2021年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷.pdf

2021年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷一、选 择 题（本大题共8 小题，共 24.0分）1.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（）-4-a-2-101 224A.a B.b C.c D.d2.某自动控制器的芯片，可植入2 0 2 0 0 0 0 0 0 0粒晶体管，这个数字2 0 2 0 0 0 0 0 0 0用科学记数法可表示为（）A.0.2 0 2 x IO1 0 B.2.0 2 x 1 09 C.2 0.2 x 1 08D.2.0 2 x 1 083 .如图，下列立体图形的左视图是圆的是（）4 .不等式-x+3 3 B.%3如图，在平面直角坐标系中，直线y =2 x+4与x轴、y轴分别交于4、B两点，把力O B绕点B逆时针旋转90。后得到A A i O i B,则点4 1的坐标是（）A.（2,4）B.（4,2）C.(-2,4)D.(-4,2)6.如图，已知锐角N A O B,在射线OA上取一点C,以点。为圆心、OC长为半径作而，交射线。3于点。，连 接CD；分别以点C、。为圆心、CD长为半径作弧，两弧交于点P,连接C P、DP-,作射线0 P.若乙4 0 P =2 0,贝叱。D P的度数是()A.1 1 0 B.1 2 0 C.1 3 0 D.1 4 0 7.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所 谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率兀 3.1 4.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形 割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长P 6 =6 R,计算爱=3.下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是（）8 .如图，在平面直角坐标系中，函数、=；（卜力0,刀 0）的图 I5象和 4 8 c 都在第一象限，AB=AC=|,B C x轴，S.BC=、一4,点A的坐标为（3,5）.若将A A B C 向下平移m（7 n 0）个单 Q-位，A、C两点的对应点同时落在函数y =：（/中0,x 0）的图象上，则的值为（）A 5AyB.T25C TD.-4二、填 空 题（本大题共6小题，共 1 8.0 分）9.分解因式：2 a 2 -4 a+2 =.1 0 .若关于x 的一元二次方程x 2-4 x-k =0 有两个不相等的实数根，则 A 的值可以为.（写出一个即可）11.判断命题“代数式2 7n 2 一1的值一定大于代数式僧2 一1的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中tn的值为12.13.如图，在A A B C 中，点。在A B 上，点E 在A C 上，乙4 OE =NC,四边形D B C E的面积是4 A D E 面积的3倍.若DE=1.5,则 B C 的长为.如图，A B 是。的直径，3c切。于点8,A C 交。于点D.若。的半径为3,Z C=4 0,则 曲 的长为.（结果保留兀）14.如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A 处恰好弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体（看成一点）的路线是抛物线、=-|/+法+1的一部分，跳起的演员第2页，共23页距点4 所在y 轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高.若人梯到起跳点A 的水平距离为4 米，则人梯8 c 的高为 米.三、解 答 题(本大题共10小题，共 78.0分)15.当 =一看时，求代数式(3%+1)(3%-1)+(久+1)2+乂的值.16.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3,这些小球除数字不同外其余均相同,甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球.若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平.17.为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书.己知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍.求八年级人均捐书的数量.18.图、图均是5 x 5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形 的 边 长 均 为 4BC的顶点均在格点上.要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.(1)在图中画 4BC的中线BD.(2)在图中画 ABC的高线B E,并直接写出BE的长.(保留确定点E 的画图痕迹)图19.如图，四边形ABCD是平行四边形，A E 1 B C 于 E,AF 1 CD于 F,且BE=DF.(1)求证：四边形A8C。是菱形.(2)连接E凡 若NCEF=30。，AE=273直接写出四边形ABCO的周长.第4页，共23页2 0.自从开展“创建全国文明城区”工作以来，某城区便掀起了“争做热心人”志愿服务的热潮，区教育局也号召各校学生积极参与志愿服务.为了解甲、乙两所学校的学生一周志愿服务的情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长(单位：m讥)数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：a.甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图：b.甲校40名学生一周志愿服务时长在60 s x 8 0 这一组数据的是：60,60,62,63,65,68,70,72,73,75,75,77,79,79.c.甲、乙两校各抽取的40 名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下:学校平均数中位数众数甲校75m90乙校757685根据以上信息，解答下列问题：(1)表中m 的值为.(2)根据上面的统计结果，从志愿服务时长的角度看，你认为学生志愿服务工作做得 较 好 的 是 (填“甲校”或“乙校”)，理 由 是.(写 出 一 条 即 可)(3)甲校共有学生500人，该校要求学生一周志愿服务的时长不少于60min,请估计该校学生中一周志愿服务时长符合要求的人数.20Wx40E17.5%40Wx60C:60Wxv80D22.5%D:80Wxvl00E:100 x 0).(1)用含t 的代数式表示线段B Q 的长.(2)当 四 边 形 为 轴 对 称 图 形 时，求 f 的值.(3)当乙4QM为锐角时，求 f 的取值范围.(4)当点M 与 ABC一个顶点的连线垂直平分PQ 时，直接写出/的值.BQ2 4.在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=一/+2巾%-皿 2+31+1(1为常数).(1)当抛物线的顶点在第二象限时，求，的取值范围.(2)当-2 W x W l时，)，先随x 的增大而增大，后随x 的增大而减小，且当x=l 时 y有最小值，求整数，的值.(3)当m=1时，点 A 是直线y=2上一点，过点A 作)，轴的平行线交抛物线于点B,以线段4 B 为边作正方形A8CD 使 C 与 y 轴在的AB的同侧.若点C 落在抛物线上，求点A 的横坐标.(4)已知 EFG三个顶点的坐标分别为E(O,1),F(O,-1),G(2,1).当抛物线与 EFG的边有两个公共点时，直接写出，的取值范围.第8页，共23页答案和解析1.【答案】C【解析】解：.由数轴可得，离原点最近的点的是点C,绝对值最小的是点c,故选：C.根据绝对值的定义可知数轴上离原点的距离是这个数的绝对值，从而可以得到哪个数的绝对值最小，本题得以解决.本题考查实数大小的比较、绝对值、实数与数轴，解题的关键是明确绝对值的定义，利用数形结合的思想解答问题.2.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定。的值以及的值.科学记数法的表示形式为a x IO 的形式，其中1|a|0,解得k 4,取 k =3,故答案为：3(答案不唯一).先根据根的判别式求出Z的范围，再在范围内取一个符合的数即可.本题考查了根的判别式,能根据根的判别式的内容得出关于女 的不等式是解此题的关键.1 1.【答案】0【解析】解：当m =0时，2 nl 2 1 =-1,m2-1 =-1,则代数式2 7 n2 -1的值等于代数式机2 _ 1的值，命 题“代数式2 7 n2 一 1的值一定大于代数式m 2 -1的值”是假命题，故答案为：0.把m =0代入代数式计算，根据计算结果判断即可.第1 2页，共2 3页本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.12.【答案】3【解析】解：/-ADE=LC,44=42,A D E-ACB,四边形DBCE的面积是4 40E 面积的3 倍，S4ABe-SHADE+LADE=ADE.SHADE _ i,ShACB 4.丝=工，BC 2 BC=2DE=3.故答案为：3.由相似三角形的面积比等于相似比的平方作答.本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是通过面积比找出相似比从而求解.13.【答案】|兀V 乙4=90-Z C =90-40=50,乙 BOD=2 乙4=100,故答案为|兀.连接O D,如图，先根据切线的性质得到乙4BC=90。，则利用互余计算出乙4=50。，再根据圆周角定理得到NBOD=1 0 0,然后根据弧长公式计算.本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和弧长公式.14.【答案】3.4【解析】解：跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高.二抛物线的对称轴为x=2.5,二 x=_ 2x(_3)=2 5,解得：b=3,.抛物线为y =|x2+3x+1,人梯到起跳点A的水平距离是4,二点B的横坐标为4,贝IB=-|x 42+3 x 4 +1=3.4,即BC=3.4米.故答案为：3.4.根据题意可得抛物线的对称轴为x=2.5,可求得b的值，点B的横坐标为4,代入后可得出点8的纵坐标，继而得出人梯高B C的长度.本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意得出点8的横坐标,属于基础题.15.【答案】解：(3x+l)(3x 1)+(x+1产+x=(9x2-1+x2+2x+1)4-x=(10 x2+2%)+x 10 x+2,当x=一 专时，原式=10 x(-J+2=1+2=1.【解析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.16.【答案】解：画树状图如下:开始由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果,P(甲获胜)=：,P(乙获胜)=.这个游戏对双方不公平.第 14页，共 23页【解析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到和为奇数和偶数的结果数，再根据概率公式分别求出两人获胜的概率，从而得出答案.此题考查的是游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.1 7.【答案】解：设八年级人均捐书x本，则七年级人均捐书1.2 x本，依题意得：然 一 黑=3 0，解得：x=5,经检验，久=5是原方程的解，且符合题意.答：八年级人均捐书5本.【解析】设八年级人均捐书x本，则七年级人均捐书1.2 x本，根据捐书人数=捐书总量+人均捐书数量，结合八年级捐书人数比七年级多3 0人，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.1 8.【答案】解：（1）如图，线 段 即 为 所 求 作.图图（2）如图，线段2 E即为所求作.SAABC=AC-BE=19D C9V13.BE=-13【解析】（1）4 C与网格线的交点为。，线段8。即为所求作.（2）取格点7,连接8 7交A C于点E,线段B E即为所求作，利用面积法求出8 E即可.本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.1 9.【答案】（1）证明：四边形A 8 C D是平行四边形,BE 乙B=Z-ADF,v AE 1 BC,AF 1 CD,.LAEB=Z.AFD=90,在 AEB和中，NB=Z-ADFBE=DF,Z-AEB=Z.AFD.AEB=AFD(ASA:.AB=AD,四边形A8CD是菱形；(2)解：v/_CEF=30,AE LBC,.Z.AEF=60,由(1)知，AEBW AAFD,A AE=AF,Z.BAE=Z-DAF,.AEF是等边三角形，Z.EAF=60,四边形ABCD是平行四边形，：.AD/BC,:.Z-DAE=Z.AEB=90,:./LDAF=乙DAE-Z-EAF=30,乙BAE=30,：.BE=-AB,2 AB=2BE,AB2=BE2+AE2,AE=2百，(2BE)2=BE2+(2 遮)，.BE=2,AB=4,由(1)知，四边形ABC。是菱形，.四边形ABCD的周长=4AB=16.【解析】(1)利用全等三角形的性质证明力B=4。即可证得结论；(2)首先证得.AEF是等边三角形，得至此EAF=60,由平行线的性质求出4。力尸=30,即NB4E=30,得到4B=2BE,根据勾股定理求出BE,得至lj A 8,即可求得菱形ABC。第16页，共23页的周长.本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据全等三角形的判定证得 A E B=是本题的关键.20 .【答案】7 8甲校甲校学生一周志愿服务时长的中位数是78 m i n,大于乙校的中位数 76 m i n【解析】解：(1)甲校A、B、C三组的人数为4 0 x(5%+1 5%+3 5%)=22(人)，甲校同学一周志愿服务时长从小到大排列后，处在第20、21位两个数的平均数为亨=78(分)，因此m=78,故答案为：78；(2)甲校所在的学校学生志愿服务工作做得好，因为中校学生一周志愿服务时长的中位数是78 m i n,大于乙校的中位数76 m i n.故答案为：甲校学生一周志愿服务时长的中位数是78 m i n,大于乙校的中位数76 m i n.(3)因为5 0 0 X (1 -5%1 5%)=4 0 0(A),所以甲校学生中一周志愿服务时长不少于6 0 m i n的人数约为4 0 0人.(1)根据抽查人数，可知从小到大排列后处在第20、21位两个数的平均数为中位数，可求出甲校A、B、C三组的人数为22人，可得到中位数在C组，再根据C组的服务时长，可得到处在第20、21位的两个数分别为77,79,进而求出中位数：(2)通过比较甲、乙校的中位数、众数得出结论；(3)样本估计总体，样本中甲校学生一周志愿服务的时长不少于6 0分钟所占的比例为(1-5%-1 5%)=8 0%,因此估计总体5 0 0人的8 0%的学生，一周志愿服务的时长符合要求.考查扇形统计图的意义和制作方法，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提.21.【答案】8 0【解析】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为8 0千米/小时;故答案为：8 0；(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为：(24 0 -8 0)+8 0 =2(小时)，点E的坐标为(3.5,24 0),设线段O E所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b,则：f l.5 f c +b =8 0 彳 口 (k=8 0(3.5/c +b=24 0何 lb =-4 0 二 线段D E所表示的y与x之间的函数表达式为：y=8 0%-4 0(1.5 x 乙B=ZF,点尸为5 c 的中点,BF=CF,v Z-AFB=乙EFC,4FBwZkE(44S),.AF=FE=-AE=-x 4 =2.2 2.BF=AF=2,如图，过点尸 作 尸 4 8 于”，贝必H=BH=AB=|x 3=j,在RtABHF中，HF=y/AF2-AH2=J 22-(|)2=y.S“BF=8 HF=:x 3 x =泊，Sg|4BCD=4sAasp=4 X-V7=3V7.故答案为3夕.问题呈现：根据矩形性质可知4EF=/EFC.由折叠，得乙HFE=4 E F C,进而得到乙HFE=NHEF.所以 EFH是等腰三角形.问题拓展：由矩形性质可知/。=90,由折叠,得ND=/=90,DE=DE=a,C D=CD=b,CF=CF=c,由问题呈现，得CE=CF=c.在Rt A CDE中，利用勾股定理得到。2+炉=c2;问题应用：先证明AFB与AEFC全等，得到AF=FE=2,BF=AF=2,过点尸作FH LA B于H,则4H=8 H=。，在RtziBHF中，由勾股定理求出“尸=叱，从而求出22SBF=AB-H F=1 x 3 X y =|V 7，最 后 求 的 面 积.此题属于四边形的综合题.考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及折叠的性质.注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键.23.【答案】解：(1)由题意，得4Q=2t,AB=10,BQ=AB-A Q =10-2 t(0 t 5).(2)当四边形APMQ为轴对称图形时，P Q 的垂直平分线过A 点，RtAPM Q为轴对称图形，:.PA=AQ,-AP=AC-C Pf AC=6,CP=23 4P=6 23 即6 2=23当乙4QM为直角时，/-AQM=90,PQM为等腰直角三角形，:.乙PQM=45,乙AQP=Z-AQM-4PQM=90-45=45,如图，作PO 1 4 Q 交 A Q 于点。，PD=DQ,4:.APsinZ,A=AQ-APcosZ-A,即(6 2t)x-+(6-2t)x-=2t,A t=,4当t 90,当t：时，AQM 90,7A-t 5.4(4)分三种情况，使得尸。的中垂线分别经过A、B、C.过 A 点，与(2)情况相同，PA=AQ,6 2t=2t,32第20页，共23页 过 B 点，此时PQ=QB,PB=VCP2+BC2=V4t2+64.QB=10-2374t2+64=10-2t.t=；io过 C 点，此时CP=CQ,CQ=5,CP=23 即2t=5,.=12当3 V”5时，C P的表示方法为12 2 3 故 CQ=1 2-2 3 ”青综上，f的值为|或白或|或推2 10 2 14【解析】(1)根据线段的和差关系可得答案；(2)由轴对称图形和线段垂直平分线性质得P 4=4 Q,然后由线段和差关系得方程，解方程可得答案；(3)根据等腰直角三角形的性质得N4QP的度数，作PD LAQ交 A。于点。，由三角函数列出方程求解可得答案；(4)分三种情况：使得P。的中垂线分别经过A、B、C,分别列出方程，解方程可得问题的答案.本题考查四边形综合题、勾股定理、线段的垂直平分线的性质定理、方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题.24.【答案】解：(1)y=x2+2mx m2+3m+1=(%m)2+3m+1,二 抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1 的顶点为(m,3m+1),抛物线的顶点在第二象限，.fm 0解得一：m 0；(2)当-2 W x W 1时，y 先随x 的增大而增大，后随x 的增大而减小，且抛物线对称轴x=m,-2 m 1,当 =2时，y=-m2 m 3,当zn=1时，y=-m2+5m,当 =1时 y 有最小值，m2+5m m2 m 3,解得m：-2r V,nt W7 1,2m 为整数，.m=1(3)设点A 坐标为(a,2),则点B 的坐标为(a,a?+2a+3),*AB=-Q2+2a+3 2=-C L+2Q+1 或 AB=2 (Q?+2Q+3)=ci2 2a 1.v BC=2a 2或BC=2 2a,.=a?+2a+1=2a 2 或 a?2a 1=2 a 2,解得a=土遍或Q=2+8或a=2 遍(舍).:点A 的横坐标为一 8或8 或2+V3.(4)抛物线y=%2+2mx m2+3m 4-1=(%m)2+3m+1,抛物线顶点坐标为(zn,3nl+1),顶点运动轨迹为直线y=3x4-1,抛物线与y 轴交点坐标为(0,-Hi?+3m+1),如图，当抛物线经过点F(0,l)时，一?n2+3m+l=l,WWm=3+了(舍)或m=3 y,m增 大,当抛物线经过点G(2,l)时，1=一 22+4m 一相2+3优+1,解得租二手 或 6=手(舍)，第22页，共23页土 旦 m 3至满足题意.2 2，”继续增大，抛物线与三角形无交点，当抛物线经过点E(O,1)时，-m2+3m+l=l,机增大，当抛物线经过点G 时，巾=可亘(舍)或1=誓,n,7+V333 m -2综上所述，2 m上运或3 m 如亘.2 2 2【解析】(1)用?表示抛物线顶点，根据顶点在第二象限列不等式即可得到答案.(2)对称轴为直线x=m,由 =1时 y 有最小值可得-2 m 1,当x=l 时的丫比=-2 时 y 值大可求机的取值范围，最后取?为整数.(3)设点 A 坐标为(a,2),则点 B 坐标为(a,-a2+2a+3),BC=2a-2 或 BC=2-2 a,通过4B=BC求解.(4)通过数形结合，机从小到大分类讨论.本题考查二次函数与图形的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，利用数形结合方法求解.