2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (四).pdf

2021年全国卷I高考理科数学模拟试题4学校:姓名：班级：考号：第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人 得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1.已知集合4=x|y =7 9 -/,B =x|x 2 a ,若4 nB=A,则实数a的取值范围是A.(一o o,3)B.(o o,-3 C.(co,0 D.3,+8)2.已知 z=2-i,则 z(z+i)=A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i3.函数f(x)=cos x,In(Vx2+l-x)的图象大致为4.已知集合 A=x|x-11 1,B x x(l)20，贝!|已 16=A.r|0 X l B.x 0 x W l C.x 0 x 2 D.x|l W x 0)的 一 条 渐 近 线 与 圆 叵)2=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是A.(1,V 3)B.(1,V 3 C.(1,2)D.(1,211.函数f(x)=4s i n(3x+0)。0,3 0,0 0 a恒成立，则 实 数 4 的 取 值 范 围 为.15.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.X3456y2.5t44.5根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y=0.7 产0.3 5,那么表中t的值为1 6 .已知抛物线y=2px(p0)的焦点为F,准线与x 轴的交点为Q,双曲线条-奈 1 (a 0,6 0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为0 P,。为坐标原点.若凡力为直角三为形,则该双曲线的离心率等于.评卷人得分三、解答题(共7 题，共 70分)1 7 .(本 题 1 2 分)在中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且左5,c o s 5|,(1)求 的 面 积 的 最 大 值；(2)若迎c s i n g=a s i n C 求 的 周 长.1 8 .(本 题 1 2 分)如图所示，四棱锥P-A BCD的底面A BCD是边长为1 的菱形，Z BCD=6 0 ,E是 CD的中点,PA _ L 底面A BCD,PA=2.(I )证明:平面PBE _ L 平面PA B;(H)求平面PA D和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.1 9.(本题1 2 分)垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物，由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取2 0 个镇进行分析,得到样本数据(X,y.)(2=1,2,2 0),其中*和 y,分别表示第20 20i个镇的人口(单位：万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨)，并计算得2 乂=8 0,2 y,=4i=l i=l20 20 20-0 0 0,2 (X-X)2=80,X (y,-y)2=8 0 0 0,(x-x)(y-y)=7 0 0.i=l i=l i=l(D 请用相关系数说明该组数据中y与 x 之间的线性相关程度；(2)求 y关于x的线性回归方程；(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价1 0 0 万元，乙款机器每台售价8 0 万元，下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表：1 年 2年 3年 4年 合 计甲款 5 2 0 1 5 1 0 5 0乙款 1 5 2 0 1 0 5 5 0根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为5 0 万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算？n参考公式:相关系数厂I,n n-S (行)2 E (y t-y-)2J i=i i=i对于一组具有线性相关关系的数据(X,y.)(7=1,2,n),其回归直线夕=G x +4 的斜率和截n xtyi-nxy距的最小二乘估计分别为B =与-，&=y-bx.xf-nx22 0 .(本 题 1 2 分)已知椭圆。+=1(2 6 0)的左焦点/?(-1,0),点 77(1,号 在。上,过尸的直 线，与 C 交于4 6两点.(1)求 C 的标准方程；(2)当行=2 万时,求直线1的方程；已 知 点 0(-4,0),证明：以点尸为圆心且与直线QA相切的圆必与直线/相切.2 1 .(本题1 2 分)已知函数f(x)=2 x-l n%+-,其中a 为实数.X 若 函 数 f(x)的图象在产1 处的切线平行于2 x+y T=0,求函数f(x)的单调递增区间；(2)设 g(x)=l+&若对任意的x e i 1 ,I f (x)/Wg(x)恒成立,求实数a的取值范围.X 4 2请考生在第2 2、23三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。2 2 .(本 题 1 0 分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线G的参数方程为卜=2中+tc o s a 为参数，。为倾斜角),(y ts in a以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 C的极坐标方程为p=4 s in 9.(1)求曲线&的直角坐标方程；(2)直 线 a 与曲线Q相交于区厂两个不同的点，点的极坐标为(2 g,),若2 EF =P E +P F,求直线&的普通方程.2 3 .(本 题 1 0 分)已知椭圆邑+=1 (a 6 0)的离心率为f,上顶点材到直线百户尸4=0 的a2 b2 2距离为3.(1)求椭圆C 的方程；设 直 线1过点(4,-2),且与椭圆C 相交于A,8两点，1不经过点心证明:直线场的斜率与直线，姐的斜率之和为定值.参考答案1.B【解析】无【备注】无2.C【解析】因为 z=2-i,所以 z(z+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i,故选 C.【备注】求解此类题需过好“双关”：一 是“运算关”，即熟练掌握复数的四则运算；二是“概念关”，本题明晰共朝复数的概念,即可顺利求解.3.B【解析】本题主要考查函数图象的识别,涉及函数的奇偶性、函数图象上的特殊点，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.通解 令 g(x)=cosx,/?(x)=ln(Vx2+1-x),则 g(-x)=cos x=gx),A(-x)=ln(Vx2+1+A)=1 n r2_=ln(Vx2+1-%)所以 fx)=g(.x)h(x)=-f(x),所以 f(x)=g(x)/?(x)=cos x T n(V以+i-王)是奇函数,排除 A、D;令 A=T,则 f(-l)=cos(-l)In(或+l)0,所以排除 C.故选 B.优解 令 A=T,则 f(-l)=cos(T)T n(V I+l)0;令 A=1,则/U)=cos 1 ,ln(V 2-l)0,所以排除A、C、D.故选B.【备注】无4.D【解析】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、集合的交运算，考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维.不等式g|1,即-1 3 1。,解 得0X2,所 以 左(0,2),解不等式x(六1)2 0,得 后0或x 2 1,所 以(-8,o U l,+8),所以 4 n 8 1,2),故选 D.【备注】无5.C【解析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查考生的化归与转化能力和运算求解能力.试题题干简洁,需要考生通过函数解析式判断函数的奇偶性、单调性,从而得到不等关系进行求解，侧重对数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.先求出函数A x)的定义域为3 反0,xWR,判 断 函 数/V)为偶函数,再证明F 3在(0,+8)上是增函数,最后运用单调性与奇偶性求出符合题意的x的取值范围.IgG+l)WO,.xWO,.函数/(X)的定义域为x|xW0,xGR.又/(-X)=e+e-I,L、=f(x)，,f(x)为偶函数.当(0,+8)时,令 g(x)=e，+e、,h(x)=-则lg(x2+l)lg(x2+l)g(*)=e-e”O,.”(x)在(0,+8)上是增函数.易知函数方(x)在(0,+8)上是增函数，在(0,+8)上是增函数.又/(%)为偶函数，f(2户1)(12户1),f(2)(|21),.由(|2x+1|x-2,f(2x+l)f(2)得,2x+l*0,得-3水 彳 或-水/故x的取值范围是(-3,-?U (-【备注】【技巧点拨】在求解较为复杂的函数问题时，要优先考虑利用函数的性质，如单调性、奇偶性等求解.本题中的函数为偶函数，运用偶函数的性质f(x)=F(|x|)可以避免分情况讨论.6.B【解析】由题意可知,填写的所有可能结果有如下3 2种:0 0 0 0 0,0 0 0 0 1,0 0 0 1 0,0 0 0 1 1,0 0 1 0 0,0 0 1 0 1,0 0 1 1 0,0 0 1 1 1,0 1 0 0 0,0 1 0 0 1,0 1 0 1 0,0 1 0 1 1,0 1 1 00,0 1 1 0 1,O H I O,0 1 1 1 1,1 0 0 0 0,1 0 0 0 1,1 0 0 1 0,1 0 0 1 1,1 0 1 0 0,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 0 1 1 1,1 1 0 0 0,1 1 0 0 1,1 1 0 1 0,1 1 0 1 1,1 1 1 0 0,1 1 1 0 1,1 1 1 1 0,1 1 1 1 1.其中满足题意的有 1 0种：i o i o i,i o n。，l o i n,i i o o i,l i o i o,n o n,i i i o o,i i i o i,l i n o,i m i.由古典概型的概率计算公式可得所求概率 Y=总 故 选B.3Z 16【备注】无7.A【解析】解法一 如 图 1,取 8 C 的中点F,连接A F,EF,:DE CB,A 斤C庐A O 2 g2,四边形侬7是平行四边形，勿。;二/4 跖或其补角为异面直线DC与4 月所成的角.在R S B E F中，易 知 於 1,又 止 3,:.E Z B E 2 +B F2=V 32+I2=V 1 0.易知胸 为边长为2 的等边三角形,且F 为 三 的 中点，；.4 片 存 证=V T .跖J_平面A B C,：.B ELA B,：.A B-y/A B2+B E2=V 22+32=g,.在/图 1 图 2解法二 取比 的中点F,连接A F,DF.：A B-B C=A(=2DE=2,DE/CB,：.四边形阳苏为平行四边形、：.DFB E.又 皿 平 面 A B C,：.B EVB C,B EVA F,：.DFVB C,DFLA F.易 知 为 等 边 三 角形,且F 为8c 的中点，.d a；：.FA,FB,如两两垂直，故可以C 为坐标原点,FA,FB,如所在直线分别为x,y,z 轴建立如图2 所示的空间直角坐标系,则/(冯,丝也,(0,1,3),0(0,-1,0),X0,0,3),故而二(0,1,3),=(-V 3,1,3),贝!|c o s(CD,濯 =熹 鲁=-=臂，CDAE V10XV13 13故选A.【备注】无8.C【解析】无【备注】无9.B【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查的核心素养是数学运算.通解 设数列 6 的公差为d由为二2,即 3 9可得卜+经 d=3 9 解得国=T，所以牛=4与出-1 4 X3=1 7,故选B.优解 设数列 即 的公差为d,则 5 -(a i+6)X6 3 (a 产加)=3 9,得 a 产 a 6=1 3,又的+阳公+软电3 2=2,所 以 a 5=l l,所 以 3 代a s 3=1 1-2=9,解得 卢3,所以的二。2 巧卢2 为X3=1 7,故选B.【备注】无1 0.B【解析】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求解,考查考生对基础知识的掌握情况.解题时要注意圆、双曲线的性质的运用.圆 x 0)的一条渐近线与圆/+。、门)2=1 至多有一个交点,不妨设渐近线方程为尸bx,所以圆心(0,V 3)到渐近线尸bx的 距 离 去 会 2 1,即W&2.所以,因为e l,所 以 K e W W.Vdz+1【备注】无1 1.D【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查的核心素养是数学运算、直观想象、逻辑推理.由题图可知4=2,图象过点(0,1),所以2 s i n。=1,即 s i n 又 0 0 能 即 骁?，所以空 芋，又 3 0,所以03?又图象6 2 12 6 6)6 5过 点 瑞 0),且点瑞,0)是“五点作图法”中的第三点，所 以 3X 患 奉 20r(M Z),则3 二孚+2(M Z),又 0 a知 3 ,(-2)l 3 A ,(-2),化简得乂 (-|)-|,当 为奇数时，4 (-|)-|恒成立，即 儿(|)-|恒成立，可得乂-|.(解题关键:对含有(T)形式的通项公式求最值时,需要对分奇偶进行讨论,结合函数的性质,得到数列的最值)综上可知,-|久尸（誓，等）.若/尸阶9 0 ,则 誓=p得2=4,于是该双曲线的离心率 W =J1+捻=V5;若/Q 用 9 0。，财 闱 2+|用 2=Q 同2,而 1 闱 2=（誓+产+（华）2 所写+舄|Q =p，于是（誓+/+（等）2+（誓+22=p,整理得6=1 6 a+1 6a262,所以偌）2-1 6 算6=0,所以容 8+4 通,于是该双曲线的离心率H =1 1+=V 9 +4 V 5 =V 5+2.综上,该双曲线的离a2a y j a2心率为近或近+2.【备注】【易错警示】本题是双曲线离心率的求解问题,解题时，考生容易忽视对直角的分类讨论而漏掉其中一种情况，因此解决这类问题时一定要考虑全面.1 7.解：（1）：c o s 号，.s i n ,（三角形中，已知角的余弦值,可确定其正弦值）由余弦定理l）=a+c -2ac c o s B,得 2 5=a 2+c 2 3 a c 2 2 a L|a c=a c,当且仅当行c 时取等号，.lac W号.（利用余弦定理得到边的关系，并用基本不等式求出ac 的最大值）4 0 1 125 4 25.5=-a c sin X X-=一,2 2 4 5 2故 的 面 积 的 最 大 值 为（2）由正弦定理得V s in C9 s in =s in A s in C,Vs in C O,.*.V2s in Y 二 s in J,即V c o s g=2s in c o s *（三角形中 4+班,根据条件，应用正弦定理、二 角公式，对已知等4 进行化备）V c o s -7 0,A s in -=,2 2 2.号.（由 s in ”号 可 得=君 以=卓舍去后者）.rj_4 b_ 25 s i n/三=一,3P 4 1,.2 5 3 IS c=a c o s B=X-=一,4 5 4.力比 的周长为 a+Z z -c=-+5+-=15.4 4【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、余弦定理与正弦定理、三角形面积公式以及基本不等式等知识,考查的学科素养是理性思维.第（1）问，先由角8 的余弦值求得角6 的正弦值,再利用余弦定理和基本不等式求出ac 的最大值，从 而 求 出 面 积 的 最 大 值;第（2）问，由诱导公式、正弦定理求得角4 再 由。的值及角6 的正弦值、余弦值,求得a 和c的值,从而求得/优的周长.【备注】无18.解法一（I ）如图所示,连结B D,由A B CD是菱形且N B CD=60知，A B C D 是等边三角形.因为E 是 C D 的中点，所以B E 1CD,又 A B CD,所以B E XA B.又因为P A J _ 平面A B CD,B E u 平面A B CD,所以P A _ L B E,而 P A A A B=A,因此B E _ L 平面P A B.又 B E u 平面P B E,所以平面P B E _ L 平面P A B.(H)延长A D、B E 相交于点F,连 结 P F,过点A作 A H L P B 于 H，由(I )知平面P B E _ L 平 面 P A B,所以 A I I _ L 平面 P B E.在 R t A A B F 中，因为N B A F=60,所以,A F=2A B=2=A P.在等腰R t A P A F 中，取 P F 的中点G,连结A G,则 A G 1P F.连结H G,由三垂线定理的逆定理得,P F J _ H G.所以N A G H 是平面P A D和平面P B E 所成二面角的平面角(锐角).在等腰 R t A P A F 中,A G=y P A=V2.在 R t A P A B 中,A H 一 丝丝了.一空PB/AP2+AB2 VS 52yS _所以，在 R t A A H G 中，s in A G H=s-1Q.AG v2 5故平面P A D和平面P B E 所成二面角(锐角)的大小是ar c s in?.解法二 如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系，贝叶目关各点的坐标分别是A(0,0,0),6(1,0,0),C(|,当 0),D(i*0),P(0,0,2),E(l,争 0).(I)因为丽=(0,当,0),平面P A B 的一个法向量是n0=(0,1,0),所以锯和n0共线,从而B E 1平面P A B.又因为B E u 平面P B E,故平面P B E _ L 平面P A B.(I I)易知丽=(1,0,-2),前=(0,理,0),方=(0,0,-2),而=(1,苧,设 n i=(x i,y i,z i)是平面P B E 的一个法向量,则由%丽=得n t-B E =0:,0).Xi+0 x y1-2z1=0,0 x X +亨 y i+0 x Z i=0.所以 y i=O,x i=2zb 故可取 n i=(2,0,1).设 n 2=(X2,Y 2,Z 2)是平面P A D的一个法向量,则由n2-P A =0,n2-A D=0得0 x x2+0 x y2-2z2=0,k1x2+yy2+0 X z2=0.所以Z 2=0,X2=-V3y2,故可取 n2=(V3,-1,0).于是，c o s%+3)/2+3)由%i=r y i-l,%2=-1,得 kQk后而2方 力 理+3 (力+=2*：?：x 6t=0,故热+危 尸0,3 1+4所 以 少 是/啰的平分线,故点尸到直线QA,您的距离相等,所以以点尸为圆心且与直线Q 1相切的圆必与直线仍相切.【解析】本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.【备注】无2 1.(1)由题意可得，函数f(x)的定义域为(0,+8),f，3=2二 唉由导数的几何意义可知，f (l)=2 Te-2,解得小3.所以/(x)=2上 弓=空 萨,令f，(x)0,得X：.X xz X2 2所以函数f(x)的单调递增区间为(|,一).(2)因为F (力=2二9,X X2所以当“百与时，厅(x)/g(x)恒成立,即/22w/wi n在白勺上恒成立，4 2x X 4 2即T 1乃在 3上恒成立，x x x2 x 4 2即-/一ax42x-x-a z x+ax 在-上恒成立，4 2即 丘 Wa W 生 在 已-1上恒成立，1+x 1-X 4 2即令学 皿 Wa W(-y-)m in,其中 ,.设/士=(1+/3(1+为+2 弋,令 口 +xG 区门,八 1+x 1+x 1+x 4 2 因 为 片 用 3在巳上先单调递减再单调递增，t 4 2且当 片|时，产 亮;当z=|时，片一 所以3 22 0设 g(x)=丝)2自七2士.3 (1 -x)/-5,令片 1 -xG 1,-,1-x 1-x 1-x 2 4因为尸3 0心节在百列上单调递减，m 2 4当 博 时,广 得,所 以a W卷综上可知，实数a的取值范围是 高,得.【解析】本题考查函数的单调性,导数的几何意义,不等式恒成立问题,考查转化与化归思想以及考生的计算能力.(1)先根据导数的几何意义求得a的值,再求函数fx)的单调递增区间；(2)先将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,再利用函数的性质求解即可.【备注】无2 2.解：(1)由题意得，曲线&的极坐标方程为o=4 s i n。，所 以P2=4 ps inX x y=P1,y=psi n 0,代入上式化简可得,x+y-4y=0,所以曲线&的直角坐标方程的+(尸2)2=4.(2)易得点尸的直角坐标为(-2 6,0),将 俨=也 遮+t c o s a代入曲线2的直角坐标方程,可得(y=ts naf2-(4 V 3 c o s a+4 s in a)?+1 2=0,z l =(4 V 3 c o s a+4 s in o,)i-4 8=8s in(a+)2-4 80,解得 s in(a+g)当 或 s in(a+)-y,不难知道a必为锐角，故 s in (叫)喙所 以 +?拳即 a 4设这个方程的两个实数根分别为力，包则t i+t 2=4 V 3 c o s a+4 s in a,乙 友=1 2,所 以 力与 友同号，由参数I的几何意义可得,|阕 +1 阴=M I +1 友 I =M+友 I =81 s in （。+扣,I 41 =I tr t21=J（t+以）2-4 1 2=4 J4 s in2（a+）-3,所以2 X 4两边平方化简可解得s in(a+=)=1,所 以。q+2 4 页，AS Z,因为0 a 0 求 出a的取值范围，求 出 力+协右包利用参数色 的几何意义得I阳+|1=8|si n(a求 出a的值,即可求出直线G的参数方程,最后求出直线G的普通方程.【备注】无fe =：=4，2 3.由题意可得(宙=；解得;物 以 椭 圆 C 的 方 程 为 各?Ll a2=b2+c2,易知直线1的斜率恒小于0,设直线1的方程为 产2 4(x M),4 0且 2 T,4(小，力)，8(x 2,、(y+2=/c(x-4),2 2联立得,x2 y2 得(1+4?)x T64(2 A+1)A+64 4(A+1)=0,-1-=1.V 16 4则X1+兹 二16(2+1)l+4k264k(fc+l),Xl&l+=4k2-因为 AIA+AIR-2+及 上 二X l X2(kxA-4k-4)x2+(kx2-4k-4)x1 _ 2kx1x2-(.k+4)(x1+x2)X 1X2-xtx2 所以册，+伽=2代(4代4)X生 吆=2A(代1)X喘空=2K(2-1)=T(为定值).xx2 64fc(k+l)【解析】无【备注】【解题策略】在圆锥曲线与直线、圆、向量等知识的综合问题中，求解有关定值问题时，往往需要灵活运用“设而不求”技巧，关键在于结合目标问题进行相关的代数运算，此外，要注意数形结合思想、分类与整合思想、等价转化思想等在解题中的灵活运用.