2021年全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国Ⅱ卷）（附答案详解）.pdf

2021年全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国n卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1（2021全国模拟题）若集合M=xy=后 ,N =3/一 x 0,则M u N =（）A.xx 0 C.x|0 x 1）（2021.全国.模拟题）若复数z满足（l+i）z=2-爪 为 虚数单位），则 z的实部为（）A.1 B.3 C.D.|（2021.山东省.其他类型）某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2 所示，则去年的水费开支占总开支的百分比A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%（2021全国模拟题）下列双曲线的渐近线方程为y =2x 的是（）A.-y2=1 B.x2-=l C.艺一%2=i D.y2-=14 J 4 2 z 2（2020.河北省衡水市.月考试卷）已知云=（1,2）,石=（2,t），若|方+方|=|日一石|，则 为（）A.1B.1C.-1D.0（2021全国模拟题）已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（）C.y=c o s（ez ex）D.y=cos（ex+ex）%y +2 2 07.（2021全国 模拟题）若实数x,y 满足不等式组x -5y +10 0恒%+y -8 a b B.b a c C.a c b D.a b c10.（2021.福建省福州市.期中考试）若A 4 3 C 中,内角A,B,。所 对 的 边 分 别 为 aKasinC=/3 ccosA 则A =（）A.7 B.7 C.v D.-3 6 3 62 211.（2021全国模拟题）已知椭圆C：3 +左=l（a b 0）的右焦点为凡 经过点尸的直线/的倾斜角为45。，且直线/交该椭圆于A,B 两 点,若万:=2而，则该椭圆的离心率为（）A.立 B.立 C.立32312.（2019山东省济南市 期末考试）如图，四棱锥P-4 B C D的底面A B C D为平行四边形，C E =2 EP,若三棱锥P -D.三第2页，共18页E B D 的体积为匕，三棱锥P A B D 的体积为彩，则看的值为（）二、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）13.（2021.全国.模拟题涵数y =六的图象在=4处切线的斜率为14.（2021.全国.模拟题）方程s i n x =亨 三 口 e 0,2扪）实数根的个数为15.（2021全国模拟题）如图，在正方体4B C D -中,E 为4 8的中点，则 直 线 与 直 线 所 成 角 的 正 切 值 是 .A E B16.（2021 全国模拟题）已知数列 x,1,x,x,1,x,x,x,1,x,x,x,x,1,x,其中在第个1与第n +1个 1之间插入 个x,若该数列的前2018 项的和为5 9 2 8,贝 卜=.三、解 答 题（本大题共7小题，共 8 2.0 分）1 7.（2 0 2 1 全国模拟题）某校的1 0 0 0 名高三学生参加四门学科选拔性考试，每门学科试卷共有1 0 道题，每 题 1 0 分.规定；学科选拔性考试，每门错（03光3 1/7）题成绩记为4,错x（2%4,x e N）题成绩记为B,错x（5 x 0)的准线方程为工=一1,过其焦点厂的直线/交抛物线C于A,8两点，线段A8的中点为M,坐标原点为。，且直线OM的斜率为它.2(1)求实数P的值；(2)求直线/的方程.22.(2021.全国模拟题)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为卜=为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取(y=s/2sint相同的单位长度建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为2pcos。-psinO-4 =0.(1)求曲线的的普通方程以及曲线。2的直角坐标方程;(2)判断曲线G与曲线C2公共点的个数，并说明理由.23.(2021全国模拟题)已知函数f(x)=|2%一2|一比一2|.(1)求不等式f(x)0的解集；(2)若存在x e R,使得f(x)a成立，求实数a的取值范围.第6页，共18页答案和解析1.【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】解：M =xx 1 ,N=x|0 x 1 ,二 M U N =xx 1 .故选：A.可 求 出 集 合N,然后进行并集的运算即可.本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为（l +i）z=2-i,所以z=H =（2或1）一 为I l+i 2 2,所以Z的实部为也故选：C.利用复数的除法运算法则求出复数Z的代数形式，即可得到答案.本题考查了复数的除法运算法则的运用，复数基本概念的理解和应用，属于基础题.3.【答案】A【知识点】折线图、频率分布直方图【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题.由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为2 0%,由条形图得去年水、电、交通支出合计为2 5 0+4 5 0+1 0 0 =8 0 0（万元），共中水费支出2 5 0（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比.【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为2 0%,由条形图得去年水、电、交通支出合计为：2 5 0 +4 5 0 +1 0 0 =8 0 0(万元)，共中水费支出2 5 0(万元)，二 去年的水费开支占总开支的百分比为：黑 x 2 0%=6.2 5%.o U O故选：A.4.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义21【解析】解：土 y2 =1 的渐近线方程为：y=土;x,所以A不正确；4N/一”=1 的渐近线方程为：y=2%,所以B正确；4 一/=1 的渐近线方程为：y=V 2 x,所以C不正确；y 2=1 的渐近线方程为：y=土当乃 所以。不正确.故选：B.求出双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可.本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题.5 .【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算、向量的模、向量的数量积【解析】解:根据题意，五=(1,2),b=(2,t),则五+B =(3,2 +t),N 3=(-1,2-t).若|方+3|=|行一石|，则有9 +(2 +t)2 =1 +(2 t)2,解可得：t =-l；故选：C.根据题意，由向量的坐标计算公式可得己+石=(3,2 +t)，a-b =C-l,2-t)，又由向量模的计算公式可得9 +(2 +t)2 =1 +(2 -t)2,解可得r的值，即可得答案.本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，属于基础题.6 .【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，函数的图象关于y 轴对称且-1 /(0)0,A 错误；第8页，共18页对于 B,y=sin(ex e-x),有/(0)=sinO=0,B 错误；对于 C,y=cos(ex-e-x),有/()=cost)=1,C 错误；对于。,y=cos(ez+ex),有/(-x)=cos(ex+ex)=/(%),为偶函数，有/(0)=cos2,有一l/(0)0,D 正确;故选：D.根据题意，可得函数的图象关于y 轴对称且-1 f(0)0 x-5y+10 0表示的平面%+y-8 0,ax _-y-1.讨论：当x=0时，y=2,此时ax -y -1对任意a G R成立;当x 0时，a 旷 i,即一 a X X学 的几何意义为可行域内的动点与定点P(O,-1)连线的斜率,联立年就0,解得4 5,3)，3=锣=；.(?)丽/，则-a log3|log4|,lg2 2g3 lg4 2 2 2 a b c,故选：D.利用指数哥的运算先化简为同底数，再根据换底公式和指数函数的单调性即可求解.本题考查对数的运算法则，换底公式的应用，指数函数的单调性，属于中档题.10.【答案】A【知识点】正弦定理【解析】解：asinC=y/3 ccosA 又.由正弦定理可得，为=白，JH SIT U sinA sinC=V3 sinCcosA,A tanA =8,第10页，共18页又 0 A 1,可将上式整理为9 3-2 0户+1 3 t一2 =0,即 一 1)2(力-2)=0,解得”.，e2=I，B|Je=9 3所求椭圆的离心率为3.3故选：C.将直线AB的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理，结合平面向量的坐标运算，可得到关于离心率e的方程，解之即可.本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.1 2.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：设四棱锥P A BC D的高为/?,底面A BC Z）的面积为S,11 1则%=：X 2 S/1 =：S/1,5 Z oV CE=2EP,-PE=-PC,311.V1=Vp-E BD=E-PB D=C-P B D =P-B C DlX-Sh=-S h.3 618.也=工*y2 9 f l 56故 选:B.设四棱锥P-4 B C D的高为/?,底面A 8 C 的面积为S,由棱锥体积公式求得三棱锥P -A BD的体积，再由C E =2 E P,借助于等体积法求得三棱锥P-E B D的体积，则答案可求.本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查计算能力，是中档题.1 3.1答 案 一以【知识点】导数的几何意义1 1 3【解析】解：函数y =击，可得y =%-。所以函数y =4的图象在x =4处切线的斜率为：1(4)=-i x 4-5 =-A./V4 4 32故答案为：-点.求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可.本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题.1 4.【答案】2【知识点】函数的零点与方程根的关系、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：sinx-1+cs2%,sinx-2co-,2sin2x+3sinx 2 =0,第12页，共18页 sinx=2（舍）或sinx=p又1 x E 0,2n,.=g或x=.6 6二方程sinx=上 等。G 0,2兀 ）实数根的个数为2.故答案为：2.利用二倍角公式变形，化为关于siru的方程求解.本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角方程的解法，是基础题.15.【答案】亟4【知识点】异面直线所成角【解析】解：分别延长。iE、C B,延长线交于点M,设正方体ABC。-公/6。1的棱长为1,则MG=2VL由正方体的结构特征可知，D Q，平面B&C1C,则A G 1 M J,二 tanz_DMCi 故答案为：立.4由已知求得M G，再求解直角三角形得答案.本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题.16.【答案】3【知识点】数列求和方法【解析】解：当nN 2时，前个1之间共有九+1+2+3+n-l =也 罗（项），当n=63时，有 2016项,所以在第63个 1后面的第二个x 就是第2018项，所以前2018项中含有63个 1,其余的都均为x,故该数列前2018项的和为63 x 1+（2018-63）%=5928,解得x=3.故答案为：3.直接利用数据的规律和数列的求和公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：数列的求和，规律性数据的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.17.【答案】解：(1)根据题设知，学生选拔性考试的平均成绩成绩为:90 x10+90100100+150+150,2 200+100+100.广 八 50+50+0-+60 X-4-50 x-1000 1000 100070（分）.+80 x(2)根据题意得PQ4)=端=2,100+150+150 2P(B)=-=J 1000 5c”、200+100+100 2P =嬴。=P(D)=5 0+5 0+0=,1 1000 10 某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分,另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率为：P=C 舄)x(|)3 +或 x 喧)(|)=卷【知识点】众数、中位数、平均数、基本事件【解析】(1)由考试成绩统计表能求出学生选拔性考试的平均成绩成绩.(2)分别求出(4)=2，P(B)=|,P(C)=|，P(D)=S，某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分，另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，由此能求出“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率.本小题主要考查平均数、古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题.1 8.答案 解：(1)在等差数列 即 中设首项为由,公差为d,Sn为其前 项和，且&3=5,S7=49.故蓝j ,整 理 得 伊=1,(71+d=49(d=2故 an=2n 1.(2)由 得:bn=22 n-1+2 n-l,所以7；=21+1+23+3+22T+2n-1=(21+23+.+22n-1)+(1+3+5r+.+.2o?i-1)-_ -2-x-(-4-n-l-)-,F 2-2-2-n-+-1-2-F,u 2iJ 4-1 3由于7；1000,所 以 竺+n2 1000,所以n 6,第1 4页，共1 8页所以的取值范围为：n 6,n e W+.【知识点】数列求和方法、等差数列的求和【解析 1(1)直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列的和，进一步利用不等式的应用求出n的取值范围.本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型.19.【答案】(1)证明：在三棱柱4BC 为B1G中，B B il平面 AE凡所以CG J_平面4EF,贝此4EB=Z.A FC=90,又因为平行四边形A41&B与平行四边形A,A&C1C的面积相等，BBi=CG，所以4E=4F,又因为4B=4 C,所以力E8三 4FC,则EB=FC,故四边形BEFC为平行四边形，又因为BBi _L 平面A EF,EF u 平面A E F,贝 ijBB11 EF,所以四边形3EFC是矩形；(2)解：取 E尸的中点G,连结AG,由(1)可知，A E=AF,贝 IJAGJ.E/，因为BB1J平面AE凡 峭 u 平面BBiGC,则平面4EF 1平面B B iG C,又平面4EF n平面BBiGC=E F,所以AG 1平面BBiGC,以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则平面AEF的一个法向量为记=(0,0,1),因为4E=EF=2,G 为 的 中 点，A G 1 E F,所以4G=B，故4(0,百,0),又B E*所以净,C(l,0净，所 以 荏=(一1,一 75号，A C=(1,-V 3,y).设平面ABC的法向量为记=(x,y,z),则 忏 亚=。，即卜一岛+苗 二 ,Gn 4C _ 0 _ 73y 4-yZ=0令y=1,则 =0,z=3,故沆=(0,1,3),所以|cos(元，记|=器=品=高则平面ABC与平面AEF所成角的正弦值为J1 忌)2=噂.【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面平行的性质可得CG 1平面A EF,可证明 A E B=A FC,得到EB=F C,即四边形8EFC为平行四边形，通过线面垂直的性质，进一步证明四边形8EFC是矩形；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ABC的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理的应用以及二面角的求解,在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.20.【答案】解：(1)当Q=-2 时，/(%)=|x3+2(x2-x +l),则(%)=/+-2,令/(%)0,解得 -2 +V 6,令/。)0,7 x2-x+l(x2-x+l)2(x2-x+l)2/c(%)单调递增，/c(X)至多有一个零点，又/(3a+l)=6a2+2a+1 0,/(3a-1)=-|2所以所求直线/的方程为x =+1,即y&=0.【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)由题意得到关于p的方程，解方程可得夕的值；(2)设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于，”的方程，解方程即可确定直线方程.本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,属于中等题.2 2.【答案】解：(1)曲线G的 参 数 方 程 为 卜 a c o s t 为参数)，转换为直角坐标(y =2sm t方程为：(%-I)2+y2=2；X=pcosdy=psin0,转化为直角x2+y2=p2坐标方程为2%-y 4 =0.(2)利用圆心(1,0)到直线2 x -y -4 =0的距离d =荒具=竽&,所以直线与圆相交，故圆与直线有两个交点.【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用和直线与圆的位置关系的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.23.【答案】解：(1)v/(x)0,e|2x 21 x-21 V 0,A 2x-2|x 2|,(2%2)2 (%2 7，3/-4%0|4A 0 X -,所求不等式的解集为(0彳).(2)/(x)=|2 x-2|-|x-2|,当x 1时，/(x)=2(1-x)-(2-%)=-X,当 1 2时，/(%)=2(%1)(%2)=x,即=-1-存 在 使 得 f(x)1,实数a 的取值范围(-1,+8).【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由题意可知无)0，即|2尤一2|-|x-2|0,可得|2 x-2|%-2,对两边平方，即可求解.(2)对绝对值不等式分类讨论，结合含参方程的解法，即可求解.本题考查了绝对值不等式的求值，以及含参方程恒成立问题，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.第1 8页，共1 8页