直线与圆与椭圆的位置关系典型例题中学教育高考中学教育中学课件.pdf

直线与圆与椭圆的位置关系典型例题 1解决直线与圆和椭圆的位置关系的基本思路：2典型例题 例 1 已知圆，定点，A为已知圆上一个动点。（1）求线段 AQ的中点的轨迹；（2）直线 AQ与圆交另一点 B，求弦 AB的中点轨迹。解（1）如图 1，设 AQ中点为。设，由已知有。由 为 AQ中点，中点 的坐标为：即 即。所求轨迹方程为，它表示以（1，0）为圆心，以 为半径的圆。解（2）如图 2，设 AB的中点为，由平面几何可知，设 AB斜率为，OM斜率为，而 即。由圆 与圆 相交弦所在直线方程为。即所求轨迹方程为，其轨迹为圆 含在已知圆内的一段弧。点拨 求动点的轨迹方程，一般有两种思路：如（1）中动点 P是随着另一个有规律运动的点 A在运动，于是可以设法把动点 P的坐标转移到动点 A的坐标上，即把动点 A 的运动规律作为桥梁，建立关于动点 的轨迹方程；上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交另一种是如（2）中动点 M本身的运动规律就可建立关于动点 的轨迹方程。这两种方法常被称为求轨迹方程的转移法和直接法。例 2 已知直线 与圆 相交于 A、B两点，求弦长。解法一：如图，设、，则 A、B坐标即方程组 的解，从方程组中消去 可得：而 又 A、B在直线 上，即 。解法二：作 于 M，M为 AB中点，在 中，为原点到直线 距离即 点拨 解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于A、B 两点，求 的一般办法，设已知直线为，与已知曲线 C 的交点为、，则有 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交，即 同理可得 .这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率 及交点的坐标、有关，而与曲线 C本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍运用。解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和运用（例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距；有关圆的切线问题，应该注意过切点的半径等）往往会找到解题的捷径。例 3 已知圆 C：，直线（）（1）判断并证明圆 C与直线 的位置关系；（2）设直线 与圆 C交于 A、B两点，求弦长 的最小值及相应的直线 的方程。解：将直线 的方程变形为，并把这个方程看作关于 的一次方程，由，即这个方程有无穷多组解，则有：解得 即说明直线 恒过定点P（3，1）。又由圆 C的圆心为C（1，2），而，即 小于圆 C半径，可知 P点恒在圆 C内部，过 P点的直线 当然与圆恒交于两点。上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交（2）圆 C：中过 P（3，1）点的直径所在直线方程的斜率为。由平面几何可知，过 P（3，1）点的所有弦中与过 P点的直径垂直的弦长最短，此时，可知，直线方程由点斜式可得 即。在 中，为弦心距，为圆 C半径，即最短弦长。最短弦长为，相应过P点直线方程为。点拨 认真审题，分析含有字母系数的方程所表示的几何图形的特点，结合平面几何知识，才能更有效地使用数形结合的办法解决解析几何问题。例 4 设圆满足：截 轴所得弦长为 2 被 轴分成两段圆弧，其弦长的比为 在满足、的所有圆中求圆心到直线 的距离是小的圆的方程。解：设所求的圆圆心 P（）半径为，则 P到 轴，轴的距离分别为，由圆 P截 轴所得劣弧所对的圆心角为 得圆截 轴所得弦长为，故。又圆截 轴所得弦长为 2，所以有，即有 设点 P（）到直线 的距离为 则 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交当且仅当 上式等号成立，此时，从而 取得最小值。解得 或 由于 故所求圆的方程为 或。点评 本题考查直线与圆的位置关系，待定系数求圆的方程，均值不等式求最值等号取得的条件等基础知识，是道非常好的基础知识考查题，打破了人们高考中圆部分不出大题的思维定势，很值得探讨和研究。例 5 求过直线 和圆 交点且面积最小的圆的方程。解法 1 设过直线 和圆 交点的圆系方程为 即：（1）此圆半径为 当 时，最小，即圆的面积为最小。把 代入（1）得所求圆方程为 解法 2 因为直线和圆为固定的，所以直线被已知圆截得弦长固定，故当所求圆的圆心到已知直线距离最小时，所求圆的半径最小，此时圆面积最小，所以只有所求圆圆心在直线 上时，圆的半径最小。由解法（1）得：动圆方程为：上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交，圆 心 为（），代 入 得：，代入动圆方程得所求圆的方程为：即 点评 这两种解都用了过直线和圆交点的圆系方程，但求参数 的方法不同，前者把半径 表示为 的二次函数，用二次函数求最值；后者把圆心用 表示，代入已知直线方程求出。例 6 求经过点 P（2，4），并且以两圆 和 的公共弦为一条弦的圆的方程。分析 此题可先求出两圆交点，那么所求的圆过点 P 和两圆交点，设所求圆方程为，将这三点坐标代入即可求得圆方程，便这样解计算量较大。如果用圆系方程来解，则简便得多。解 依题意设所求圆方程为 此圆过点 P（2，4），代入得 解得 代入得 整理可得所求圆方程为 例 7 当 取何值时，直线：与椭圆 没有交点，有且只有一个交点，有两个交点。由方程组：消去 可得：上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交 即 当，即 或 时，直线与椭圆没有交点；当，即 时，直线与椭圆有且只有一个交点；当，即 时，直线与椭圆有两个交点。点拨 确定直线和椭圆的位置关系的一般方法是：例 8 若连接 A（1，1）、B（2，3）两点的线段与椭圆 没有交点，求实数 的取值范围。解：过 A、B 两点的直线方程为：，椭圆方程可变形为，它是中心在原点、焦点在 轴的动椭圆系。当线段 AB在椭圆外部时，如下图，即直线 AB与椭圆系没有交点。由方程组：，消去，可得：令 ，即 即 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交解得 当线段 AB在椭圆内部时，如下图，当动椭圆过点 B时，这时的椭圆是和线段 AB有交点的最大的椭圆。例 9 已知椭圆，直线，P是 上一点，射线 OP交椭圆于点 R，如图，又点 Q在 OP上且满足，当点 P在 移动时，求点 Q的轨迹方程，并说明轨迹方程是什么曲线。解法 1 由题设知点 Q不在原点，设 P，R，Q的坐标分别为（），（），（），其中 不同时为零。当点 P不在 轴上时，由于点 R在椭圆上及点 O，Q，R共线，得方程组 解得 由于点 P在直线 上及点 O，Q，P共线，得方程组 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交 解得 当点 P在 轴上时，经验证上边结论也成立。由题设 得 将上边结论代入上式得 因 与 同号或 与 同号，故点 Q的轨迹方程为 （其中 不同时为零）所以点 Q的轨迹是以（1，1）为中心，长短半轨长分别为 和 且长轴与 平行的椭圆，去掉坐标原点。解法 2 P，Q，R的坐标如解法 1，当 P 不存在 轴上时，由，可得 又 由，即，即 可解得 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交代入得 代入椭圆方程 整理得 即 （其中 不同时为零，另 P 在 轴上时，上式亦成立。）所以点 Q的轨迹是以（1，1）为中心，长短半轴长分别为 和 且长轴与 轴平等的椭圆，去掉坐标原点。说明 本题主要考查直线，椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力 本题的综合性强，用到的知识比较多，并且彼此牵连，有些解法又会遇到高次方程，根式方程，计算较繁，因而要圆满完成本题解答，并不容易 例 10 已知椭圆 C：，试确定 的取值范围，使得对于直线：，椭圆 C上有不同的两点关于这条直线对称。分析 设出对称的两点及其所在的直线的方程，再利用判别式 及中点在对称轴上来求解。解法 1 设椭圆 C上关于直线 对称的两点为P（，），Q（，），其所在直线方程为，代入椭圆方程 并整理得 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交 ，解得 又，而点（，）又在 上 把代入得 的取值范围是。即 分析 2 设出对称的两点及其所在直线的方程，由中点既在 上，又在两点所在直线上，解出交点坐标的表达式，由中点必在两点之间建立不等式来求解。解法 2 由解法 1 知：，其中 PQ的中心坐标为 M（，）由 消去 且把 代入可解得，根据中点 M的位置（介于 P、Q）之间必有不等关系，由此可解得 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交经验证：当 时，适合条件的点 P、Q存在，故为所求。分析 3 可根据“点差法”并结合均值不等式求出 的范围。解法 3 设 P（，），Q（，）是椭圆 上两点，若 关于直线：对称，当且仅当下列条件组成立 并把代入得 把代入 把代入 得 由题意，根据均值不等式，把代入解得。即 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交分析 4 C 上存在不同的两点关于直线 对称，等价于存在 C的弦被 垂直平分，且垂足必在椭圆 C的内部，因此，这类问题可考虑利用交点在曲线 C内部建立不等式。解法 4 设椭圆上的两点为 P（，），Q（，），PQ的中点 M（，），代入椭圆方程后相减得 又 由解得 M（，）在椭圆的内部 ，解得。即 分析 5 C 上存在不同的两点关于直线 对称，等价于 C存在被 垂直平分的弦，即等价于C的适合条件的弦所在的直线方程与曲线C的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解。因此，这类问题可利用一元二次方程根的分布的充要条件建立不等式求解。解法 5 由解法 4，知，从而直线 PQ的方程为 代入椭圆方程整理，记 令，此方程在 上有两个不等实根的充要条件是 解得。即 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交分析 6 利用 C上存在不同的两点关于直线 对称，则中点必在 上，也必在曲线C 的斜率为 的平行弦的中点轨迹上，把问题整体转化为求曲线 C 的斜率为 的平行弦中点的轨迹与直线 交点在 C内时的参数的取值范围。解法 6 设 是椭圆 C斜率为 的平行弦中点轨迹上任一点，椭圆 （1）关于点 中心对称的曲线方程为：（2）（1）（2）得：以 为中点的平行弦的方程为：，椭圆 C的斜率为 的平行弦中点的轨迹是直线 （3）在 C内的部分，解 与（3）所组成的方程组得交点（，）。交点在 C内 解得。即 上一个动点求线段的中点的轨迹直线与圆交另一点求弦的中点轨迹解如图设中点为设由由已知有为中点中点的坐标为即即所求轨迹方程为它表示以为圆心以为半径的圆解如图设的中点为由平面几何可知设斜率为斜率为而即由圆与圆路如中动点是随着另一个有规律运动的点在运动于是可以设法把动点的坐标转移到动点的坐标上即把动点的运动规律作为桥梁建立关于动点的轨迹方程另一种是如中动点本身的运动规律就可建立关于动点程这两种方法常被称为求轨即方程组的而又在直线上即解法二作于为中点在中为原点到直线距离即点拨解法一给出了一条已知直线与一条已知曲线相交于两点求一般办法设已知直线为与已知曲线的交点为的则有即同理可得这两个公式一般称为直线与曲线相交