2021年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）（解析版）.pdf

2021年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）一、选 择 题（共12小题）.1.已知全集。=凡 集合 A=X|X2-4X+30,B=X-l x 以，则。2按若 a h,c df 则 a-c h-d若 a b,c df 则 ac bd若 a b 0,c V O,则a b其中正确命题的个数有（）A.1个 B.2 个C.3 个D.4 个4.为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1八高为的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（）（n 七3.1）A.1230B.1430C.1630 D.18305.中心在原点的双曲线C 的一条渐近线方程为J W+y=0,则 C 的离心率为（）A.2 或B.C.D.或 33 36.已知 cos(0-工)4,4 5则 sin 2 0=()A.2B.232 n 23252525 257.如图，在 3 X 3 的方格中，移动规则如下:每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.例如:若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动()次3C.4D.5兀8.将函数/(x)=s i n 2 x-1 的图象向右平移丁个单位长度后得到函数g (x)的图象，则函6数 g (x)的单调递增区间是()A.+加,，5(住Z)B.C.kn(依Z)D.9.已知抛物线C：y2=2 px(p 0)的焦点为F,:+Z n r,；+Z n r (kEZ)-2+Z n r,2+-n (/c G Z)准 线 与 x 轴 交 于 点K,过 点K作圆_ 2 ,_+y 2 二勺的切线，切点分别为A,B.若|A B|=,则的值为()A.1B.V sC.2D.31 0.己知符号函数s g n x=,1,x 00,x=0 ,偶函数，(冗)满足 f (x+2)=/(x),当 花 0,1-1,x 0B.f(誓)=1C.sgn(f(2 k)=0(依Z)D.sgn(/(A)=sgnk(keZ)1 1.如图，在正四棱柱A B C Q-A l i G O i，A B=V 2 A Ap E,尸分别为A 8,8c的中点，异面直线AB与 G尸所成角的余弦值为2,则()ClD】A.直线4E与直线CL异面，且但3B.直线4E与直线C i F共面，且巨3C.直线4E与直线C i F异面，且巨3D.直线4E与直线C i F共面，且巨1 2 .已知函数/C x)=x2-alnx-a(a a恒成立，则实数。的取值范围为()A.(-8,A)B.(-8,A c.(一，1)D.(，1 二、填 空 题(共 4 小 题).1 3 .已知向量1满 足 之=(2,3),2之-3芯=(1,9),则Z的值为-x-y+2 01 4.已知实数x,y满足不等式组,x+y-3 40,则目标函数z=x-2 y的 最 大 值 为.y l1 5 .(x)(2 x-2)5的展开式中各项系数之和为2,则该展开式中d的系数为.X XS1 6.在 48C中，记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则一-的最大值a+2 bc为.三、解答题(本大题共5 小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.)1 7.已知数列 斯 的前项和是邪,且S“=2%-2,等差数列 d中，Z i=2 0,63=1 6.(1)求数列 和 d的通项公式；a,ab(2)定义：a*b.记Cn=a“*瓦”求数列 cQ的 前1 0项的和T i o.b,ab1 8.医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去1 0 5所得差值即为该人的标准体重.比如身高175cm的人,其标准体重为1 75 -1 0 5=70公斤,一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了.己知某班共有3 0 名男生,从这3 0 名男生中随机选取6 名，其身高和体重的数据如表所示：编号 123456身 高(cm)x 1 651 711 601 731 781 67体 重(kg)y 60636270715 8(1)从这6 人中任选2人，求恰有I 人体重超标的概率；(2)依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对 身 高 x的线性回归方程：=y0.65 x+;但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上a述数据进行残差分析，按经验，对残差在区间-3.5,3.5 之外的同学要重新采集数据.问上述随机抽取的编号为3,4,5,6 的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？参考公式：残差-1 b a1 9.如图，在平行四边形A B C。中，A B=1,BC=2,Z A C B=,四边形A B E 尸为直角梯6TT形，BE/A F,Z B A F=,BE=2,A F=3,平面 AB C ，平面2(1)求证：AC _ L 平面 AB EF；(2)求平面AB C。与平面。E F 所成锐二面角的余弦值.D22 0 .经过椭圆C：掾+了 2=1 左焦点Q 的直线/与圆卜2：(x-l)2+y 2 =r 2(r 2)相交于P,。两点，M 是线段PA 与 C的公共点，且|M Q|=|M P|.(1)求 r；(2)/与。的交点为A,B,且 A 恰为线段PQ 的中点，求 的 面 积.2 1.已知函数/(x)=N -o x+b l n x(,b e R).x(1)若。b 0,证明/()/(/?)；(2)若 对 任 意 在(0,+8),比(-e,0),都有f (x)-e,求实数。的取值范围.选考题：(请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑).选修4-4：坐标系与参数方程2 2.在直角坐标系x Oy中，直线/i的方程为丫=心,曲线C的参数方程为 x=l+M c OS 0y=V 3s i n(P(0,B=X-l x 0 解得 xVl 或 x 3,贝 (-8,i)u(3,+8),所 以(CuA)UB=1,3U(-1,2)=(-1,3.故选：D.2.复数2=普，则 z 3=()1-1A.-i B.i C.-1 D.1解：,7=岑=,)2=Ll-i(1-i)(1+i)/.z3=P=-i,故选：A.3.下列四个命题：若 a b,则 c i2 b2若 a b,c d,则 a-c b-d若 a b,c df 则 ac bd若 4 b 0,c V O,则a b其中正确命题的个数有()A,1个 B 2 个 C 3 个 D.4 个解：,创，故正确;：d b,c d,:.a+c b+d,因此 -cZ?-d 不正确；取 a=2,b=l,c=-2,d=-3,满足 c d,但是 c=-4 b Q,c 0,-c0,b a.二 二 S,故正确.b a a b综上可知：只有正确.故选：B.4.为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3根的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为()A.1230B.1430C.1630D.1830解：一个直径为1?、高为3根的圆柱形物体，上面是一个半球形体,这样的花柱的表面积为：S=2兀总 3卷 4兀10.85.每平方米大约需要鲜花150朵，.装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为：150X10.85=1627.51630.故选：C.5.中心在原点的双曲线C 的一条渐近线方程为”*+y=0,则 C 的离心率为()A.2 或 B.C.2 或 S D.或 33 3解：如果焦点坐标在x 轴，双曲线C 的一条渐近线方程为心+y=0,则*=，所 以 人=孤&，所以c=2，此时e=2.a如果双曲线的焦点坐标在y 轴，双曲线C 的一条渐近线方程为 r+y=0,则：-=7 3 所以”=瓶，可得。=处 ，所以=冬巨b 3 3故选：C.JT 16.已知 cos(0-)=,则 sin 2 6=()4 5A.B.C.-D.-2 5 2 5 2 5 2 5解：因为cos(0 )=，4 5所以 cos2(6-)=2cos2(0-)-1 =2X f l./-1=-,4 4 ,5，2 5又 cos2(6-)=cos(2 0-)=cos(-29)=sin20,4 2 2所以 sin20=-25故选：D.7.如图，在 3 X 3 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.例如:若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动()次解:易知最易达到的效果是第一行2,第二行1,第三行3,则需上下移动第三行，左右移动第二行.2 2 12 1 3故 变 换 过 程 为3 3 1第 三 列 上 移 12 2 32 1 13 3 1第 二 行 左 移2 2 31 1 23 3 12 2 21 1 1第三列上移1 3 3 3故选：B.JT8 .将函数/(无)=si n 2 x-1的图象向右平移丁个单位长度后得到函数g (x)的图象，则函6数g(X)的单调递增区间是()兀 KA.-k i,-I-ZTR(keZ)3 3C._ I _ k i r,I-Z r n l (A e Z)B.n Zm,2+ZT T(依Z)D.J:q-n/c n (ZEZ)解：将函数/(x)=si n 2 x-1的图象向右平移b单位长度后得到函数g (x)=si n 2 (x6I T.)-1的图象，6A令 2 kn-T-T-W_2 x-兀-W 2而+-T-V-,求_ p,得4 H k.u-打-一-“-5-兀-,2 3 2 12 12可得函数g a)的单调递增区间为 白 闻，詈(依Z),故选：D.9 .已知抛物线C：y?=2 px(p 0)的 焦 点 为F,准 线 与x轴 交 于 点K,过 点K作圆(x-y)2+y 2=*的 切 线，切点分别为A,B.若|A B|=,则p的 值 为()A.1 B.7 3 C.2 D.3c 2解：连接E 4,因为F就是圆心号)2+丫2=(的圆心，所以 F A L K 4,且|F A|=3又|K/q=p,所以乙4 K F=3 0 ,那么 N A K B=6 0 ,所以 4 K 8是等边三角形，所 以|A B|=|A K|亭p.又|A B|=,所以P=2.故选：C.1 x01 0 .已知符号函数sg n x=0,x=0 ,偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),当 尤0,1-1,x0 B.f )=_C.sgn(f(2 k)=0 (依Z)D.sgn Cf Ck)=|sg k|(k e Z)解：依题意，由/(x+2)=/(x),可知函数f(x)是以2为周期的周期函数.,当 x6 0,1 时，/(x)=x,f(x)是偶函数，.当 xC -1,0 时,f(x)=-x.函数/(X)图象如下：根据图可得，0 W/C O W 1,故sg(/(x)2 0,选项A不正确；很明显，当x=2 Z,依Z时，/(x)=0,sgn(/(x)=0,选项C正确；4 n 4 1 1 1 1/(型生L)=f(2 X 1 0 1 0+)=f()=,故选项 B 不正确；2 2 2 2当 k=2 时，sg”(/(2)=sgn(0)=0,|sg 2|=1,故选项。不正确故选：C.1 1.如图，在正四棱柱A 8 C-4 BICIOI，A B=V 2 A Ap E,尸分别为A B,B C的中点，异面直线A B i与C i F所成角的余弦值为加，则()A.直线4E与直线Ci F异面，且皿二但B.直线4E与直线Ci F共面，且但3C.直线4E与直线Cl尸异面，且巨D.直线A i E与直线Ci F共面，且m二巨3解：连结 EF,A i Ci,GO,DF,:E,尸分别为A B,B C的中点，EF4 Ci,直线4E与直线G F共面，由题意得A B i GO,.异面直线A B i与Ci F所成角为/O GF,设 A A i =J ,则 A B=J A A =2,则。C/=J ，Ci D=J ,由余弦定理得异面直线AS与Ci F所成角的余弦值:m=cosZDCtF3+6-52义爽X巫综上：直线4E与直线Ci F共面，且故选：B.12.已知函数/(x)=N -alnx-a(a a恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-8,A)B.(-8,-I.C.(-8,1 )D.(-8,1Q2 _/解：f (x)=x2-alnx-a(V 2),则，(x)=2尤-=Z-0,x x：.f(x)在 1,2上为增函数，不妨设X1X2,由函数f(X)的单调性可知，f(Xl)f(X2),|f(Xi)-f (x2)I”则-i-i-a 等价于f(xi)-cixf(X2)-axi,I X1-x2 I设力(x)=f(x)-ax=x1-alnx-ax-a,则函数/i (x)在 1,2 上为增函数，即 (x)=右-a-在1,2上恒成立，X化简得 xel,2,x+1设 f=x+l,则 aW 2 1 -2t+l)=2(z+-2),t&2,3,t t,：m(r)=2(r+-2)在2,3上单调递增，t.m(r)min=m(2)=2X(2+-2)=1,2.W l.故选：D.二、填空题：(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.)13.已知向量之，谕 足 之=(2,3),2；-3 芯=(1,9),则；.玉 的 值 为-1 .解：因为；=(2,3),2；-3 芯=(1,9),所以 31=2(2,3)-(1,9)=(3,-3),所以芯=(L-1)1所以ZE=2X1+3X(-1)=-1.故答案为：-1.x-y+2014.己知实数x,y 满足不等式组 x+y-3 4 0,则目标函数z=x-2y的 最 大 值 为 0.y l解：由约束条件作出可行域如图，由z=x-2 y,得丫=3 4，由图可知，当 直 线 二 过 A 时,2 2 2 2直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2-1X2=0.故答案为：0.15.(x d)(2 x-亘)5的展开式中各项系数之和为2,则该展开式中炉的系数为-4 8.X X解：由题意令X=l,则(1+1)X(2-)5=2,解得4=1.*(x+)(2x)5 即(x+)(2x)5；XX XX(2x-)5 的通项公式为：7 k 1=c：(2 x)5r(-)r=(-1)r2 5 r C)5-2 r,X5 X 5分别令 5-2 r=3,5-2 r=5,解得 r=L 0.则展开式中片的系数是:(-1)1X24C1+(-1 )0 2 5 c?=-4 8.u u故答案为：-4 816.在A A B C中，记角A,B,C所对的边分别是m h,c,面积为S,则 丁 的最大值a+2 bc解：因为p-=-5一7-=-x-一四世-解冬单了a+2bc b2+c-2bccosA+2bc 2 且-2-2cosA,cosA-2c b(当且仅当=c时取得等号)，令 s i n A=y,c o s A=x,故;就(上玄因为 x2+y2=l,且 y 0,故可得点(X,)，)表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示:目标函数Z E,表示圆弧上一点到点4 (2,0)点的斜率,x-2数形结合可知，当 且 仅 当 目 标 函 数 过 点 亨)，即A=6 0 时，取 得 最 小 值 岑；故可得ZHE ex-2,0），角形时，取得最大值.当且仅当A=6 0 ,b=c,也即三角形为等边三故答案为：返.12三、解 答 题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知数列 斯 的 前 项 和 是 租,且 S =2a”-2,等差数列 5 中,=20,bj 16.（1）求数列。“和 d 的通项公式；（2）定义：a*b=b解：（1）对于数列 ,当=1时，由S =24 -2 得 a i=2；当2 时，由S,=2m-2,2 两式相减整理得斯=2MI,所以数列“是首项为2,公比也为2 的等比数列，所以数列”“的通项公式a n =2。设等差数列 为 的公差为,则 岳-b i =1 6-2 0=4=2 3,解得d=-2,所以数列伯“的通项公式5=22-2.综合以上知:an2n,bn=2 2 -2n；an，n 3（9n 3（2）由（1）知：cn=a,bll=43所 以 Tio=a 1+42+43+4+65+66+bw=1 口）/（3+匕 。）1-q 2呻2 汉耍1=24-2+56=18 .医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重.比如身高175cm的人,其标准体重为17 5-105=7 0公斤,一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了.已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：编号 123456身 高(cm)x 16 517 116 017 317 816 7体 重(kg)y 6 0 6 3 6 2 7 0 7 1 58(1)从这6人中任选2 人，求恰有1 人体重超标的概率；(2)依据上述表格信息，用最小二乘法 求 出 了 体 重 对 身 高 x的线性回归方程：*=y0.6 5x+：但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上a述数据进行残差分析，按经验，对残差在区间L 3.5,3.5 之外的同学要重新采集数据.问上述随机抽取的编号为3,4,5,6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？参考公式：残差Xi-.1 b a解：(1)由图表可知，编 号 1 的标准体重为16 5-105=6 0,编号2 的标准体重为17 1-105=6 6,编号3 的标准体重为16 0-105=55,编号4 的标准体重为17 3-105=6 8,编号5 的标准体重为17 8 -105=7 3,编号6的标准体重为16 7 -105=6 2.故编号3,4 两人体重超标，故从6人中任取两人有C 卷=1 3 中取法，恰有一人体重超标共有C；C：=8 情况，故1(2)(16 5+17 1+16 0+17 3+17 8+16 7)=16 9,*6 1v=(6 0+6 3+6 2+7 0+7 1+58)=6 4,y 6回归方程必过样本 中 心(16 9,6 4),J6 4=0.6 5X16 9+，解得=-45.8 5,a a则=0.6 5x-45.8 5,y残差分析：=6 2 -0.6 5 X 16 0+45.8 5=3.8 5,窘=7 0-0.6 5 X 17 3+45.8 5=3.4,言=7 1-0.6 5X17 8+45.8 5=1.15,工=58 -0.6 5 X 16 7+45.8 5=-4.7.故3号和6号需要重新采集数据.K19.如图，在平行四边形A8 C O中，A B=,BC=2,Z A C B=,四边形AB E尸为直角梯6K形，BE/A F,Z B A F=,BE=2,A F=3,平面 AB C _L平面 AB E F.2（1）求证：4C _L 平面 AB E F；（2）求平面AB C。与平面O E尸所成锐二面角的余弦值.K解：(1)证明：在A 8C 中，因为 A B=1,BC=2,Z A C B=,6由余弦定理可得 A UBG+AC2-2 BC-A Ccos A A CB,SIJ l=4+A C2-2 X 2-解得 A C值，所以 A G+A 4MBC2,B|J A CL A B,又因为平面A 8C J _平面A 8E F,且平面A 8C E A平面A B E F=A B,A C u平面A B C。，所以A C _ L平面A B E B(2)由平面A B C O_ L平面A B E F,平面A B C E A平面A B E 尸=A B,JTN B A F=,A F u平面 A B E F,所以 A尸_ L平面 A B C。，2由(1)可知A F L平面A B C。，故建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,0,V 3).D(-l,0,a),E(l,2,0),F(0,3,0)所以而=（2,2,-愿），D F=（1,3,-愿）,设平面OE尸的一个法向量为二=（x,y,),则有 丁 生2x+2y S z=0n D F=x+3y-愿 z=0取z=4,则尸产次可得三二（我，如,4），又 屈=(O,3,0)是平面A 8 C D的一个法向量,所 以 正 A品诉*f所以平面A B C。与平面OE F所成锐二面角的余弦值为逗.220.经过椭圆c：5-+y 2=1 左焦点F l的直线/与圆尸2：G-l)2+y 2=r 2(r 2)相交于P,。两点，历是线段户危与C的公共点，且|MQ|=|MP|.(1)求 r；(2)/与C的交点为A,B,且A恰为线段尸。的中点，求 A B B的面积.2-解：(1)由C：掾+y 2=i得长轴长2a=2 M，半焦距C=l,因为点M在C上，所 以|H F i|+|MF 2l=2a=2近，因为|MQ|=|MP|,所以r=|P F 2=iMP l +l MF z b l MF|+懦尸2 1=27 2；(2)设 A(X I,y i),B(X 2,”)，4 为线段尸。的中点，则 A Q L A B,由尸1(-1,0),Ei(1,0),A F(-1 -x i,-y i),A F2=(1一为，=y i)，_ _ _ _ _ 2所 以 访 而=x；+y j-l=0,又 _+y：=i，解得 x i=0,y=l 或-1,若y i=l,则A (0,1),直线/的方程为y=x+l,联立y=x+l和椭圆方程炉+2=2,可 得 仅 卷，得)，O O所以48F 2的面积$4恒 匹|yryzl.XZ吟春乙 L t 0 0若y i=-1，同理可求得aA B尸2的面积综上，的面积为告.21.已知函数/(x)=r-ox+旦 国-(a,/?GR).x(1)若。力 0,证 明/(。)/(/?)；(2)若对任意 xw(0,+8),人6(-a 0),都有/(x)-e,【解答】证明：(1)要证f(a)f(b),需证旦旭-按-ab+lnb,a即证1曳 b a屈，a bunT J n a、，lnb即证。+-b+-，a b设g(X)=/卫 里，需证g(%)在(o,+8)上单调递增，X2g(x)1产=x+1.1n，设力(x)=x2+l-Inx,X X则(x)=2X-/=2X-1一,令力，(x)=0,得X=逗 ，XX 2当旺(0,返)时，(x)0,h(x)单调递增.2 _，h(x)min=h l*)=*1 12 0,即7(%)0 在(0,+QO)g(x)在(0,+8)上单调递增，故原问题得证；解：(2)由/(X)+e=乂2-又+，+a 0,得 or0,.g+X H5/blnx e设 F(x)=x+厂 ，X 4 AX求实数a的取值范围.上恒成立,+e，则F (x)=1+且U二 孚 立 一 x2-e 1一 厂十xb(l-21 nx)x3：b)时，F时，F(x)0,F(x)单调递增.F(X )世足=F (V e)=2 Fb石:-a 2V e ky_,Na又a 2每 层 对 任 意bw(-e,0)都成立，2e2 y 卷，即实数。的取值范围是(-8,2 y一 去 选考题：(请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑).选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线人的 方 程 为 丫=打，曲线C的参数方程为,(年是参数，O W c p W n).以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出直线人与曲线C的极坐标方程;(2)若直线1：2Psin(8 4)+&/=0,直线/i与曲线C的交点为A,直线/i与乙 3/2的交点为B求的B|.解：(1)直线八的 方 程 为 尸 伤,可得：tan 0=/3,xJT，直线/1的极坐标方程为e=-y-.曲线C的普通方程为a-1)2+y2=3,又.x=p c o s。，y=p sin 0,所以曲线C的极坐标方程为p2-2p c o s6 -2=0 (OWB Wir)(2)由题意，设A(p i,0 i),则有，P 2-2 p c o s 8 =2 冗8n ，解得：P r 2,6 1=T 2P sin设 8 (p2,0 2),则有4TT(0-)+3 7 3 =0,解得：P 2=-3,e 2=y故得HB|=lp i-P2|=5.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数f(x)=-x-a,(a G R).(1)当”=2 时，解不等式卜-(X)2 1；(2)设不等式|x-加(x)W x 的解集为M,若母,求实数”的取值范围.解：(1)=2 时，f(x)=-x-2|,问题转化为解不等式|x-3 打-2闫,4 2 2 时,x-3 33 3(x-2)21,式-2 2 1,3x-解得：y X2 时，x-1+1(2-x)21,3 3解得：x 2 1,故 lx V 2；时,-1-x+-(2-x)N1,O O O解得：x0,综上，不等式的解集是：“仪 40或 x 2 1 ；(2)|x-寺+4x-的解集包含,.x-；+故-1 1,解得：-故-l+a y-2 3