2021年全国中考数学真题分类汇编：尺规作图+网格作图+创新作图（含解析）.pdf

一、选择题7.（2 0 2 1 鄂尔多斯）已知：DAOCZ）的顶点O （0,0）,点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图:以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交O A于点M,交O C于点N.分别以点M，N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在/A O C内相交于点2画射线O E,交A。于点尸（2,3）,则点A的坐标为（）A【解析】由作法得。E平分N A O C,则乙4。尸=/。0尸，；四边形A O C O为平行四边形，A O O C,AFO=ZCOF,：.ZAOF=ZAFO,：.OA=AF,设 A F交），轴于 M,如图，（2,3）,；.M F=2,O M=3,设4 （f,3）,：,AM=-t,A O=4 F=-f+2,在 中，A32=（-Z+2）2,解 得-立，（-2，3）.故选：4.4 48.（2 0 2 1 益阳）如图，在 4 8C中，A O B C,分别以点4 8为圆心，以大于A 8的长为半径画弧，两弧交2于。，E,经过。，E作直线分别交A 8,A C于点M,N,连接B N,下列结论正确的是（）C.MN=、BC2D.BN平分NABCB7.（2 0 2 1 安顺、贵阳）如图，已知线段A B=6,利用尺规作A 8的垂直平分线，步骤如下:分别以点4,B为圆心，以6的长为半径作弧，两弧相交于点C和。.作直线C D,直线C D就是线段A B的垂直平分线.则b的长可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4D 解析 垂直平分线的作图过程：分别以线段的端点A,B为圆心，大 于;A 8的长度为半径作弧，交于点C,D,连 接C Q,直 线C就是线段48的垂直平分线，.,北.“8=6,.”3,.北取4,因此本题选2D.9.（2 0 2 1 铜仁）如图，在放A A 8 C中，NC =9 O,A B =1 0,B C =8,按下列步骤作图：步 骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点E.步骤2：分别以点。、E为圆心，大于OE的2长为半径作弧，两 弧 交 于 点 步 骤3：作射线40交BC于点F.则A尸 的 长 为（）DA.6 B.3亚 C.4 6 D.6近B 解析 过点/作而_1居 于 点G,由尺规作图可知，/尸平分N的G：NC =90,二/n/l C,.尸0=%在用A A B C中，NC =9 O，A S =1 0,B C=8,A A C =A B2-B C2=V1 02-82=6 1S.ABC=S.ACF+S.ABF A C-B C =A C-F C +A B-F G ,即 g x6 x8=；x6,F C+；xl F G,解得=3,在 RtlSAFC 中，由勾股定理得 A F =lAC2+F C2=V62+32=3石 D9.（2 0 2 2济宁）如图，已知A B C.（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交A C于点M,交AB于点、N.（2）分别以M,N为圆心，以大于工MN的长为半径画弧，两弧在N B A C的内部相交于点P.2（3）作射线A P交B C于点D（4）分别以4,。为圆心，以大于工AD的长为半径画弧，两弧相交于G,，两点.2（5）作直线G H,交A C,A B分别于点E,F.依据以上作图，若A F=2,CE=3,BD=3,则C O的 长 是（）1 0 4（答案C 解析 由作法得A O平分N B A C,尸垂直平分4 0,：EA=ED,.ZEA D=ZEDA,：.Z F A D=Z E D A,J.DE/A F,同理可得A E。尸，四边形A E D F为平行四边形，而E A=E),.四边形4 E D F为菱形,：.A EA F2,：DE/A B,.型=%，即 孕=与，：.C D .D B E A 3 _ 2 427.（2021 永州）如图，在ABC中，A B=A C,分别以点A,B 为圆心，大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧相交2于点M 和点N,作 直 线 分 别 交 8C、4 2 于点。和点E,若NB=50,则/C 4 O 的度数是（）A.30 B.40 C.50 D.60 答案 A 解析 由作法得 MN 垂直平分 AB,：.DA=DB,：.Z D A B=Z B=5 0Q,：AB=AC,.-.Z C=Z B=50,A ZBAC=180-Z -Z C=180-50-50=80,：.Z C A D=Z B A C -Z D A B=0a-50=30.7.（2021怀化）如图，在ABC中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交4 8、AC于点M、N；再分别以坏N 为圆心，大于迪的长为半径画弧，两弧交于点P；连结A P并延长交此于点。.则下列说法正确的是（）A.A D+B D A BC.N B A D=N C A DCB.AO 一定经过ABC的重心D.4 0 一定经过ABC的外心8.（2021 湖州）如图，己知在ABC中，乙A8C90。，AB/BC,B E是 4 c 边上的中线.按下列步骤作图：分别以点8,C 为圆心，大于线段8 C 长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N；过点M,N 作直线MN,分别交8C,B E 于点D,O；连接CO,O E.则下列结论错误的是（）A.O B=O CB.乙B O D=L C O DD.D B=D ED【解析】由作法得MN垂直平分8 C,，0 8=0 C,BD=CD,O D 1 B C,所以A 选项正确;.0。平分4 B O C,:.乙B O D=L C O D,所以8 选项正确；:AE=CE,D B=D C,r.D E为A8C的中位线，.4 8,所以C 选项正确;D E=而 B D=*C,ABBC,；.B*D E,所以。选项错误.故选：D.1 6 .（2 0 2 1河 北 1 6 题）如图，等腰AAOB中，顶角N 4 O 8 =4 0。，用尺规按到的步骤操作：以。为圆心，OA为半径画圆；在。上任取一点P （不与点4 B重合），连接4P；作A8 的垂直平分线与（DO交于M,N；作A P的垂直平分线与。O交于E,F.结 论】：顺次连接M,E,N,尸四点必能得到矩形；结论0 ：。0上只有唯一的点P,使得S 扇 形FOM=S扇 形 4 O B .对于结论I 和 n,下列判断正确的是（）A.1 和 n都对 B.I 和 1 1 都不对 c.I 不对n对 D.I 对 n不对D【解析】如图，连接EM EN,M F .NF.：O M O N,OE=O F,二四边形M E N 尸是平行四边形，=WV,.四边形例 W F 是矩形，故（1）正确，观察图象可知当NM0F=NA08,二5扇 形=S扇 形AOB,观察图象可知，这样的点P不唯一，故（H）错误，故 选：。.8.（2 0 2 1荆州）如图，在 A B C中，AB=AC,N 4=4 0 ,点。，P分别是图中所作直线和射线与A 8,C D的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）A.A D=C D B.Z A B P=Z C B P C.Z B P C=1 1 5 D.N P B C=N AD【解析】由作图可知，点。在 AC 的垂直平分线上，.Q A n D C,故选项A正确，./4 =/4 CO=4 0 ,由作图可知，B P 平分/A B C,A Z A B P Z C B P,故选项8 正确,；A8=AC,NA=40,A ZABC=ZACB=1(180-40)=70.；/P 8 C=*A 8 C=3 5 ,ZPCB=ZACB-ZA C D-30a,：.ZBPC=SO-35-30=115,故选项 C 正确，若N P B C=N A,则NA=36,显然不符合题意.故选D.6.（2021 广元）观察下列作图痕迹，所作线段8为ABC的角平分线的是（）7.A.(2021长春)在A5C 中,ZBAC=90，A B A C.用无刻度的直尺和圆规在3 c 边上找一点。，使ACDC为等腰三角形.下列作法不正确的是（)A.B.B DA7.（2021通辽）如图，在 R hA B C 中，NACB=9 0，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）C.D E=DCB.N B A D =N BD.A E A CB 解析 根据尺规作图的痕迹可得，DE_LAB,A D 是N B A C 的平分线，./C=90,；.DE=DC,ZB+ZBDE-ZB+ZBAC=90.VAD=AD,RtAAEDRtAACD（HL）,；.AE=AC.：DE 不是 AB 的垂直平分线，故不能证明/B A D=/B.故选 B.5.（2021鄂州）已知锐角NAQB=4 0 ,如图，按下列步骤作图：在Q 4 边取一点。，以。为圆心，O O 长为半径画M N,交 Q B 于点C,连接CD.以。为圆心，。长为半径画G 4,交O B于点、E,连接O E.则 N C D E的度数为（）A.20 B.30 C.40 D.50B 解析 由已知得 OC=OD,.*.NODC=NOCD=(180-Z A O B)4-2=(180-40)+2=70,VDE=OD,.ZDEO=ZAOB=40,.,.ZODE=180-40 X 2=100,A ZCDE=ZDEO-ZODC=100-40=30.9.(202卜 海 南)(2021河北)如图，已 知 直 线/与 直 线 队 匕分别交于点A、B,分别以点A、B 为圆心,大 于%B 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直线M N,交直线b 于 点 C,连接A C,若N l=40,则N2C.100D.105（答案 C【解析】：a/b,.,.ZA BC=Zl=40,分别以点4、8 为圆心，大于，8 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N,作直线 MN,；.MN 垂直平分 A B,，AC=BC,.*.NABC=NCAB=40,二4 4。8=180-40-40=100.9.（2021黄石）如图，在中，NACB=9 0 ,按以下步骤作图：以5 为圆心，任意长为半径作弧,分别交E 4、B C 于 M、N 两点；分别以M、N 为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧相交于点P；2作射线5 P，交边A C 于。点.若 A 8=10,B C =6,则线段C O 的 长 为（）A【解析】由尺规作图痕迹可知，8。是/A B C 的角平分线，过。点作。H L 4B 于点,DNA RH M ：ZC=ZDH B=90,：.DC=DH,AC AB2-B C2=yll02-62设 DC=DH=x,则 AO=AC-QC=8-x,B C=B H=6,A H=A B-B H=4,在RtzMO”中，由勾股定理：A D2 AH2+D H2-代入数据：(8-X)2=X2+42,解得X=3,故8=3.二、填空题15.（2021 营口）如图，Z M O N =40,以。为圆心，4为 半 径 作 弧 交 于 点A,交O N于点B,分别以点A,5为圆心，大于4 A 3的长为半径画弧，两弧在NMQV的内部相交于点C,画射线OC交AB于点O,E为OA2上一动点，连接BE,D E,则阴影部分周长的最小值为 一.41 14+-乃【解析】由作法得 OC平分 NMQN,OA =OB =O D =4,ZB OD=ZA OD=-Z M O N =-x40=2 0 ,92 2B D的长度为2 x K=3乃，作5点 关 于 的 对 称 点F,连接D F交O M于E,连接O尸，如图，OF=08 ,180 9NFQ4=NBO4=40,:.OD=OF,:.ODF 为 等 边 三 角 形，:.DF=O D=4 ,:EB =E F ,4.3+7）=尸+力=。/=4,，止 匕 时 7区+。的值最小，阴影部分周长的最小值为4+4.914.（2021成都）如图，在 RtABC中，ZC=90,A C=B C,按以下步骤作图：以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交4C,AB于点N；分别以M,N 为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧在4BAC内交于点。；作射线4。，交.B C 于点、D.若点D 到 AB的距离为1,则 8 c 的长为.1+夜【解析】过点。作_LAB,则 OH=1,由题目作图知，AQ是4 C48的平分线，C则 C D=D H=,ABC为等腰宜角三角形，故乙3=45。，则 为 等 腰 直 角 三 角 形，故BD=y2HD=或，则 B C=C D+B D=1+a.15.（2021台州）如图，在A8C 中，ZACB=9 0 ,ACBC.画弧，两弧交于。，E 两点，直线。E 交 8 c 于点尸，连接AF.B1分别以点A,8 为圆心，大于7 2 的长为半径以点A 为圆心，A F为半径画弧，交 BC延长如图，射线8。即为所求作.线于点，连接若8 c=3,则/1 /的周长为 _ _ _ _.B-H6【解析】由基本作图方法得出：垂 宜 平 分 ，则可得 AF=AH,AC1.FH,：.F C=CH,：.AF+FC=BF+FC=AH+C1：./AFH 的周长为:AF+/C+CH+AH=28C=6.17.（2021自贡）如图，N A B C的顶点均在正方形网格格点上.B D（不写作法，保留作图痕迹）.，r A i 匚 泾 上 二二1-5：,分别以点A 和点C 为圆心，大于/C的长为半径作弧,两弧相交于点M 和点N,作直线MN,交 4。于点E,则 D E的长为J【解析】如图所示：连 接 EC,由作图方法可得:8M N垂直平分AC,则 AE=EC,.A8=AC=5,BC=6,4。平分乙BAC 交 8 c 于点 Q,BD=DC=3人DLBC,在 RlABD 中，AD=JAB2-B D2=V52-32=4,设 DE=x，则 AE=EC=4-x,在 Rt EDC 中，DE2+DC2=EC2,B P+32=(4-%)2,解得x=故 O E的长为o o114.（2021新疆）如图，在ABC中，AB=AC,ZC=70,分别以点4,B 为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧,两弧相交于M，N 两点，作直线MN交 AC于点。，连接8,则/B DC=.8 0【解析】：AB=AC,Z C=70,：.ZABC=.,.,ZA+ZABC+ZC=180,A ZA=180-ZABC-ZC=40.由作图过程可知：力例是A 8的垂直平分线，A ZABD=ZA=40,A ZBDC=ZA+ZABD=40+40=80.13.(2021怀化)如 图，在平面直角坐标系中，己知A(-2,1),8(-1,4),C(-1,1),将ABC先向右平移3 个单位长度得到A iB iC i,再绕C i顺时针方向旋转9 0 得到A2B2C1,则 A2的坐标是 _ _ _ _.15.(2021.威海)如图，在aA B C 中，NBAC90,分别以点A,B 为圆心，以大于a A B 长为半径画弧，两弧交于点力，E.作直线O E,交 BC于 点 分 别 以 点 4,C 为圆心，以大于4 c 长为半径画弧，两弧交于点2F,G.作直线 F G,交 BC 于点 N.连接 AM,A N.若Z B A C=a,则/MAN=.2a-1800 解析 由尺规作图可以知道D M、N F分 别 是AB.A C的垂直平分线，根据中垂线的性质可知4M=BM,AN=CN,利用等边对等角可知两组底角分别相等，根据三角形内角和定理可知，NB+/C=180-a,所以/M A N=a-(1800-a)=2a-180.13.(2021 黄 冈)在 RtAABC中，ZC=90,NB=30,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,1AB于点E,F；再分别以点E,F 为圆心，大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧交于点P,作射线A尸交BC于点D.则C D与B D的数量关系是 B D=2 C D .BZ）=2C。【解析】VZC=90,ZB=30,.,.ZCAB=90-30=60,由作图可知 4。平分NC46,：.ZCAD=ZBAD=30 ,：.AD2CD,:N B A D=N B=30 ,：.AD=DB,：.BD2CD.18.（2021 南通）如图，在ABC中，AC=BC,ZA C B=90,以点A 为圆心，AB长为半径画弧，交 AC延长线于点C,过点C 作 CE/1 8,交B D于 点、E,连接B E,则 J的值为.1 8.解析：过点A 作 AFLEF于点F,连接A E,设A 半径为2&,则 AP=AE=2A A F=k,解得EF=G2k,所以 CE=EFF C=(G 1)”,过点 E 作 E_LA8 于 H,在 RtaBE”中，B H=Q-B k,E H=k,根据勾股定理得8E=(后-夜)&,所 以 笠 的值为立.BE 2F H18.(2021天 津 18牌)如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，A8C的顶点A,C 均落在格点上，点 B在网格线上.(I)线段4 c 的M 等于 一；(I I)以A B 为直行的半圆的圆心为O,在线段A 8 上有一点P,满足A P=A C.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明)/C、/-B1一 一-.A（I）V5（I I）取 8 c 与网格线的交点。，连接。延长。交。于点E,连接AE交 8 c 于点G,连接B E,延长AC交 BE的延长线于F,连接FG延长FG交 A 8于点P,点 P 即为所求【解析】（I）AC=V22 4-I2=V 5.故答案为：V5.（II）如图，取 8 c 与网格线的交点。，连接0。延长。交O O 于点E,连接AE交 8 c 于点G,连接8 E,延长AC交 8E的延长线于凡 连接FG延长FG交 A 8于点P,点 P 即为所求.故答案为：取 B C 与网格线的交点 ,连接0。延长。交。于点E,连接AE交 8 c 于点G,连接8 E,延长AC交 BE的延长线于凡 连接FG延长FG交 4 8 于点P,点 P 即为所求17.（2021 柳 州 17题）在 x 轴，y 轴上分别截取Q4=0 B,再分别以点4,8 为圆心，以 大 于 长 为 半 径 画2弧，两弧交于点R若点尸的坐标为（。，2）,则 a 的值是.答案 2 或一2【解析】由题意可知点P在平面直角坐标系中的某个象限的角平分线上，由角平分线上的点到角的两边距离相等，知点P 的横、纵坐标的绝对值相等，从而有时=2,解得。=2.11.（2021 吉林）如图，已知线段A 8=2cm,其垂直平分线CO的作法如下：（1）分别以点A 和点8 为圆心，ba*长为半径画弧，两弧相交于C,Z）两点；（2）作直线CD上述作法中b 满足的条作为6 1.（填或“=”）A-BD【解析】分别以点4 和点8为圆心，大于二分之一 AB长为半径画弧，A B=2c m,则 b l.9.（2021本溪）如图，在 4B C 中，A B=B C,由图中的尺规作图痕迹得到的射线80 与 AC交于点E,点 F为BC的中点，连接E F,若 B E=A C=2,则的周长为（）A.V 3+1 B.V 5+3 C.V 5+1 D.4C【解析】由图中的尺规作图得：B E 是4 4 8C的平分线，：AB=BC,J.BELAC,A E=C E=A C=,二/A E C=9 0,Z.BC=y/BE2+CE2=V 22+l2=V 5.点产为 8 c 的中点，EF=B F=CF,：.A C E F 的周长=CF+EF+CE=CF+BF+CE=BC+CE=V 5+1.三、解答题22.（2021 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1 个单位长度，A A B C 的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.（1）在方格纸中将A A 8 C 向上平移1 个单位长度，再向右平移2 个单位长度后得到A M N P （点 A的对应点是点“，点 2?的对应点是点N,点C的对应点是点尸），请画出A MVP；（2）在方格纸中画出以Q E为斜边的等腰直角三角形。E F （点尸在小正方形的顶点上）.连 接 EP,请直接写出线段E P 的长.解：（1）如图，A M N P 为所作.（2）如图，为所作；18.（2021 仙桃）已知A B C和（?）都为正三角形，点8,C,）在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.（1）如 图1,当8 c=C。时，作 A B C的中线B F；（2）如图2,当B C WC。时，作 A B C的中线8 G.解：如 图1,线 段8尸即为所求;（2）如图2,线 段 即 为 所 求.图220.（2021 赤峰）如图，在 Rt Z 4B C 中，/4C B=9 0，点。是斜边 A 8 上一点，H A C=A D.（1）作N B A C的平分线，交B C于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接。E,求证：DEYA B.D20.(10分“1tDffl.AE为所作Z M C的平分段.(2)O E.ihtn lutZCAE-NIM G A M E 和&W 中 AC-ADV.ZCAE-/D A EAE-AE.ACE 9 AADEfSAS)/“-/A D E乂：ACB-SO*JN.ME-90,*.AD _ t e .(5分AC.（1）在 4?边上求作点 ,使）B=QC；（2）在 AC边上求作点,使 AAOESAACB.解：（1）如图，点。即为所求.（2）如图，点 K 即为所求.21.（2021 北部经济区）如图，四边形ABC。中，A B/CD,N B=N D,连接AC.（1）求证：ABCZXCDA；（2）尺规作图：过点C 作 AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）;（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20,A B=5,求 CE的长.解：(1)证明：,：A B/CD,；.N B A C=N D C A.Z B=N D在 ABC 和 A CQA 中，I A B A C =Z D C A,；.A8C丝CZM(AAS).AC =CA(2)如答图所示:（3）:ASC也CD4,J.A B CD.5 L,：AB/C D,四边形 ABCD 是平行四边形.V CEA-A B,.5 mnniiti ABCDA B,CE,C E 20-5=4.23.（2021 绥化）（1）如图，已知“8C,P 为边A 8上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点,使 AE+E P=AC.（保留作图痕迹，不写作法）（2）在图中，如果AC=6cm,A P=3cm,贝 S A P E 的周长是 cm.2 3.解:（1）如图，点 E 即为所求.（2）9理由：垂直平分线段PC,:.EP=EC.：./A PE 的周长=A P+A E+EP=A P+A E+EC=A P+A C=3+6=9（cm）.20.（2021北京20题）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点力处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点8,使 6,1两点间的距离为1 0 步（步是古代的一种长度单位），在点6处立一根杆；日落时，在地面上沿着点6处的杆的影子的方向取一点C,使 C,6两点间的距离为1 0 步，在 点。处立一根杆.取。的中点，那么直线仍表示的方向为东西方向.（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点儿B,。的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图中作。的中点（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线加表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明.证明：在4 比1 中，B A=,。是。的中点，J.CA L DB（）（填推理的依据）.直线仍表示的方向为东西方向，直 线。表示的方向为南北方向.解：（1）如图，点。即为所求.（2）BC三线合一2 5.（2 0 2 1 南京）如图，已知P是。外一点.用两种不同的方法过点尸作。的一条切线.要求：（1）用直尺和圆规作图；解：方法一：如 图 I 中，连接OP,以 OP为直径作圆交O。于。，作直线PD,直线PO即为所求.方法二：如图，作射线P E,作。E L PE 于 E,作 P O E的外接圆交。于。，作直线P ）,直线尸Q即为所求.1 9.（2 0 2 1 衢州）如图，在 6X 6的网格中，AABC的三个顶点都在格点上.（1）在 图 1 中画出 A C D,使 A C O 与 A B C 全等，顶点。在格点上;（2）在图2中过点B画出平分 A B C 面积的直线/.解：（1）如 图 1 所示，就是所求作的三角形；（2）如 图 2所示，直线/就是所求作的直线.图220.（2021丽水）如图，在 5x5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图.（1）如 图 1,画出一条线段A C,使 AC=AB,C 在格点上；（2）如图2,画出一条线段E F,使 EF,A 8互相平分，E,F 均在格点上；（3）如图3,以A,B 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上.解：（1）线段AC即为所作，（2）线段E尸即为所作，（3）四 边 形 即 为 所 作.19.（2021 嘉兴）如图，在 7x7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点 A,B 在格点上，每一个小正方形的边长为1.（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）.（2）计算你所画菱形的面积.解：（1）如下图所示:四边形48C 3即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）.（2）图 1菱形面积S=：x 2 x 6=6,图 2 菱形面积S=：x22 x4、吃=8,图 3 菱形面积5=（国）2=io.20.（2021温州）如图中4x4与 6x6的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图 3 中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）.（1）选一个四边形画在图2 中，使点尸为它的一个顶点，并画出将它向右平移3 个单位后所得的图形.（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的、石倍，画在图3 中.图1图3解：（I）如图2 所示，即为所求;（2）如图3所示，即为所求.图2图31 8.（2 0 2 1 宁波）如图是由边长为1 的小正方形构成的6X 4的网格，点 A,8均在格点上.（1）在 图 1 中画出以A8为边且周长为无理数的。A B C ,且点C和点。均在格点上（画出一个即可）.（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形A E 8 F,且点E 和点F 均在格点上.解：（1）如 图 I 中，四边形A 8 C。即为所求（答案不唯一）.（2）如图2中，四边形A E8 尸即为所求.D图11 6.（2 0 2 1 安徽1 6 题）如图，在每个小正方形的边长为1 个单位的网格中，AABC的顶点均在格点（网格线的交点）上.（1）将 A B C 向右平移5个单位得到 48G，画出 A B C（2）将（1）中的 4 B i G 绕点C i逆时针旋转9 0。得到 A2&G,画出 A 2 8 2 G.解：（1）如图，A 出C i 即为所求作.（2）如图，A 2&G 即为所求作.2 0.（2 0 2 1 武汉）如图是由小正方形组成的5X 7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形A B C Q 的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.（1）在 图（1）中，先在边A 8 上画点E,使再过点E 画直线E F,使 E F 平分矩形A B C。的面积；（2）在 图（2）中，先画 B C O 的高CG,再在边4 8上画点，使 8 =。，.ABDC 解：（1）如图，直 线 即 为 所 求.（2）如图，线段C G,点”即为所求.AY/XBX一 八D7C1 6.（2 0 2 1 江西1 6 题）已知正方形A 8 C Q 的边长为4个单位长度，点 E 是 CO的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）在 图 1 中，将直线AC绕着正方形A B C Q 的中心顺时针旋转4 5。；（2）在图2中，将直线4c向上平移1 个单位长度.图1 图2 解：（1）如 图 1,直线/即为所求；由信图1 图2（2）如图2中，直线a即为所求.1 8.（2 0 2 1 宜昌）如图，在 A 8 C 中，Z B=4 0 ,Z C=5 0 .（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线QF 是线段AB的 _（2）在（1）所作的图中，求/D 4E 的度数.射线AE 是N D 4c的 _B解：（1）垂直平分线 角平分线（2）垂直平分线段 A B,.D4=O 6,：.ZB A D=B 40o,V Z B=4 0 ,NC=5 0 ,.NR4 C=9 0 ,平分 NC A。，：.ZDA E=ZCA D2 5Q.2 1.（2 0 2 1重庆 A 卷）如图，在 口A B C Q 中，A B A D.（1）用尺规完成以下基本作图：在A B上截取A E,使A E=A。；作aB C。的平分线交A 8于 点 工（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接O E交C尸于点P,猜想 C DP按角分类的类型，并证明你的结论.解：（1）如图，A E.C F为所作;（2）为直角三角形.理由如下：,四边形ABC。为平行四边形，.1/18。，A D/B C,A C D E=A A E D,4 AQ C+4 8 c 0=18 0,A D=A E,Z-A DE=A A ED,L A DE=A CDE,L C D E=A DE=A A DC,.C F 平分ZB CD,ZFC D=三乙BC D,乙CDE+Z.FCD=90,Z C P D=9 0 ,.C O P 为直角三角形.21.（20 21重庆B卷）如图，四边形A B C D为平行四边形，连接A C,且A C=2 A&请用尺规完成基本作图：作出aB A C的角平分线与8 C交于点E.连接8。交A E于点凡 交4 c于点0,猜想线段B F和线段。尸的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）解：如图:猜想：DF=3B F.证明：.四边形 ABC D 为平行四边形.：.OA =OC,OD=OB.:A C=2 A B.：.A O=A B.,48 AC 的角平分线与 BC 交于点 E.：.B F=FO.；.DF=3B F.23.（20 21常州）如图，B、F、C、E 是直线/上的四点，ABDE,AB=DE,BF=C E.（1）求证：ZXABC也 D EF；（2）将 ABC沿直线/翻折得到AA BC.用直尺和圆规在图中作出A A BC（保留作图痕迹，不要求写作法）;连接A D,则直线A D 与/的位置关系是.答案 解：(1)VAB/ZDE,/.ZABC=ZDEF,VBF=CE,；.BF+CF=CE+CF,即 BC=EF,又：AB=DE,AAABCADEF；(2)如图所示：AD/,理由：设 DF与 C A 交于点0,由翻折可得：A A B C A A7 BC,：.ZB C A Z B C A ,C A=C A,VAABCADEF,：.4DFE=NBCA,CA=DF,.,.DF=CA/,ZDFE=ZBCA,.,.OF=OC,:.CA-OC=DF-OF,即 0A =0D,：.Z O A O=/O Z）A,Z A O D=/CO F,：.ZO A D=ZOCF,；.AD/.21.（2021 甘肃省卷2 1 题）在 阿基米德全集中 的 引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知彳&,C 是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；作线段AC的垂直平分线Q E,分别交脑于点。，AC于点E,连接A。，CD；以点力为圆心，D 4 长为半径作弧，交检于点F（凡 A 两点不重合），连接OF,BD,BF.（2）直接写出引理的结论：线段BC,的数量关系.解：（1）如图，直线。E,线段AD线段CQ 即为所求.如图，点、F,线段C D 8D 8F即为所求作.D(2)结论：BF=BC.理由：.。垂直平分线段4仁，。4=。仁.乙。/1。=4。，.ADDF,DFDC,AD=DF,：.乙DBC=LDBF,：ZDFB+ZDAC=180.ZDCB+ZDCA=180,/.乙DFB=LDCB,Z.DFB=Z.DCB在 Q F B 和 OCB 中，NDBF=NDBC,DF=DCl DFB/DCB(AAS),.-.BF=BC.17.(2021 陕西)如 图，已知直线/i /2,直线/3分别与/I、/2交于点A、B.请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点尸到/I、/2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）24.（2021 广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上.要求以A 8为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形.19.（20 21荆州）如图，在 5X5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1,线段EZ）与 A O的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上.请在网格图形中画图：（1）以 线 段 为 边 画 正 方 形 ABC D,再以线段。E 为斜边画等腰直角三角形。E凡其中顶点F 在正方形ABC D外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点8为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABC。和 DE尸面积之和，其它顶点也在格点上.E D解：（1）如图，正方形ABC Z）,尸即为所求.（2）如图，正方形2 K F G 即为所求.22.（20 21 青海）如图，08是口ABC。的对角线.（1）尺规作图（请用2 B 铅笔）：作线段8。的垂直平分线E F,交 AB,DB,D C分别于E,O,F,连接。E,B F（保留作图痕迹，不写作法）.（2）试判断四边形O E B F 的形状并说明理由.解：（1）如图，DE、8 F为所作;C（2）四边形O E8 F为菱形.理由如下：如图，垂直平分 8 ,：.EB=ED,FB=FD,OB=OD,:四 边 形A 8 C C为平行四边形，。4?，（Z.FDO=乙 EB O在O Q F 和O BE 中，。=0 B,U D O F =4B OE:.A ODF名 A OB E（ASA）,：,DF=B E,:.DE=EB=B F=DF,.四边形O EBF为菱形.题目24.（20 21 无 锡）如图,已知锐角 A8 C中,A C=B C.（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作N A C B的平分线C D；作 ABC的外接圆。0；（不写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若A8=g,。0的半径为5,则sin8=.（如需画草图，请使用图2）答案 解：（1）如 图1,作图如下：作法：作角平分线，根据尺规作图作角平分线的步骤作图；作外接圆，先找圆心，已知 A 8 C中A C=8 C,由等腰三角形三线合一可知/A C 8的角平分线即是底边A 8的垂直平分线，故再作一条腰的垂直平分线，与角平分线的交点O即为外接圆圆心.1 24（2）如 图2,由（1）知C D L A B,由垂径定理可得AD=BD=AB=w，OA=OC=5,在RtaOAD中，由勾股7 32 4定 理 可 得O D=g,在RtZCDB中，CD=OC+OD=由勾股定理可得BC=8,则sinB=.22.（2021 福建）如 图，已 知 线 段MN=，A R L A K,垂 足 为A.（1）求 作 四 边 形ABCD,使 得 点8,。分 别 在 射 线AK,AR上，且AB=BC=a,NABC=60,C D/A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P,。分 别 为（1）中 四 边 形A8CD的 边48,CD的中点，求 证：直 线AZ）,BC,PQ相交于同一点.aR A/N 解 析 本题考查考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几彳可直观，考查化归与转化思想.答 案 解：Q）B K四边形ABCD是所求作的四边形.(2)设直线BC与 AD 相交于点S,V DCIIAB,SA AB.SBASASCD,=-SD DC A设直线PQ与 AD 相交于点S,同理J LJQD.RQ分别为AB,CD的中点,PA=-AB,Q D=-D C,2 2 QDABDCS _