圆的解题套路中学教育高考英语中学教育教学研究.pdf

门派 姓名 编号 模型一：伴随 比较容易？）圆 的 解 题 套 路 型相似（听说它 第一天 AC AB CB AD AC CD 为圆 D。O 直径，AC 为 BAD 角 则可以证 ADC 与 ACB 例题 1：如图，AB 为 O的直径，点 E在O 上，C为 的中点，过点 C作直线 CDAE 于 D，连接 AC、BC（1）试判断直线 CD与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AD=2，AC=，求 AB 的长 若 O 的半径为 5，sinDAC=，求 BD 的长 第二天 例题2：如图，已知 O是 ABC的外接圆，AD是 O的直径，且BD=BC，延长 AD到E，且有 EBD=CAB（1）求证：BE 是 O 的切线；（2）若 BC=，AC=5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长 变式 1：如图 1，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过 C 点的切线，垂足为 D，AB 的延长线交直线 CD 于点 E（1）求证：AC 平分 DAB；（2）如图 2，连接 OD 交 AC 于点 G，若=，求 sinE 的值 C=90，点 E 在 AB 上，以 AE 为直径的 O 切 BC 于点 D，连接（1AD 求证：AD 平分；2）点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理 第三天 变式 2：AB 为 O的直径，C为 O上一点，AD 与过 C点的切线垂直，垂足为 D，连 AC（1）求证：AC 平分 DAB；变式 3：如图所示，ABC 内接于 O，AB 是 O的直径，点 D在O 上，过点 C的切线 交 AD 的延长线于点 E，且 AE CE，连接 CD（1）求证：DC=BC；（2）若 AB=10，AC=8，求 tanDCE 的值 第四天 变式 4：如图，已知以 Rt ABC 的斜边 AB 为直径作 ABC 的外接圆 O，ABC 的平分 线 BE 交 AC 于 D，交 O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F（1）求证：EF 是 O 切线；（2）若 EF=8，tanAEF=，求 CD 的长 and 切割线（这是一个很深的坑）点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理 模型识别：如左图：PB 为圆 O第切四线天 PB PC CB 第四天 从而：（这个比例式经常将 PA（这里就有一个连锁反应：HB DH 解答：例 1：（1）如图，D 为O 上一点，点 求证：CD 是 O 的切线；过点 B 作O 的切线交 CD 2）P先A让为我圆们O来割体线会。一可个证几：何的连P锁CB反应PB）A。CB 进行转化。）BA BD DA 这如里图有：射A影B定为理圆模型O和的切直割径线，模过型点（D能的切线交 AB 的 延）长，线两于个点模型C的，D线H段之A比B可于以H不。断若 AB=10，HB 1,可以证明 DHB AHD,DH 2 求 DHCB 的 B 值 D。HB BD 1，即：，AH AD HD AD 2 BD CB CD 1 CBD CDA,.AD CD CA 2 分析：找到吗？转化：HB HD CB CD,将射影定理和切割线结合到了一起！）CD CA 第五天 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD 的延长线于点 E，BC=6，求 BE 的长 变式 1：如图，在 O 中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 上有点 E，且 EF=ED （1）求证：DE 是 O 的切线；F，在 AB 的延长线（2）若 OF：OB=1：3，O 的半径 R=3，求 的值 变式 2：如图，AB 为 O直径，C是O上一点，COAB 于点 O，弦 CD 与 AB 交于点 F，过点 D 作 CDE，使 CDE=DFE，点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理第八天（真正的子母型）交 AB 的延长线于点 E过点 A 作 O 的切线交 ED 的延长线于点 G（1）求证：GE 是 O 的切线；（2）若 OF：OB=1：3，求 AG 的长 第六天 例题 2：如图，在 ABC 中，AB=AC 以 AC 为直径的 O交 AB 于点 D，交BC 于点 E过 E 点作 O 的切线，交 AB 于点 F（1）求证：EFAB；（2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的长 变式 1：如图，以 AB 为直径的 O交 ABC 的边 AC 于D、BC于 E，过 D 作 O的切线 第七天 变式：如图，在 ABC 中，CA=CB，以 BC 为直径的圆 O 交AC 于点 G，交 AB 于点 D，过点 D作 O的切线，交 CB 的延长线于点 E，交 AC 于点 F（1）求证：DFAC （2）如果 O 的半径为 5，AB=12，求 cos E 交 BC 于 F，交 BA 延长线于 G，且 DFBC （1）求证：BA=BC；点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理例题 4：已知：在 Rt ABD 中，ABD=90，以直角边 AB 为直径作圆 O 交 AD 于 C，取 线段 BD 的中点 E，连接 CE 交 AB 的延长线于 P（1）求证：CP 是O 的切线；（2）点 M 是弧 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=4，求 MN?MC 的值 变式：如图，已知 ABC，以 AC 为直径的 O交AB 于点 D，点 E为 的中点，连结 CE 交 AB 于点 F，且 BF=BC （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 O 的半径为 2，sinB=，求 CE 的长 第九天 变式：如图，D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD （1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 BC=6，tan CDA=，求 CD 的长 变式：如图，AB 为 O的直径，COAB 于 O，D在 O上，连接 BD，CD，延长 CD与 AB 的延长线交于 E，F 在 BE 上，且 FD=FE（1）求证：FD 是 O 的切线；（2）若 AF=8，tanBDF=，求 EF 的长 类型三：等腰三角形与圆的交点 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理key-point)点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理第 十如天左图：ABC 为等腰三角形，AB 为圆 O 例的题直1径：，如则图，B在C与圆ABCO 的中交，点AB=DA为C，BC以 的中 AB点。为直径作 O，交 BC 边于边 D，交 AC 边于点 G，过 D 作 O 的切线 EF，交 AB 的延长线于点 F，交 AC 于点 E（1）求证：BD=CD；变式：在 ABC 中，ACB=90，D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的 O 与边 AC 有公共 点 E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F，BD=BF （1）求证：AC 是 O 的切线；（2）若 BF=8，AD=4，求 CF 的长变式：如图，以 ABC 的边 AB 为直径的 O 与边 BC 交于点 D，过点 D 作 DEAC，垂 足为 E，延长 AB、ED 交于点 F，AD 平分 BAC（1）求证：EF 是 O 的切线；（2）若 CE=1，sinF=，求 O 的半径 第十一天点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理例题 2:如图，已知等腰三角形 ABC 的底角为 30，以 BC 为直径的 O 与底边 AB 交于点 D，过 D 作 DEAC，垂足为 E（1）证明：DE 为 O 的切线；（2）若 BC=4，求 AD 的长 变式：已知如图，AB 是 O 的直径，O 过 BC 的中点 D，且 DE AC 于点 E 1）求证：DE 是 O 的切线；变式：如图，在 ABC 中，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，过点 D 作 DE BC 于点 E，且 BDE=A （1）判断 DE 与O 的位置关系并说明理由；2）若 AC=16，tanA=，求O 的半径 第十二天 例题 3:如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 O分别交 AC，BC 于点 D，E，过 点 B 作 O 的切线，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：CBF=CAB；2）连接 BD，AE 交于点 H，若 AB=5，tanCBF=，求 BH 的值 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理 变式：如图，以 ABC 的边 BC 为直径的 O 交 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 E （1）如图 1，若 ABC=90，求证：OE AC；（2）如图 2，已知 AB=AC，若 sin ADE=，求 tanA 的值 类型四：射影定理（唐教授（长沙中考命题人）的最爱）第十三天 例题 1：如图，以 ABC 的一边 AB 为直径作 O，O 与BC 边的交点恰好为 BC 的中点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E（1）求证：DEAC；变式：如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，BC交 O于点E，连接 AE（1）若 D 为 AC 的中点，连接 DE，证明：DE 是 O 的切线；（2）若 BE=3EC，求 tanABC 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理 第十四天 例题 2：如图，已知 CD 是 ABC 中 AB 边上的高，以 CD 为直径的 O 分别交 CA、CB 于 点 E、F，点 G 是 AD 的中点 GE=BD=2，EC=变式：如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O的直径，过点 C作AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F为 CE的中点，连接 DB，DC，DF （1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 AC=2 DE，求 tanABD 的值 变式：如图，ABC 内接于 O，AC 为 O的直径，PB是 O的切 线，B为切点，OPBC，垂足为 E，交O 于D，连接 BD（1）求证：BD 平分 PBC；（2）若O 的半径为 1，PD=3DE，求 OE 及AB 的长 杂题（方法或辅助线稍特殊的题）第十五天 1：如图，AB 是 O 的直径，AC、BC 是O 的弦，ADBC，且 DCA=B，连接 OD 1）求证：DC 与 O 相切；1）求证：GE 是 O 的切线 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理 第十六天 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理1：如图，点 O在 ABC 的边 AB 上，O过点 B且分别与边 AB、BC 相交于点 D、AC 于 F，直线 EF 是O 的切线（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若 BD=2DA，cosB=，CF=2，求线段 AF 的长 第十七天 1：在 RtABC 中，ACB=90，O 在AB 上，经过点 A，与 CB 切于 D，分别交 AC 于 E、F（1）求证：sin B=；2）连 CE，AD相交于 P，sinB=，求 第十八天 1：如图，已知 AB 为 O的直径，弦 CD AB，垂足为 F，E为BA 延长线上的一点，CE、CA，ECA=ACD （1）求证：CE 为 O 的切线；（2）若 EA=2，tanE=，求 O 的半径 E，EF AB、连接 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理第十九天 1：如图，在 ABC中，AC=BC，以 AB为直径的 O交AC边于点 D，点 E在BC上，连 结 BD，DE，CDE=ABD （1）证明：DE 是 O 的切线；求圆 O 的半径和 AC 的长 点在上为的中点过点作直线于连接试判断直线与的位置关系并说明理由若求的长连接求证平分点在上以为直径的切于点若的半径为求的长第二天例题如图已知是的外接圆是的直径且延长到且有求证是的切线若求圆的直径及切线的长点若求的值第三天变式为的直径为上一点与过点的切线垂直垂足为连求证平分变式如图所示内接于是的直径点在上过点的切线交的延长线于点且连接求证若求的值第四天变式如图已知以的斜边为直径作的外接圆的平分线交于交于过一可个证几何线第四天从而这个比例式经常将四的连锁反应天进行转化分析这如里图有射影定为理圆模型和的切直找到割径线模过型点能的切线交的延长吗转化求的值即线两于个点模型的线段之比可于以不断若可以证明将射影定理