2021年全国高考数学猜题信息试卷（文科）（三）附答案解析.pdf

2021年全国高考数学猜题信息试卷（文科）（三）一、单 选 题（本大题共1 2小题，共60.0分）1.若等比数列 即 前律项和为%=-2+a,则复数z=总在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设 X 6 R,贝 I“0 c x 3”是 一 4%+3 娜则 恒 生 身 型 的 值 等 于A.-B.亚 C.-D.右售441 1 .已知函数y =/x,则该函数的导函数为()A.y=x 1 B,y=2 x 1 C.y-2 x2-1 D.y=x2 11 2 .若直线3 X一4、+5 =0与 圆/+丫2 =2 0 0)相交于4,B两点，且乙4 O B=1 2 0。(。为坐标原点),则r =()A.1 B.2 C.D.3二、单空题(本大题共4小题，共2 0.0分)1 3 .高三(1)班共有4 8人，学号依次为1,2,3,，4 8,现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5,2 9,4 1在样本中，那 么 还 有 一 个 同 学 的 学 号 应 为.自需一潭里幽X14.已知实数取承满足线性约束条件!&：9-4 三隗则目标函数M =需一厚的最大值是_.!子：一 将 般 学 士 岷.15.已知数列 即 满 足 凡 竽|*,n N*,若a7=1 2 7,则内的 取 值 范 围 是.16.若一球的半径为1,其内接一圆柱，则 圆 柱 的 侧 面 积 最 大 为.三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.产品质量是企业的生命线，为提高产品质量，企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的4 B两条生产线，为比较两条生产线的质量，从4,B生产线生产的产品中各自随机抽取了 100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.(1)有多大的把握认为一级品与生产线有关?(2)生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率.分别估计4 8 生产线生产一件产品的平均利润:你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.附：K2=n(ad-bc)2，n=a+b+c+d.临界值表:(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.A A B C ,角4 B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(C+4)(1)求角B的大小；()若b=4,ABC的面积为百，求a+c的值.1 9.如图所示，在四棱锥P-A B C D 中，底面2BCD是NZMB=60。且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面4BCD.(1)若G为4C边的中点，求证：BGJ_平面PAD.(2)求 证:AD 1 PB.(3)若E为BC边的中点，能否在PC上找出一点F,使平面D E F,平面ABCD?20.若椭圆C：冬+=1的焦点在x轴上，过点P(2,2通)作圆/+y2=2遥的切线，切点分别为4B,直线4B恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，(I)求椭圆的方程；(II)设动直线/与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点0 为圆心的圆，满足此圆与/相交两点Pi，P2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线O R，0P2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.21.已知函数/(%)=声?一 仇 久 一|,其中a e R,且曲线y=f(x 在 点 处 的 切 线 垂 直 于 直 线1丫=/(1)求a 的值及在点(1,/(1)处的切线方程；(2)求函数/(x)的单调区间与极值.22.在直角坐标系xOy的原点，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线G的极坐标方程为=等，。2的参数方程为V2-25/-22-+22=(t为参数).(I)将曲线G 与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程;(11)若。1与。2相交于4、B两 点,求 明.23.已知函数/(%)=|2x 3|+a|(a 0).(I)若a=1,求不等式/(x)3的解集；()若/。)a2-a+1恒成立，求实数a的取值范围.参考答案及解析1.答案：A解析:解:等 比 数 列 前71项和为又=-2n+a,则此等比数列的前三项分别为S i =a 2,S 2 -S i =-2,S3 S2=-4.由2?=(a 2)(4),求得a=3.故复数z =*=最=n=震，它在复平面内对应点的坐标为舄，Q故选A.由等比数列 5前n项和求前三项，再由等比数列的定义求得a的值，利用两个复数代数形式的乘除法，化简复数z,求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论.本题主要考查由等比数列 an前几 项和求前几项的方法，等比数列的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幕运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.2.答案：B解析：解：解二次不等式/-4 x +3 0得：1 c x 3,又 x|l%3 崔 x|0%3 ,故 0 x 3”是一 4 x +3 0”的必要不充分条件，故 选:B.由二次不等式的解法得：解二次不等式/一4%+3 0得：1%3,由集合的包含关系得：X|1 x 3%|0 x 由必要充分条件得：0 x 3”是“2一4%+3 OB=(l,sin2x+V3sin2x),那么：/(x)=OA-OS=cos2%sin2x V3sin2x=cos2 x V3sin2x=2cos(2x+g).函数f。)的最小正周期T=y =7r.故选：B.f(x)=OA O B，根据平面向量数量积运算,求解出/(x)化简，再利用周期公式求函数的最小正周期.本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于基础题.6.答案：B解析:利用新定义，代入计算可得结论.本题考查简单的合情推理，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础.,2013,2013,20132解：=，-12014，2014 1 2014(2014-1)2.1 _ 20142-2X2014+L =2014 3 20142014.20133 _ F(20147)3 _ 20132014-*-I 2014 J 201420134 _ f(2014-l)4.1 _ 12014 J 一 I 2014 2014 指数为奇次基时，值 为 翳，为偶次赛时，值 为 亲.,原式=1 0 0 7,故选：B.7.答案：4解 析：本题考查线线平行，考查向量知识的运用，正确确定向量坐标是关键.建立空间直角坐标系，设出点的坐标，得出向量坐标，证明直线PQ与B D i的对应向量的坐标关系得到所求.证 明：如 图，以。为原点建立空间直角坐标系。-x yz,设正方体的棱长为a,则4(a,0,a),0(0,0,0),4(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),。式0,0,砂,D At (a,0,a)AC=(a,a,0),B D1=(a,a,a).P Q是直线A C与4D的公垂线.二 设 所=(x,y,z)，：.PQ-DAi=0，PQ AC=0(x,y,z)(a,0,Q)=QX+az=0,(%,y,z).(a,a,0)=ax+ay=0.Q。0，%=y=-z.PQ=(%,%一%),:.丽=一西(X 丰 0),.超，丽 共线，PQ/BDr,故选A.8.答案：B解析：解：抛物线的焦点坐标是(2,0),可得p=4,则其标准方程为y2=8x.故选：B.利用抛物线的焦点坐标，写出抛物线的标准方程即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基础题.9.答案：B解析：解：将函数y=sin(2x+的图象向右平移;个周期后，即向右平移3警=3个单位，所得图象对应的函数为/。)=sin(2x-3+=sin(2x 一乡，Z 6 O令2上 兀 一9 4?W 2/C 7T +g,k 6 Z,求得左兀一 4 工 工 /C T T +g,262 6 3故函数f(x)的增区间 为 阿 Y，+白，k&Z,故 选:B.由题意利用函数丫 =45讥3%+0)的图象变换规律，正弦函数的周期性，可得函数/(%)的解析式,再利用正弦函数的单调性，得出结论.本题主要考查函数y=4sin3x+w)的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题.10.答案：A解析：试题分析：易求双曲线公；江-贮=3,的离心率为菖=三，在 盛 密 那 中，利用正弦定理和双 斛 4曲妗g+“好 即”翱 醐喇I蹈H躅I&1 4媪履岁 惚阚&M考点：本小题主要考查双曲线的定义，正弦定理.点评：解决本小题的关键是根据正弦定理和双曲线的定义将要求解的量转化为双曲线离心率的倒数,圆锥曲线的定义在解题中经常用到，要灵活应用.1 1 .答案：B解析：解：；y=x2-x,二函数的导数/(x)=2 x -1,故选：B根据函数的导数公式即可得到结论.本题主要考查导数的基本运算，比较基础.1 2.答案：B解析：解：由圆/+y2 =产 0),其圆心为(0,0),半径为r.过圆心作直线3 x-4 y+5 =0的垂线，交点为C,那么 4 0C是直角三角形，其=3 0。.1 OC=-r.又 圆心(0,0)到直线3 x -4 y+5 =0的距离O C =*=右/=1,V i 4 +Bz V 3Z+4Z故有2 r =1,解得：r =2.故 选:B.由题意可知，圆心角乙4 O B =1 2 0。，过圆心作直线3 x-4 y+5 =0的垂线，交点为C,那么Z k A O C是直角三角形，即可求半径r.本题主要考查直线和圆相交的弦长与半径的关系的计算.属于基础题.1 3.答案:1 7解析：根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题.将4 8人分成4组，每组1 2人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以1 2为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是1 7.1 4.答案：一：解析：本题考查线性规划求最值,即,3）4&高）,%9试题分析：由题意得：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中 8 8 4 4,c（Z 2）-1因此目标函数z=x-N过点4 4时取最大值：215.答案：解析：解：|斯一当 T W：，兀e N*,可得：W a”一器1 W两边同除以2%可 得 一/W 聚 一 器 W/，而、1 7。2/1 1/。2。3/1 1 X。6 0 7-1所以一 巨 3一五W 三，-F-F-F-F以上几个式子相加可得一信+*+套）w衰 一,工*+看,即-6+专+M）+44专+专+京+条所以-2号 +专+套）+胃 4%2（专+4+,）+筝,所以第+筝经+票，2 2u l t、y,1 2 8.1.26所以-1 +ar 1+,所以 1 fli|.故答案为：1,靠.先运用绝对值不等式的性质化简跖一 竽I转，n e N*,可 得 一 岸 斯-士尸 封，变 形 得-募 W工-瑞 募，进一步求出的的取值范围本题考查绝对值不等式的解法，累加法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.1 6.答案:2兀解析：本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般.由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得出圆柱的高为八、底面半径为r与球的半径的关系，再用八和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可.解：如图为轴截面，令圆柱的高为九，底面半径为r,侧面积为S,则6)2 +/=，即 仁 z Vl r7.S=2nrh=4nr-yjl r2=4兀2(1 _ 产)5 0 2 4(a+t)(c+d)(a+c)(&+d)-5 5 x 1 4 5 x 1 0 0 x 1 0 0 )所以有9 7.5%的把握认为一级品与生产线有关.(2)4生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为g,|,记4生产线生产一件产品的利润为X,贝I X的取值为1 0 0,5 0,-2 0,其分布列为X1 0 05 0-2 0P153515B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为，|,20 5 4记B生产线生产一件产品的利润为y,贝什的取值为1 0 0,5 0,-2 0,其分布列为X10050-20P7202514 E(X)=100 x J+50 x 三 +(-20)x 工=46；E(Y)=100 x+50 x-+(-20)x 工=50.5 5 5 2 0 5 4故 4,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.。(X)=(100-46)2 x g+(50-46)2 x|+(-20-46)2 x|=1464；0(F)=(100-50)2 吗 +(50-50)2 x|+(-20-50)2 x i =2100.因为。(X)。(丫)，所以A生产线的利润更为稳定.解析：(1)列出2 x 2 列联表，利用独立性检验的知识可以直接判断；(2)分别计算出4 B生产线生产出一件产品的平均利润，比较大小即可，再分别求出4 B生产线生产出的产品的方差，进而确定哪条生产线生产的产品稳定.本题考查了统计与概率中的独立性检验与方差，数学期望，属于基础题.18.答案:解：(/)由条 件,得b c o s/=(2c+Q)COS(T T-B)=(2c+Q)COSB,由正弦定理，得sinBcosA=(2sinC+sinA)cosB,sinAcosB 4-cosAsinB=-2sinCcosB,即 sin(4+8)=-2sinCcosB.)v sin(/I+B)=sin(7r C)=sinC 0,B G(0,T T),3()由(/)知B=y,则SMBC=ja c s in y =W.得 QC=4.由余弦定理，得 庐=a2+c2-2clecosg=a2+c2 4-ac=(a 4-c)2 ac=(a+c)2 4.v b=4,(a+c)2=20,故a+c=2vs.解析：(/)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得sEC=-2sinC cosB,结合s出。0,可求cosB的值，结合B的范围即可得解8 的值.()由三角形面积公式可求ac的值，由余弦定理即可得解a+c的值.1 cosB=227r B=本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.19.答案：解：(1)证明：连接PG,BD,因为/P 4C 是等边三角形，G为4。边的中点，所以PG 14D.因为平面PAD J 平 面 4BC。，所以PG 1平面4B C D,所以PG 1 BG.因为四边形4BCD是菱形，所以48=40.又因为4B4D=60。，所以4ABe是等边三角形，所以BG_L4D.又因为PG n 4D=G,所以BG LPAD.(2)证明：因为AD J.PG,AD 1 BG,PGCBG=G,所以力。1平面BPG.又因为BP u 平面B P G,所以AD 1 PB.(3)解：存在点尸，且尸为PC的中点.证明如下：连接C G,交DE于M,连接FM,因为ZZV/BC且4D=B C,又E,G分别是BC,4。的中点，连接E G,所以CEDG且CE=CG,所以四边形CEGD是平行四边形，所以CM=MG.又因为CF=F P,所以MFPG.由(1)知PG 1平面ABCD,所以M F1平面4BCD.又M F u平面D E F,所以平面。EF 平面力BCD.解析：(1)连接PG,B D,推导出P G 1 4 D 从而PG _L 平面4BCD,PG，BG.由四边形4BCD是菱形，/.BAD=6 0 ,得BG 1 4D.由此能证明BG LPAD.(2)推导出4。1 PG,AD 1 B G,从而4。1平面BPG.由此能证明40 J.PB.(3)存在点F,且F为PC的中点，连接C G,交DE于M,连接FM,E G,推导出四边形CEGD是平行四边形，进而得到MF 1平面4BCD.由此推导出平面DEF _L 平面4BCD.本题考查线面垂直、线线垂直的证明，考查满足面面垂直的是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.答 案:解：(I)因过点P(2,2回 作 圆 42+y2=2百的切线,切点分别为A,B,故点。、4、P、B四点共圆，此圆的方程为(x I)2+(y V3)2=4,则直线4B的方程为x+V3y=百，又直线过椭圆的右焦点和上顶点，故C =b，b=l,则 a?=c2+b2-4,故所求椭圆方程为9+y 2 =L(I I)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为/+y2=5.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为%2+2 =2&0).y=kx+m,片+y 2 =得(轨2 +l)x2+8kmx+4 m2-4 =0,因为直线2与椭圆C有且仅有一个公共点.所以 1=(8 k m)2-4(4 1 +l)(4 m2-4)=0,即/=4 f c2+1.由方程组%得(1 +l)x2+2 kmx+m 2 /=0,则?=(2 km)2 4(/c2+l)(m2 r2)0.设P l(xy i)，2。2，丫2)，则X 1 +x2=1詈，X i .方2 =雷?，设直线0 P 1，。2的斜率分别为七，k2,r,2 也2一 户 _ _-2 km,一?所以 k k-%_(依 i+m)(，2+m)_ :2%1%2+攵 加(欠1+3 2)+加2 _ 氏=加-产-将 7 n2 _1 2 X1x2 X1x2 X1x2 吗m2-r24 k 2 +1代入上式，得 七 七=源 号，要使得的心为定值，则 千=告，即*=5,验证符合题意.所以当圆的方程为/+y2=5时，圆与评勺交点2,P 2满足k伙2为定值一%当直线I的斜率不存在时，由题意知/的方程为X =2,此时，圆/+y2=5与1的交点匕，2也满足卜也=一;.综上，当圆的方程为/+必=5时，圆与 的交点B，P2满足斜率之积七七为定值-也解析：(I)先求出直线4 B的方程，再根据直线4 B恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求出a,b然后求出椭圆的方程.(n)当直线/的斜率不存在时，验证直线o p。o p 2的斜率之积.当直线l的斜率存在时，设，的方程为y =k x +m与椭圆联立，利用直线 与椭圆C有且只有一个公共点，推出巾2 =4忆2 +1,通过直线与圆的方程的方程组，设匕0 1，%)，P2(x2,y2),结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推 出 的 为 定 值 即 可.本题考查直线方程、圆的方程，椭圆方程及直线与圆锥曲线的位置关系，命题意图是考查学生对基础知道的综合运用能力和分类讨论思想.2 1.答案：解：(1)函数/(x)=3 +?-/n x-:的导数为曲线y =/(x)在 点 处 的 切 线 斜 率 为 一 -a,由于切线垂直于直线y =；x,即有一3一 a =-2,解得a =4则f(X)=;+-|f =;+|-|=0,则在点(1,0)处的切线方程为y =-2(%-1),即为2 x +y -2 =0；(2)f(x)=3 +(一 x a (x 0),导数/(乃=L 白，=立 宇 =()%4 4x2 x 4x2 4x2由f (x)0,解得x 5；由/(%)0,解得0 x|2 3.答案：解：(I)/(X)=|2X-3|+|X+1|=(_X+4,_I WX|,故x?|,当一l x|时，-X +4 N3,x 1,故一1 W X W 1,(2)当 x-1时，3 x +2 2 3,x 故 x 1的解集为(-8,1 U+8);(I I )/(x)a2-a+1恒成立等价于f (x)1m a2-a +|,因为/(x)=|2 x -3|+|x +a|=|x -|+|x -1 1+|x +a|x -1 1+|x +a|(x +a)(x -3、,35)l =a +T等号成立条件是x =I，所以f (x)m i n =a +1，所以a +g 2 a?a +1，即，a2 2 a 0,B PO a 0,所以实数a的取值范围为(0,2.解析：(I)运用零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(n)/(x)a2-a +1恒成立等价于/(x)min a2-a +l，运用绝对值不等式的性质和绝对值的意义,可得/Q)的最小值，解a的不等式可得a的范围.本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题.