2021年度现代控制理论三习题库.pdf

信 息 工 程 学 院 当代控制理论课程习题清单学分、学时3学分，4 8学时课程归属（系、专业）自动化系授课专业年级自动化大三总章节或总单元6授课周数16教师教龄2命题教师签名课程负责人签名教学副院长签名课程目的：自动控制领域科学研究办法，已经由最早典型控制中以输入输出模型为主，发展为现今当代控制中以状态空间模型为主。因而，“当代控制理论”是从事自动化专业必备知识。”当代控制理论”教学目的是使学生牢固树立线性系统中状态空间概念、进一步理解系统稳定性这一控制学科最为重要概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态预计等核心办法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题办法灵活运用，分析解决实际问题。从宏观角度把握课程体系构造，建立起当代控制理论基本框架。重要培养学生如下三个方面能力：1、分析建模能力依照系统工作原理或实验数据，建立合理数学模型。2、认知和理解能力理解与掌握能控性、能观测性与系统设计关系，系统矩阵与稳定性关系，输出反馈与状态反馈关系。3、设计实行能力依照系统不可变某些及给出综合性性能指标，设计出满足控制系统规定状态反馈矩阵，并画出模仿电路图。第 一 章（单元）：绪论本 章 节（单元）教学目的：重要简介控制理论产生背景及当代控制理论研究重要内容,使学生对当代控制理论发展及其所研究重要问题有一种初步理解，并且复习、补充关于 线性代数内容。重点内容：逆矩阵、线性无关与线性有关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性理论等。预习题1.系统数学描述可分为哪两种类型？2.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别？复习题1.当代控制理论研究重要内容是什么？2.当代控制理论研究对象？3.当代控制理论所使用数学工具备哪些？4.当代控制理论问题解决办法是什么？练习题1 .控制一种动态系统几种基本环节是什么？第 二 章（单元）：控制系统状态空间表达式本 章 节（单元）教学目的：对的理解线性系统数学描述，状态空间基本概念，纯熟掌握状态空间表达式，线性变换，线性定常系统状态方程求解办法。重点内容：状态空间表达式建立，状态转移矩阵和状态方程求解，线性变换基本性质，传递函数矩阵定义。规定纯熟掌握通过传递函数、微分方程和构造图建立电路、机电系统状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当原则型。难点：状态变量选用非唯一性，多输入多输出状态空间表达式建立。预习题1.当代控制理论中状态空间模型与典型控制理论中传递函数有何区别？2.状态、状态空间概念？3.状态方程规范形式有何特点？4.状态变量和状态矢量定义？5.如何建立状态空间模型？6.如何从状态空间表达式求传递函数？复习题（x=Ax Bu1.如何写出SISO系统状态空间表达式相应传递函数阵表达式ly=Cx+Du2.若已知系统模仿构造图，如何建立其状态空间表达式？3.求下列矩阵特性矢量r 1 -i oiA=2 0 2-1 0 -5 24.（判断）状态变量选用品有非惟一性。5.（判断）系统状态变量个数不是惟一，可任意选用。6.（判断）通过恰当选取状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输出关系系统，表达为状态空间描述。7.（判断）传递函数仅合用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用.8.如果矩阵A 有重特性值，并且独立特性向量个数不大于n,则只能化为模态阵。9.动态系统状态是一种可以拟定该系统_ _ _ _ _ _ （构造，行为）信息集合。这些信息对于拟定系统_ _ _ _ _ _ （过去，将来）行为是充分且必要。10.如果系统状态空间表达式中矩阵A,B,C,D 中所有元素均为实常数时，则称这样系统为_ _（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素中有些是时间t 函数，则称系统为_ _ _ _ _ _ （线性定常，线性时变）系统。11.线性变换不变化系统_ _ _ _ _ _ 特性值，状态变量）。12.线性变换不变化系统_ _ _ _ _ _ （状态空间，传递函数矩阵）。13.若 矩 阵 A n 个特性值互异，则可通过线性变换将其化为_ _ _ _ _（对角阵，雅可比阵）。14.状态变量是拟定系统状态_ _ _ _ _ _ （最小，最大）一组变量。15.以所选取一组状态变量为坐标轴而构成正交_ _ _ _ _ _ （线性，非线性）空间，称之为_ _ _ _ _ _ （传递函数，状态空间）。练习题1.试求图1-27系统模仿构造图，并建立其状态空间表达式。图1-28电路图建立图P12所示系统状态空间表达式。两输入,u2,两输出切，当 系统，其模仿构造图如图1-30所示,图1-27系统方块结构图有电路如图所示，设输入为，输 出 为，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。有电路如图1-28所示。以电压必（。为输入量，求以电感中电流和电容上电压作为状态变量状态方程，和以电阻R2上电压作为输出量输出方程。试求其状态空间表达式和传递函数阵。图1-30双输入双输出系统模拟结构图6 .系统构造如图所示。以图中所标记玉、%、毛作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，、y分别为系统输入、输出，、。2、均为标量。-7 .试求图中所示电网络中，以电感右 上支电流匹、/作为状态变量状态空间表达式。这里是恒流源电流值，输出y是R,上支路电压。8 .已知系统微分方程+/+4很+5 y =3，试列写出状态空间表达式。9 .已知系统微分方程2 y+3夕=&-“，试列写出状态空间表达式。1 0 .已知系统微分方程了+2/+3夕+5 y =5 i7 +7，试列写出状态空间表达式。1 1 .系统动态特性由下列微分方程描述y+5 y+7 y+3y=u+3 +2u列写其相应状态空间表达式，并画出相应模仿构造图。12.已知系统传递函数W(s)=S+D 试求出系统约旦原则型实S(S+2)(S+3)2现，并画出相应模仿构造图13.给定下列状态空间表达式y=o 0 1(1)画出其模仿构造图；(2)求系统传递函数14.已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。g(s)=S3+5+1+6s2 +1 1,V +6 g(s)s?+2s+3$3+2s+3s+115.列写图所示系统状态空间表达式。16.求下列矩阵特性矢量0 1 0A=3 0 2-12-7 -617.将下列状态空间表达式化成约旦原则型(并联分解)-4 1 -2 1 3 rx2=1 02x2+2 711?3 _1 -13一*3 _ 5 3 _弘 一1 2 0 飞*0 1 1x21 8.试将下列状态方程化为对角原则形。01 9.试将下列状态方程化为约当原则形。X比2当4110-1-22X2+一 32r71 13 _X3_5 3 _%2 0.已知系统状态空间表达式为-5 -1 1 2X=x+U3 -1 J|_ 5y =1 2X+4M求其相应传递函数。2 1.设离散系统差分方程为yk+2)+5 y(k+1)+3 y(左)=u(k+1)+2 u(k)求系统状态空间表达式。2 2.已知两系统传递函数分别为WQ）和 W 2（s）1111叱(s)=S+1 s +25 +1吗(s)=s +315 +400s +2 _一 s+1试求两子系统串联联结和并联连接时，系统传递函数阵，并讨论所得成果2 3.已知如图1-2 2 所示系统，其中子系统1、2传递函数阵分别为11 -叱(s)=5 +10S1W2(s)=1 00 15 +2.求系统闭环传递函数2 4.已知差分方程为y(k+2)+3 y(k+1)+2 y(&)=2 a(Z +1)+3 u(k)试将其用离散状态空间表达式表达，并使驱动函数u系数b(即控制列阵)为1 1b=12 5.某机械位移系统，物体在外力/()作用下产生位移y()，当位移y()微y 1 ky C t)=F(t)+-v(t)小变动时，系统动态方程为：m m其中血为物体质量，卜为弹性系数，尸(。为外力。1)求取以y(t)、y(t)为状态变量,以u(t)=F(t)为输入,y(t)为输出状态方程和传递函数；2)判断参数m,k对系统能控性和能观性有何影响。2 6.考虑如下系统传递函数：y(s)_ S +6U(s)52+5 5 +6试求该系统状态空间表达式能控原则形和可观测原则形。2 7.考虑下列单输入单输出系统：9 +6/+1 1 1 +6 y =6M试求该系统状态空间表达式对角线原则形。2 8.考虑由下式定义系统：x-Ax+Buy=Cx式中试将该系统状态空间表达式变换为能控原则形。2 9.考虑由下式定义系统：x=Ax+Buy C x式中试求其传递函数Y(s)/U(s)。3 0.考虑下列矩阵：0 10 00 0 10A =0 0 0 110 0 0试求矩阵A特性值储局入3和右。再求变换矩阵P，使得kAP=dia g（4 2,4,乙）3 1 .试建立图示电路状态空间表达式。3 2.试建立图示电路状态空间表达式。3 3 .试建立图示系统状态空间表达式。53 4 .已知系统微分方程，试列写出状态空间表达式。2/+4夕 +y =3 5 .已知系统微分方程，试列写出状态空间表达式。y+5/+3 y =t i +3 u3 6 .已知系统微分方程，试列写出状态空间表达式。y +5/+3 y =3 u3 7.设系统微分方程为y+5 y+8 y+6 y =3 M，求系统状态空间表达式。3 8 .设系统状态空间表达式为X=00-510-301-2王%x3一001Uy=求系统传递函数。3 9.已知系统传递函数，试B 9_2 2_列写出状态空间表立不 一_%3 一士式，并画出状态变量图。4 3.试求图示机械系统传递函数矩阵。G(S)-S(S +1)(S+3)40.已知系统传递函数，试列写出状态空间表达式，2+2$+3仃 =3 ,S+1并画出状态变量图。41.已知系统传递函数，试列写出状态空间表达式，、10G(s)=s+5s+4s+l并画出状态变量图。42.己知系统传递函数，试列写出状态空间表达式，G(s)=S(S+2)2(S+3)并画出状态变量图。4 4.己知系统状态空间表达式为试求系统传递函数矩阵。第 三 章(单 元)：控制系统状态空间表达式解本 章 节(单 元)教 学 目 的：对的理解线性定常系统自由运动和受控运动概念，纯熟掌握矩阵指数计算办法，掌握离散时间系统状态方程求解办法。重点内容：状态转移矩阵定义、性质和计算办法，状态方程求解公式；线性定常系统状态方程求解办法预习题1.线性定常持续系统在输入为零时，由初始状态引起运动称为 运动2.线性定常续系统状态方程解由哪两个某些构成？3.线性变换基本性质涉及哪两个不变性？复习题1.写出线性定常持续系统齐次状态方程解矩阵指数表达式x(t)=2.写出线性定常持续系统非齐次状态方程解矩阵指数表达式x(t)=e x(O)+eA(tT)Bu(r)dTJ 03 .系统状态变量与输入之间关系用一组一阶微分方程来描述数学模型称之为_o4 .线 定 定 常 持 续 系 统 状 态 方 程 解 由 两 某 些 相 加 构 成，一 某些是_,第二某些是_,5 .对于任意时刻t,系统输出不但和t关于，并且与t时刻此前累积关于，此类系统称为_o练习题1.试求下列矩阵相应状态2.试求下列矩阵相应状态43.已知线性定常系统状态:X-4.已知线性定常系统状态:输出响应。-0 1X=-5 -65.用三种办法计算如下矩6.下列矩阵与否满足状态=传移矩阵。0 1 14 =0 -1茂移矩阵。4 =4 0空间表达式，求单位阶跃辑0 1 1 0 x+u x(0-2 -3 j L1.空间表达式，求单位阶跃物_ 2 x+u x(0)=|_ 1年 指 数 函 数。(nA=(4 1 J传移矩阵条件，如果满足，e-e2 2 e-2 -e.入时状态方程解。)=To.入时状态方程解和y =1 2 卜试求与之相应A阵。7 .下列矩阵与否满足状态转移矩阵条件，如果满足，试求与之相应A阵。8 .求下列状态空间表达式解:00 x=1 一x+uo j|_1 _y =(l,0)x初始状态x(0)=；,输入“(r)时单位阶跃函数。9 .有系统如图2.2所示，试求离散化状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1 s和1 s,而 和小 为分段常数。U25 K/(s+l)*+1/s 2图2.2系统构造图1 0 .用三种办法计算下列矩阵A矩阵指数函数建，1 1 .用三种办法计算下列矩阵A矩阵指数函数 0 1 0 A=0 0 1-6 -1 1 -61 2.已知系统状态方程和初始条件为 1 0 0 x=0 1 0 x,x(0)=0 1 2(1)试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；(2)试用化对角原则形法求其状态转移矩阵；(3)试用化为有限项法求其状态转移矩阵；(4)依照所给初始条件，求齐次状态方程解。1 3 .矩阵A是2 x 2常数矩阵，关于系统状态方程式文=Ax,有2x(0)=时，1x(0)=时,-1试拟定这个系统状态转移矩阵(f,0)和矩阵A。1 4 .已知系统 =Ax转移矩阵。小)是 亿 外=2ee -ee 2 2(e-2-ee j)试拟定矩阵A。e-e-2 2e-2,-e-_1 5 .计算下列矩阵矩阵指数函数e。0 rA=0 01 6 .已知系统状态空间表达式为 0 1 1 X X+Uy=i 1上(1)求系统单位阶跃响应；(2)求系统脉冲响应。1 7 .计算下列矩阵矩阵指数函数e。A =-2 00 -11 8 .求下列系统在输入作用为：脉冲函数：单位阶跃函数：单 位斜坡函数下状态响应。1 9 .求下列系统在输入作用为：脉冲函数；单位阶跃函数；单 位斜坡函数下状态响应。0 1 0 x=,(八 x+-ab-(a+b)J 12 0.计算下列矩阵矩阵指数函数e。F 0 1 A =-1 02 1 .线性时变系统文(。=4(。”(。系数矩阵如下。试求与之相应状态转移矩阵/、。1 /、0。一 A )=0 t；4()=t 02 2 .计算下列矩阵矩阵指数函数1 2 A =0 12 3 .己知线性定常系统状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程解和输出响应。一。1 2 1 r 1文=(x+x(0)=y=2x J O J|_ 12 4.已知线性定常系统状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程解。o 11 ro rrx-x+u.r(0)=_-2 -3 J|_1 J|_0 _2 5.计算下列矩阵矩阵指数函数eA，-I 1 0 A=0 -1 00 0-22 6 .计算下列矩阵矩阵指数函数 1 0 0 A=0 1 00 1 22 7 .计算下列矩阵矩阵指数函数2 8.给定线性定常系统式中且初始条件为 0 1 0 A=0 0 10 0 0 x=Ax o rA -3-2 _rX(O)=,试求该齐次状态方程解x(/)。2 9.已知系统方程如下 o 11 r rX-x+u-6 -5 J L _y =l -1 卜求输入和初值为如下值时状态响应和输出响应。T1)u(t)-0,x(0)=0 ；2)u(t)-1(/),x(0)=13)(/)=1(/),x(0)=；4)(/)=/1(/),x(0)=30.验证下列矩阵与否满足状态转移矩阵条件，若满足，求相应状态系数矩阵 A。31.(=-+e-3 (e-+e-3)2求定常控制系统状态响应W)=0 1-1-2x(f)+0、Jw(r),r 0,x(0)=，=l(r)、y3 2.对线性定常系统；t=A r(f),已知x(0)=1 时 x(f)=12 1x(0)=时 x(r)二1求系统矩阵A。3 3.已知线性时变系统系统矩阵如下，计算状态转移矩阵,0)。t 00 01)AQ)=2)A(t)=1 0t 134.给定系统比=A(7)x和其随着方程2=-z,其状态转移矩阵分别用中(/Jo)和 ,幻 表 达，证明：Q,7)I,，o)=/。35.求解下列系统状态响应。x=0 0t 0 x+1u,无=12w(r)=l(/-l)3 6.已知如下离散时间系统，x(0)=-l咪，必伏)是从单位斜坡函数t采样得到，求系统状态响应。x(k+1)=0.5 0.1250.125 0.5x(k)+u(k)3 7.己知线性定常离散系统差分方程如下:y(左 +2)+0.5y(左+1)+0.1(女)=(左)若设()=l,y(O)=l,y(l)=O,用递推法求出y伙)，左=2,3,10。38.设线性定常持续时间系统状态方程为Xx239.0 101+u,t00-2 Xj取采样周期T=0.1s,试将该持续系统状态方程离散化。已知线性定常离散时间系统状态方程为1-81-211-21-8*2(攵)+00 4(A)1%(%)%(0)(0)-13-玉U)1设%(%)与%(左)是同步采样，场化)是来自斜坡函数r采样，而伏)是由指数函数6一采样而来。试求该状态方程解。4 0.已知如下离散时间系统，试求“(Q,使系统能在第二个采样时刻转移到原点。-1 0.51-0.3x(k+1)=x(k)+0 0.1Ju(k)0.4第 四 章（单元）：线性系统能控性和能观性本 章 节（单元）教学目的：对的理解定常和离散系统能控性与能观性基本概念与判据，纯熟掌握能控原则型与能观原则型，对偶原理，规范分解，理解传递函数实现问题。重点内容：能控、能观含义和定义，定常系统能控、能观各种判据，线性变换不变性。难点：可达性和可检测性，格兰姆矩阵判据、PBH秩判据和约当规范型判据。1.系统最小实现充要条件是什么？预习题 2.何谓系统最小实现？3.何谓系统实现问题？4.何为系统一致能控？后_11m 1.从传函角度阐明状态不完全能控和不完全能观系统因素。2.系统能控性判据有哪些？3.系统能观性判据有哪些？1.化状态方程为对对角线原则形。-2 1 I 0(1)X=X+UL 1 -2|_1J2.化状态方程为对角线原则形。0 1 X=X+U|_-2-3Ld3.化矩阵A=1 2为约当原则形。|_0 1J始_，斯 4.判断下列系统能控性。练习题用 ri iirx.1 roi民 L i。上 i5.判断下列系统能控性。除J0 1 01 尤|1 rx2=0 0 1 x2+0 1 1上3 2 4 3 xy 1 1 -6.判断下列系统能控性。xt -3 1 0 1 r X 1 11 -.W I文 2=0 -3 0 x2+0 0 x3 0 0-1 x3 2 0 L”7.判断下列系统状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d取值对能控性和能观性与否关于，若关于，其取值条件如何？图3.16系统模拟结构图8.时不变系统试用两种办法鉴别其能控性和能观性。9.判下列系统状态能控性和输出能控性。I y=0 ixio.判下列系统状态能控性和输出能控性。-3X=00Iy=Li i .判断下列系统能观测性。1%0 x21产x2春 1y=i12.已知系统29+2丁 =露+“+2，试求其状态空间最小实现。设系统状态方程及输出方程为1 5.试拟定当p与q为什么值时下列系统不能控，为什么值时不能观测。X=-10011-1o-01x+-o-11u;y =0 0 1 .Y试鉴定系统能控性O1 3.判断下歹U系统能观测性O010XI-x2二001 x2-2-4-3X3_儿=-011 -2 1rx2壬_1 4.判断下列系统能观测性O*043J*2=02 01 6：2?3.0-2 5-2 04:3_y 二=-1 3 0 J2JNJ-i 12卜+pll一 年i 0IL Jy=bE 1 6.试证明如下系统20-1 O-ax2二41 6 0+bii?3.1 2-6 1 8_*3_c无论a功，。取何值都不能控。1 7.已知两个系统，和S2状态方程和输出方程分别为 0 1 0一S,：X=3 4%y=2 i k必=工2若两个系统按如图P3.6所示办法串联，设串联后系统为S。1）求图示串联系统S状态方程和输出方程。2）分 析 系 统2和串联后系统S可控性、可观测性。.卢 夕 S?|18.拟定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观待定常数和以19.已知传递矩阵为仆2（S+3）4（S+4）（s+U s+2）试求该系统最小实现。20.将下列状态方程化为能控原则形-21 Ffx+u4 1s+a21.设系统传递函数是y（s）匚_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _“（s）s+10.y*+27s+18（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观？（2）当a取上述值时，求使系统完全能控状态空间表达式。（3）当a取上述值时，求使系统完全能观状态空间表达式。22.已知控制系统如图P4.4所示。图P4.4系统构造图1）写出以用，马为状态变量系统状态方程与输出方程。2）试判断系统能控性和能观性。若不满足系统能控性和能观性条件,问当&与K?取何值时，系统能控或能观。3）求系统极点。23.已知系统微分方程为：y+6y+l ly+6y=6试写出其对偶系统状态空间表达式及其传递函数。2 4.系统传递函数为G(s)=2s+82?+1 2?+2 2 5+1 21）建立系统能控原则形实现。2）建立系统能观测原则形实现。2 5.已知系统传递函数为s+6 v +8W(s)=-：-/+4s +3试求其能控原则型和能观原则型。2 6.系统状态方程：王X2壬y=d e f试讨论下列问题：1）能否通过选取a,b，c 使系统状态完全可控？2）能否通过选取d,e,/使系统状态完全可观?2 7.将下列状态方程和输出方程化为能观原则形。x=1-11 12X+Uy =1 l x2 8.给定下列状态空间方程，试鉴别其与否变换为能控和能观原则型。0 1 0 X=-2 -3 0 x+1u-1 1 -3Ay =O 0 l x2 9.试将下列系统按能控性进行分解3 0.试将下列系统按能观性进行构造分解-12-fA =010,b=,C=1 -1 1 0-43J J-12-f叫A =010力=o，C=1一 1 10-43J J3 1.试将下列系统按能控性和能观性进行构造分解 1 0 O-TA =2 2 3,b=2,c=i 1 2-2 0 1.23 2 .求下列传递函数阵最小实现。卬 3 I3 3 .设 弓 和 心 是两个能控且能观系统0 1 ,0 r 1%：A=_ 3 _ 4 0=&=i S2：A2=-2,b2=L C,=1（1）试分析由z和4所构成串联系统能控性和能观性，并写出其传递函数;3 4.考虑由下式定义系统（2）试分析由2和七 所构成并联系统能控性和能观性，并写出其传递函数。X=y二=Ax+Bu-Cx式中-I-2-i r 2A=0 -11 ,3=0,C=U 1 OJ1 0-1 J 1试判断该系统与否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控吗？3 5.下列能控原则形是状态能控和状态能观测吗？3 6.考虑如下系统x=A x+Buy=Cx式中 0 1 0-A =0 0 1,B=0,C=2 0 9 1-6 -1 1 -6,1Jx-Ax+Buy=Cx式中 o i o i ro-A=0 0 1 ,8=1 ,C=c2 c3 -6 -11-6 j o除了明显地选取G=C2=。3=0外，试找出使该系统状态不能观测一组 C ,c2 和 c3。3 7.给定线性定常系统x=Ax+Bu式中F-i o 1 1 FolA=1 -2 0,B=0,C=l 1 0o。-31试将该状态空间表达式化为能控原则形和能观测原则形。3 8.给定线性定常系统x=Ax+Buy=Cx式中F-1 o 1 j FolA=1 -2 0,B=,C=1 1 1L -3J bJ试将该状态方程化为能观测原则形。第 五 章（单元）：稳定性与李雅普诺夫办法本 章 节（单元）教学目的：对的理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定性概念，纯熟掌握李氏第一法，李氏第二法，掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析办法。重点内容：李雅普诺夫第一、第二法重要定义与定理，李雅普诺夫函数，线性定常系统与非线性系统稳定性定理与鉴别，李雅普诺夫方程，渐近稳定性分析与鉴别。难点：李雅普诺夫函数构造与选用，离散系统稳定性定理及稳定判据。预习题1.何谓平衡态？2.李氏稳定性理论讨论是动态系统各平衡态附近_ _ _ _ _ _ _ 问题。3.李氏函数具备什么性质？4.李亚普诺夫意义下稳定含义？5 .李雅普诺夫第一法基本思想是什么？6 .李雅普诺夫第二法基本思想是什么？复习题1 .绘出二维平面上李氏渐近稳定平衡状态轨迹图2 .绘出二维平面上李氏不稳定平衡状态轨迹图3 .绘出二维平面上李氏稳定平衡状态轨迹图4 .典型控制理论讨论是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _稳 定 性 问 题，李氏办法讨论是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _稳定性问题o5 .标量函数定号性如何判断？练习题1 .试拟定下列二次型与否为正定。Q =xf+4%2 +%；+2工1%2 -6X2X3 2%j X32.试拟定下列二次型与否为负定。Q x：3 芍 1 l x；+21-4工2工3 2%与3.试拟定下列非线性系统原点稳定性。吊=F +X (X；+)x2=x2+x2(X j2+%2 )考虑下列二次型函数与否可以作为一种也许L y ap un o v函数：V =%；+后4.判断下列函数正定性V(x)=8 X j2+2/2 +&2 _ 8 1 2 +2 1电5.判断下列函数正定性V(x)=X 2+毛2 2%1%,+%2 毛6.判断下列函数正定性V(x)=2 X j2+3X22-F X32 一2%2 +2菁工7.试写出下列系统几种L y ap un o v函数年 一 1 1 届x2_ 2-3 _x2并拟定该系统原点稳定性。8.已知非线性系统1%=一 司+%2x2=-2 s i n%1试求系统平衡点，并拟定出可以保证系统大范畴渐近稳定为范畴。(5分)鉴定系统:*=-*+乂2在原点稳定性.x2 2 x 3X29.用李雅普诺夫第一办法鉴定下列系统在平衡状态稳定性。1 0.X =玉 +%2 +X|(X；+X22)x2=一玉-x2+x2(xt2+x22)运用李雅普诺夫第二办法判断下列系统与否为大范畴渐近稳定:-12x1 1.1 2.给定持续时间定常系统1=%x2=%(1+X2)2X2试用李雅普诺夫第二办法判断其在平衡状态稳定性.试用克拉索夫斯基定理判断下列系统与否是大范畴渐近稳定。X =-3%+x2上 2 =X x2 X j1 3.试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态稳定性。x=-1 12 -3x1 4.1 5.试用克拉索夫斯基定理拟定使下列系统X =叫 +x2x2=X -x2+bx/原点为大范畴渐近稳定参数。和b 取值范畴。下面非线性微分方程式称为关于两种生物个体群沃尔特纳(Wl te rra)方程式dxdtdx2dtOX,+yx2+8xyx2式中，匹、马分别是生物个体数，a、4、/、b 是不为零实数。关于这个系统，(1)试求平衡点；(2)在平衡点附近线性化，试讨论平衡点稳定性。1 6.试拟定下列线性系统平衡状态稳定性%)=%)一 2%2 +2&=2 _ 4X2-1试求在平衡状态系统渐近稳定加值范畴。1 7.设线性离散时间系统为-0 1 0-x(A +l)=0 0 1x(k)m 00 m/2 01 8 .试用l y a p u n o v第二法拟定下列系统原点稳定性。一 一1 1 _x=X_ 2 -3 _1 9 .试用l y a p u n o v第二法拟定下列系统原点稳定性。-1 1 -x=X-1 -12 0.已知二阶系统状态方程：.(a 12 x=xa22)试拟定系统在平衡状态处大范畴渐进稳定条件。2 1.试拟定下列线性系统平衡状态稳定性。X =芭+3%2x2=-3 -2X2-3X32 2.判断下列二次型函数符号性质：(1 )Q(x)=X：-1 +2%2%2%3 2%不(2)v(x)=x j2+4 x；-2XJX2 6X2X3-2 5不2 3 .试用变量梯度法构造下列系统李雅普诺夫函数X =-X j+2X：%2 0试拟定平衡状态稳定性。2 5.设二阶线性定常系统状态方程为。1 1 -w ,3/2 1/2 1X=x,实对称矩阵为：P=-1 -1 J 1/2 1平衡状态是原点，试拟定该系统稳定性，求李雅普诺夫函数。第六章(单元)：线性定常系统综合本章节(单元)教学目的：理解状态反馈概念，掌握状态观测器设计办法，理解通过状态反馈手段进行系统校正和解耦控制办法。重点内容：实现与最小实现特点和性质，状态反馈与输出反馈基本构造、性质和关于定理，单输入、多输出系统极点配备，状态反馈工程应用。难点：最小实现定义和求解办法，状态反馈与输出反馈实现充要条件，带观测器闭环反馈系统设计。预习题1.作为综合问题，必要考虑哪三个方面因素？2.系统综合问题重要有哪两个方面？3.对线性定常持续系统，运用线性状态反馈矩阵能使闭环系统极点任意配备充要条件是什么？4.不完全能控线性定常持续系统，采用状态反馈使闭环系统镇定充要条件是什么？复习题1.系统E(ABC)通过输出反馈能镇定充要条件是什么？2.多变量系统实现解耦基本思路是什么？重要实现办法及各存在哪些问题？3.带渐近状态观测器状态反馈闭环系统具备哪三个特性？4.绘制MIMO系统状态反馈构造图5.绘制MIMO系统输出反馈构造图6.绘制开环状态观测器构造图7.绘制渐近状态观测器构造图1.给定线性定常系统x=Ax+Bu式中采用状态反馈控制律=-依，规定该系统闭环极点为s=-2J4,s=-10。试拟定状态反馈增益矩阵K。2.已知线性定常系统如下。010须0文=001+0U练习题-1-5-6/3 _1但愿该系统闭环极点为s=-2j4和 s-IO o 试拟定状态反馈增益矩阵K3.判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。4.给定系统传递函数为(5-1)(5+2)g(s)=-(5+1)(5-2)(5+3)试问能否用状态反馈将函数变为：z X (S-1)(、(5 +2)g 式S)/,OV ,a和 8*6)/1V 小(s +2)(S +3)(5 +1)(5 +3)若有也许，试分别求出状态反馈增益阵&,并画出构造图。5.给定系统传递函数为G(.v)=-!-s(s +4)($+8)试拟定线性状态反馈律，使闭环极点为-Z-4,-76.给定单输入线性定常系统为：0 0 0 I 1x =1 -6 0 x+0。1 T 2 _|W试求出状态反馈u=-kx使得闭环系统特性值为4*=-2,X=-1+y,X =ij。7.已知系统为X2=x?x3=Xj x2 xi+3 u试拟定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是-3,并画出闭环系统构造图。8.判断下列系统能否用状态反馈任意地配备特性值。-1 2 1 rrX=x+U_ 3 1J|_ 0_9.判断下列系统能否用状态反馈任意地配备特性值。1 o o i ri o x=0-2 1 x+0 IM0 0-2 o 010.给定系统状态空间表达式为-I -2 -3 2x=0-1 1 x+0 w1 0-1J 1y =1 1()x1)设计一种具备特性值为-3,-4,-5 全维状态观测器；2)设计一种具备特性值为-3,-4 降维状态观测器：3)画出系统构造图。11.给定系统状态空间表达式为-I -2 01 p lJC=0-1 1 x+0 ,)=1 0 0 xj o-U M设计一种具备特性值为T,T,-1全维状态观测器.12 .给定系统状态空间表达式为X 二30100-1X+0100u,y 一 2-1X02101-101一试拟定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦13.给定线性定常系统r王+丁U2._02.%2,0试证明无论选取什么样矩阵K,该系统均不能通过状态反馈控制u K x来稳定。14 .调节器系统被控对象传递函数为丫 _ 1 oU(s)(s+l)(s+2)(s+3)定义状态变量为%y,x2=,x3=x2运用状态反馈控制律 =-&,规定闭环极点为S =(i=l,2,3),其中/1-2+j 2 V 2,=-2-4=-10试拟定必须状态反馈增益矩阵K。15 .已知系统：y =l 0 x试设计一种状态观测器，使观测器极点为-r,-2 r(r0)16.设计一种前馈补偿器，使系统1 1 s(s+1)S解耦，且解耦后极点为1,一1,2,2。17.使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。-1-2-2A =0-11力=010-1j18.设系统传递函数为(s-l)(s+2)(S +1)(5 -2)(5 +3)试问能否运用状态反馈将传递函数变成5-1(5+2)(5+3)若有也许，试求出状态反馈K,并画出系统构造图.19.有系统：-2 1 1 ro-x=x+u0-1J 11y =i o x(i)画出模仿构造图。(2)若动态性能不满足规定，可否任意配备极点？(3)若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。2 0.已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配备为-1，-2,-3。2 1.给定线性定常系统式中A =x=Ax+Buy=Cx1 I 0 1B=,C =l 0 Z 1试设计一种全维状态观测器。该观测器盼望特性值为=5,=5 o2 2 .考虑习题4.8定义系统。假设输出y是可以精确量测。试设计一种最小阶观测器，该观测器矩阵所盼望特性值为=-5,即最小阶观测器所盼望特性方程为s+5 =0。2 3.给定线性定常系统x-A x+Buy=Cx式中-0 1 o-A =0 0 1-5 -6 0,3=0,C =l 0 o I _ 1假设该系统构造与图4.5所示相似。试设计一种全维状态观测器，该观测器盼望特性值为必=-10,4=-10,网=T 5。2 4 .给定线性定常系统0=01.244100.3965%y =U o 0看儿该观测器增益矩阵一组盼望特性值为出=5 +j5瓜 出=-5-j5y3,外=T。试设计一种全维观测器。2 5 .考虑习题4.11给出同一系统。假设输出y可精确量测。试设计一种最小阶观测器。该最小阶观测器盼望特性值为%=5 +j5 山=-5 J5A/3。2 6 .考虑图4.17所示I型闭环伺服系统。图中矩阵A、8和C为0 10 一O-A =0 01,B=0,C =l 0 00-5-61试拟定反馈增益常数占，自和收，使得闭环极点为s=2土74,5 =-10.试运用计算机对所设计系统进行仿真，并求该系统单位阶跃响应计算机解，绘出y(力对t曲线。2 7.考虑4.4节讨论倒立摆系统。参见图4.2所示原理图。假设M=2公斤，根=0.5公斤，/=1米定义状态变量为%1-0,X2=6,X3=X,X4=X输出变量为x=e=F，必=%=%试推导该系统状态空间表达式。若规定闭环极点为M=-4+J 4,/2=-4-j 4,必=-20,4 =20试拟定状态反馈增益矩阵儿运用已被求出状态反馈增益矩阵人,用计算机仿真检查该系统性能。试写出一种M A T L A B程序，以求出该系统对任意初始条件响应。对一组初始条件%1(0)=0,x2(0)=0,x3(0)=0,X 4(0)=1 米/秒试求两，乃，X 3和X 4对r响应曲线。28 .考虑4.4节讨论倒立摆系统。假设M、初和/值 与4.4节中相似。对于该系统，状态变量定义为X =8,x2=0,xi=x,x4=x试求该系统状态空间表达式。假设采用状态反馈控制律=-Kx,试设计一种稳定控制系统。考虑如下两种状况下盼望闭环极点状况 1：=-1.3+j,1=1.3 j,=2Q d=-20；状况 2：/a、=2,=2,43=-10,4 =10试拟定在这两种状况下状态反馈增益矩阵儿再求设计出系统对初始条件6(0)=0.1弧 度 仇0)=0,x(0)=0,x(0)=0响应，并比较这两种系统响应。29 .考虑4.7节讨论倒立摆系统。设计一种状态反馈增益矩阵4,其中已知K=Z尊2，网，e 和积分增益常数号。假设该系统盼望闭环极点为=-2,=-2,=4=5=10。试运用 M A T L A B 拟定增益矩阵 和积分增益常数&。再求当单位阶跃输入作用于小车位置时阶跃响应曲线。30.设系统状态方程及边界条件为：x-u,x(0)-16,x(tf)=0试求最优控制”(r),使下列性能指标J=Ff+-Z，u 2 dtf 2J()取最小值。31.求 从x(0)=1到 直 线=2 之间距离最短曲线及最优终端时间。32.系统状态方程及边界条件为：x,=x2%(0)=1 J X (0)=0X,=&(0)=1 1%2(0)=0试求最优控制使下列指标取极值并求最