：1、如图，在ABC中，点 D、E分别在 AB、AC上，下列条件中不能判定ABC AED的是（）A、AED=B B、ADE=C C、ABACAEAD D、ACAEABAD 2、已知，P 是正方形 ABCD的边 BC上的点，且 BP=3PC，M 是 CD的中点，求证：ADMMCP。例 3 如图，小正方形的边长为 1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（）个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 变式练习：1、在ABC 和ABC中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，AB=3cm，BC=2.5cm，AC=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）A、ABC 与ABC相似 B、AB 与 AB是对应边 C、相似比为 2：1 D、AB 与 AC是对应边 2、网格图中每个方格都是边长为 1 的小正方形，若 A、B、C、D、E、F 都是格点，试证明：ABCDEF。（二）判定定理的运用 例 4 如图，在矩形 ABCD 中，E为 AD 的中点，连接 EC，过点 E作直线 EF交 AB于点 F。当 EF与 CE 满足什么条件时，AEF 与DCE 相似？并说明理由。变式练习：1、如图，在ABC 中，ADE=C，则下列等式成立的是（）A、ACABABAD B、BDADBCAE C、ABAEBCDE D、ABADBCDE 个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 第 1 题 第 2 题 第 3 题 2、如图，ABD=C，AB=5，AD=3.5，则 AC=。3、如图，D 是 AC 上一点，BEAC，BE=AD，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G，1=2。求证：FD=FGFE.反馈练习 基础夯实 1、如图，ADBC 于点 D，CEAB 于点 E交 AD 于点 F，则图中与AEF 相似的三角形的个数是（）A、1 个 B、2 个 C、3个 D、4个 2、如图，在 RtABC 中，ACB=90,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 的延长线于点 E，则 CE 的长为（）A、23 B、67 C、625 D、2 3、如图，ABC 中，AB=AC，A=36,BD 平分ABC，则下列结论：ABCBCD；AB：BC=BC：CD；BC=ACCD；AD：DC=AB：BC，其中正确的结论有（）A、1 个 B、2个 C、3 个 D、4 个 4、如下图，下列条件不能判定ADBABC 的是（）A、ABD=ACB B、ADB=ABC C、AB=ADAC D、BCABABAD 5、如图，在ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AC=ADAB，则（）A、ADCACB B、BDCBCA C、ADCCDB D、无相似三角形 6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（）A、A=60，AB=5cm，AC=10cm；A=60,AB=3cm，AC=10cm B、A=45，AB=4cm，BC=6cm；D=45,DE=2cm，DF=3cm C、C=E=30，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cm D、A=A，且 ABAC=ACAB 7、如图，已知 ABBD，EDBD，C 是线段 BD 的中点，且 ACCE，ED=1,BD=4，那么 AB=。8、如图，在ABCD 中，F是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BPDF，且与 AD 相交于点 P，请从图中找出一组相似的三角形 。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 第 7 题 第 8 题 第 9 题 第 10 题 第11 题 9、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，ADE=60，则AE 的长为 。10、如图，在ABC 中，D 是 ABA 边上一点，连接 CD，要使ADC 与ACB 相似，应添加的条件 是 。（写出一个即可）11、如图，在ABC 中，CDAB，垂足为 D，下列条件中，能证明ABC 是直角三角形的有 。A+B=90；AB=AC+BC；BDCDABAC；CD=ADBD。12、如图，已知，ACB=ABD=90，BC=6，AC=8，当 BD=时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，1=2，B=D，AB=DE=5，BC=4。（1）求证：ABC ADE；（2）求 AD的长。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 14、如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且BDCDCDAD。（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB 的大小。15、如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm。球目前在点 E的位置，AE=60cm，如果小丁瞄准 BC 边上的点 F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点 D的位置。（1）求证：BEFCDF；（2）求 CF 的长。16、已知，如图，正方形 ABCD 的边长为 2,AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端在 BC、CD 上滑动，在滑动过程中，以 M、N、C 为顶点的三角形与AED 可能相似吗？若能，求出相似时 CM 的长。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 能力提升 17、如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，C=90,BDA=90，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（）A、b=ac B、b=ce C、be=ac D、bd=ae 第 17 题 第 18 题 第 19 题 18、如图，在钝角三角形 ABC 中，AB=6cm，AC=12cm，动点 D 从点 A 出发到点 B为止，动点 E从点 C 出发到点 A 止，点 D 运动的速度为 1cm/s，点 E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点 A、D、E为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是（）A、3 秒或 4.8 秒 B、3 秒 C、4.5 秒 D、4.5 秒或 4.8 秒 19、如图，D 是等边ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：2，现将ABC 折叠，个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 使点 C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E、F分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF=（）A、43 B、54 C、65 D、76 20、如图，AOB 是直角三角形，AOB=90,OB=2OA，点 A 在反比例函数xy1的图像上，若点 B 在反比例函数xky 的图像上，则 k的值为（）A、-4 B、4 C、-2 D、2 第 20 题 第 21 题 第 22 题 21、如图，在平面直角坐标系中，有两点 A(4，0)，B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（点C 与点 A 不重合），当点 C 的坐标为 时，使得以点 B、O、C为顶点的三角形与AOB 相似。22、已知，如图，ABCD 的对角线相交于点O，点E在边BC 上延长线上，且OE=OB，连接 DE。求证：（1）DEBE；（2）如果 OECD，求证：CEDDEB。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 23、如图，在ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F为线段 DE上一点，且AFE=B。（1）求证：ADFDEC；（2）若 AB=8，AD=36，AF=34，求 AE 的长。24、学习图形的相似后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”；（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。已知：如图，。求证：RtABCRtABC。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 25、如图，E是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EFAE，EF分别交 AC、CD 于点 M、F，BGAC，垂足为 G，BG 交 AE 于点 H。（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 思维拓展 26、如图 1，直线 AB 分别与两坐标轴将于点 A(4，0)，B（0，8），点 C 的坐标为（2，0）。（1）求直线 AB 的解析式；（2）在线段 AB 上有一动点 P。如图 2，过点 P分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 E、F，若矩形 OEPF 的面积为 6，求点 P的坐标；连接 CP，是否存在点 P，使ACP 与AOB 相似，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 27、如图，矩形 ABCD 中，AD=3cm，AB=a cm(a3)。动点 M、N 同时从点 B 出发，分别沿运动，速度是 1cm/s。过点 M 作直线垂直于 AB，分别交 AN、CD于点 P、Q，当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动，设运动时间为 t秒。（1）若 a=4cm，t=1s，则 PM=cm；（2）连接 PD、PB，若 a=5cm，求运动时间 t,命名PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a的取值范围。个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 参考答案 反馈练习 基础夯实 1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、4 8、DCFEBF 9、7 10、ABACACAD 11、12、215或340 13、（1）略 （2）425 14、（1）略 （2）90 15、（1）略 （2）169 16、55或552 能力提高 17、A 18、A 19、个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方 20、A 21、（-4，0）（1，0）（-1，0）￥个三角形相似判定定理两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定定理三边对应成比例的两个三角形相似理解当给出的条件上角为主时应考虑两角对应相等当给出的条件有边有角时应考虑两边对应成比例夹角相等当给出的运用判定定理判定三角形相似例在矩形中为上一点于点求证若求的长变式练习如图则图中相似的三角形一共有对对对对具备下列各组条件的两个三角形中不一定相似的是有一个角是两个等腰三角形两个等腰直角三角形有一个角为的的是已知是正方形的边上的点且是的中点求证例如图小正方形的边长为则下列选项中的三角形阴影部分与相似的是变式练习在和中则下列说法中错误的是与相似与是对应边相似比为与是对应边网格图中每个方格都是边长为的小正方