2021年山东省德州市高考数学二模试卷（解析版）.pdf

2021年山东省德州市高考数学二模试卷一、选择题(每小题5分).1.已知命题 p：V x 0,I n(x+1)0,则一 p 为()A.V x 0,I n(x+1)W O B.3x 0,I n(x+I)W OC.V x 0,I n(x+1)W O D.3x 0,I n(x+1)W O2.已知集合 A=x|-21-x l AE l=V 2 l AF l=V 6-则 菽 诲=（）9 7A.-9 B.工 C.-7 D.2 27.我国南北朝时期的著名数学家祖晒原提出了祖晒原理：“幕势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖晒原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与 半 球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何 体（如图），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由 此 可 证 明 新 几 何 体 与 半 球 体 积 相 等，即枭 球=兀R2.R_ 兀R2,R2,n R3现将椭圆x+丫=绕 轴旋转一周后得一橄榄N o o 4 9状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖眶原理可求得其体积等于（）8.己知定义在（-8,0）U （0,+8）上的奇函数/（天）在（-8,0）上单调递增，且满足/（-1）=-2,则关于x 的不等式/（x）0,|c p l ,若函数 丫=/（x）|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）B.函数f（x）的图象关于点（-尚兀，1）对称6C.将函数y=2 sir u+l的图象向左平移提兀个单位可得函数/（X）的图象0T TD.函数/（x）在区间-亏，0 上的值域为 心1,32 21 1.已知椭圆C：*+%=1（0/（5）B.若/（X）=小有两个不相等的实根汨、X 2,则即1 2 JZD.若 2*=3，x,y 均为正数，则 2x3y三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共 20分)13.若随机变量 X N(山。2),且 P(X 5)=P(X-1)=0.2,则 P(-1X 2)14.若“e z,且 3W W 6,则(x+-y)的 展 开 式 中 的 常 数 项 为.x15.已知三棱锥P-A 8 C 的四个顶点在球O 的球面上，PA=P B=P C,ABC是边长为2的正三角形，E,尸分 别 是PA,AB的中点，/C E 尸=90,则三棱锥P-AB C的体积为,球0的表面积为.216.已知尸 1,2 2 是双曲线V-三_=1 的两个焦点，是双曲线上任意一点，过尸2作/4平分线的垂线，垂足为M 则点N 到直线x+y-2&=0 的 距 离 的 取 值 范 围 是.四、解答题(本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)n?-n17 .在2S“+1=3；a g a“=-7 5;2S-3a+l=0.3 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知数列 斯 的前项和为5,若 0 =1,且满足，设数列:+邮+1).J的前n项和为T,求Tn,并证明T.TT18.在锐角三角形ABC中，角 4、B、C 的对边分别为小b,c,已知6cos2(+A)+cosA=5.(1)求 A；(2)若。=2,求分+/的取值范围.19.如图，在四棱锥P-A 3C。中，底面A8CD为矩形且AB=4,8 c=3,点尸在底面上的射影为E,P E=E C,且。E=l,M 为 A尸上的一点且AM：M P=1：3,过 E、M 做平面交 PB于点N,PC 于点尸且尸为PC 的中点.(1)证明：历E平面P8C；(2)求平面PA。与平面EMNF所成角的余弦值.2 0 .已知抛物线E：/=-2y,过抛物线上第四象限的点A作抛物线的切线，与 x轴交于点M.过“做 OA的垂线，交抛物线于&C两点，交。4于点D（1）求证：直线BC过定点：（2）若 元 元 2,求依 卜 以。|的最小值2 1 .2 0 2 0 年 1 月 1 5 日教育部制定出台了 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也 称“强基计划”），意见宣布：2 0 2 0 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到如表数据.请用相关系数说明该组数据中y与 x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于 x的线性回归方%=a+b-（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为!，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为机，;，4-其 中 根 据 规 定 每 名 考 生 只 能 报 考 强 基 计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时机的取值范围.参考公式：n _ _ xiyi-n x y线性相关系数厂=n-=-一般地，相关系数厂 的绝对值J(xi2-n x2)(5 2 yi2-n y2)V i=l i=l在 0.9 5 以 上(含 0.9 5)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.A A A对于一组数据(xi,yi),(X 2,丫 2),，(x”，其 回 归 直 线 方 程.的y-bx+an _ _.xiyi-n x y.斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=卫-，bn c a b 2 2 .,xi-n xi=l2 2.已知函数/(x)=xlnx+mx9且曲线(x)在 点(1,/(I)处的切线斜率为1.(1)求实数用的值；(2)设 g (x)=任 8_+炉-8 x(G R)在定义域内有两个不同的极值点M,及，求实X数。的取值范围；a l n xi(3)在(2)的条件下，令且 x i W l,总 有(L 2)(4+3 xi -xi2)0,I n(x+1)0,则为()A.I n(x+1)W O B.3 x 0,I n(x+1)W OC.V x 0,I n(x+1)0,则-为m%0,I n(x+1)W 0.故选：B.2 .已知集合A=|-2 V 1-xV 3 ,B=xeN x26xf 贝 lj(CRA)Q B=()A.(3,6 B.(2,6 C.3,4,5,6 D.4,5,6 解：V A=x|-2 x 0,/小|0,故/（X）2A/4X-1=2X+当且仅当尸0 时取等号，而当x f+8 时,4+1远远大于lnx,.当无一+8 时，2”RX.L_O,由此排除选项C.4X+1故选：A.6.在平行四边形ABC。中，已知质=/近，而=，元，lAEl=V2 lA Fl=V 6-则 菽 丽=（）9 7A.-9 B.-C.-7 D.-2 2解：设 AO=K,A B=yf Z A D C=ZA BF=a,由隹=4访 B F=4-F C 可得 OE=S BF=X,/O 0在中，AE=AD2+DE?-lADDEcosa,即有-2 x,yc osa=2,3 在A B F 中，AF，2=AB2+BF2-2 A B B F c osa,可得 9+工炉-2 y#xc osa=6,9 3-可得当2-叁=4,9-9化为/-r=假，则 菽 丽=（A B+A D）*（A D-A B）=由-菌=必-/=-1.故选：B.7.我国南北朝时期的著名数学家祖晒原提出了祖晒原理：“黑势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖晒原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与 半 球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何 体（如图），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由 此 可 证 明 新 几 何 体 与 半 球 体 积 相 等，即2 2为 球=7T R2 7T R2虫 等 兀R3-现将椭圆x-丫=1绕y轴旋转一周后得一橄榄N o o 4 9状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖地原理可求得其体积等于（）I图2图3A.32TT B.24IT C.18 n D.16 n解：构造一个底面半径为2,高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为“(0 W/?W3)时，小圆锥底面半径为r,则所以3 2 3故截面面积为4兀-春兀h2-92 2 2 2把 y=/2 代入椭圆q=l，即三j L _=i，4 9 4 9解得 x=*|V g-h2,所以橄榄球形几何体的截面面积为兀X2=4 兀 V兀h2，由祖胞原理可得橄榄球形几何体的体积为V=2(V图柱-V图椎)=2X(4兀 X 4兀 X 3)=16H.故选：D.8.已知定义在(-8,0)u (0,+8)上的奇函数/(x)在(-8,0)上单调递增，且满足/(-1)=-2,则关于x的不等式/(x)2+s im tx 的解集为()XA.(-8,-1)U (1,+oo)B.(-1,0)U (1,+8)C.(-8,-1)U (0,1)D.(-1,0)U (0,1)解：根据题意，设 g(X)=f(x)-2,Xg(X)的定义域为 M x WO ,有 g (7)=/(-X)-=-f(-V)-=-g(X),-x X则 g(X)为奇函数,若 f(-l)=-2,则 g(-l)=/(-1)+2=0,则有 g(1)=-g(-1)=0；又由函数/(x)在(-8,0)上单调递增，函数y=2在 区 间(-8,0)上单调递减,x则函数g (x)=/(x)-2在(一 8,0)上单调递增，x又由g (x)为增函数，则 g (x)在 区 间(0,+8)上单调递增，综合可得：g(x)的大致图象和y=s inT L T 的图象，f(x)-+s initr=i/(x)-g (x)l,X X即不等式的解集为（-8,-1）U （0,1）；故选：C.二、多 选 题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得。分，部分选对的得3 分）9.已 知 复 数 窈=/丁（i为虚数单位），下列说法正确的是（）-1+1A.z i对应的点在第三象限B.z i的虚部为-1C.z i4=4D.满足团=如的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上解：复 数 幻=必-1+12(l+i)(1-i)(1+i)2(l+i)12+12 A.z i对应的点（-1,-1）在第三象限，正确;氏 z i的虚部为-1,正确;C.（Z ）4=（-）4=）2=-%因此不正确；D.|z i|=&,满足|z|=%|的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为正的圆上，因此不正确.故选：A B.J T1 0 .己知函数/（x）=Ac os （x+（p）+1 （A 0,|（p|）,若函数 y=|/（k）|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（)yjrA.函数f （冗）的图象关于直线元=二 对称6RB.函数f 的图象关于点（-尚兀，1）对称0C.将函数y=2 s iiu+l的图象向左平移吊几个单位可得函数/的图象6TTD.函数/（x）在区间-亍，0 上的值域为 后1,3 解：根据函数的图象：A=2,1IT当 x=0 时，满足/（0）=2,即 c os（p=5，由于IT所以 /(5)B.若/(x)有两个不相等的实根XI、X2，则D.若2 =3八X,y均为正数，则2 x 3 y解：=,X对于A,/(2)-/(5)=整ln5 _ 5 1n2-21n5 _ I n32-ln25 u，5 10 101-lnx对于 B,f(x)=2，当(，e)时，f(X)。，当”,x故A正确；+8)时，f(x)0,.当x=e时，/(x)取得极大值/(e)=1,作图如下:ln x i ln x9 1则-=-=me(0,),若九 2 /,则/XI+/X2 0,f （x）在（0,e）上单调递增，(&)/(),即 邺 复:阴1V2 V e即q ln 2 1,y_ lgtlg2-lg3.“_21gt 31gt _lgt(lg9-lg8)z入 Jy -u,lg2 lg3 Ig2-lg3：.2 x 3 y,故。正确；故选：AD.三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共 20分)13.若随机变量 X N(山。2),且 P(X 5)=P(XV-1)=0.2,贝(-1VXV2)解：.随机变量 X N（n，。2）,且 尸（X 5）=P（X-1）=0.2,可 得 四=号=2,正态分布曲线的图象关于直线x=2 对称.：.P（-1X 2）=0.5-0.2=03,故答案为：0 314.若 e Z,且 3W W 6,则（x+1T）的展开式中的常数项为4.解：；（x+2）”的展开式中的通项力句=，：114rWII令-4r=0,则 r=e N,又6 Z,且 3W W6,A n=4,r=l,二则（X+JT）4的展开式中的常数项为T 2=c 8 0 =4,X故答案为：4.15.已知三棱锥P-A 8 C 的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形，E,尸分别是PA,A 8的中点，/C E F=90,则三棱锥P-A B C 的体积为噂球。的表面积为_五兀3解：如图，由尸A=PB=PC,ZVIB C是边长为2的正三角形，可知三棱锥P-A B C为正三棱锥，则顶点P在底面的射影。为底面三角形的中心，连接8。并延长，交A C于G,则 AC _LB G,又 PO J_AC,P O Q B G=O,可得 AC _L平面 P 8 G,则尸B J_AC,；E,尸分别是P4,A 8的中点，/P8,又/。：F=9 0 ,B P EFVCE,：.PBrCE,又 AC C C E=C,AC、C Eu平面 PAC,平面 PAC,二正三棱锥P-A B C的三条侧棱两两互相垂直，则P A=P B=P C=版,则三棱锥P-A 8 c的体积为工X-X M X-2 X亚”3 2 3把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径，2R=J p A 2 +p B 2 +P C 2二 氓，则球。的 体 积 为 V =白 兀 屋 兀X （乎）3-存 冗.0 021 6.已知品，乃 是 双 曲 线 产-三-=1的两个焦点，是双曲线上任意一点，过B作4平分线的垂线，垂足为M则点N到直线x+v-2、万=0的距离的取值范围是 1,3 .解：设P为双曲线的下支上一点，延长EN与尸B交于M,连接ON,由 M F 2，P M 且 N 为中点，|P M|=|P B I，可得|M F i|=|P F i|-|P M=|P Q|-|P F 2|=2 a=2,所以|C W|=4|M F i|=l,则N的轨迹方程为圆/+y 2=i,由O到直线x+y -2&=0的距离d=2,可得N到直线x+y-2圾=0的距离的取值范围是 2-1,2+1 ,即 1,3 .故答案为：1,3 J.四、解 答 题（本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21 7.在2S“+1=3：Q ；2S”-3%+1=0.3 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知数列 4“的前项和为S.,若 m=l,且 满 足 一，设数歹!一 +,-an（n+l）-l og3an+1的前项和为Tn,求T,并证明T-|.解：选2S”+1=3：当时，2s.|+1=3一|,又 2S”+1=3,两式相减可得 2a“=2 S _ 2s“i=3-3-1=237,即如=37,又 41=1,满足上式，可得 a”=3-i,吒N*；-L+-i _ L_,1 _(工)n l|l 1an(n+l)l og3an+1 3n-1(n+l)n 3 n n+1T=1 -0-工，所以2 3n 1 n+l 22选。1。2-9-;3 2当时，042M L sf a _ )-8-),2两式相除可得由=3星%-电 Z1吐 鱼 虫=3一2 2当=1 时，ai=l 满足上式，所以 为=3一|,吒N*；-7；-=-+-(二)“一1+3an(n+l)-l og3an+1 3n-1(n+l)n 3 n n+1Tn=1+-+-+J7+(1-+-X-.+-)3 9 3n-1 2 2 3 n n+1证明：x-0,2 3n 1工0,所以 1.n+1 2选2S“-3a“+l=0.当“2 2 时，2S“T-3%一|+1=0,又 2S“-3%+1=0,两式相减可得2Sn-2s“i-3m+3%一 i=0,化为 a=3 a-i,an又=1,所以如W 0,所以-=3,an-l即 小 是 以 1 为首项，3 为公比的等比数列,故-卜 =-卜 =(xan(n+1)l og3 a.I 3n-1(n+l)n 耳白-n n+17 n=1 -o,0,所以2 3n 1 n+1 21 8.在锐角三角形ABC中，角 A、B、C 的对边分别为“，b,c,已知6cos2(-+A)+cos4=5(1)求 A；(2)若。=2,求 +/的取值范围.TT解：(1)因为 6 c os2 (+A)+c osA=5,所以 6 si n2A+c osA =5,整理可得 6 c os2 A -c osA -1 =0,解得 c osA =工，或-工,2 3兀又 A c (0,),21 兀所以c osA=,可得 A=.2 3(2)由 正 弦 定 理 可 得=b=F=/=芈si nA si no s m C 3里 短 nC,3可得 b=Wsi nB，c=3可得/,2+=1 6 si n2g+1 6 si n2C=1 6.(1-COS2B+1-CQS2C)=至-l(C OS2 B+c os2 C),3 3 3 2 2 3 3因为A=?,可得2。=粤-2 8,3 3所以加+,2=学.当 c os2 B+c os(9 三-2 B)=学-g(c os2 B -工 os2 B -返 si n2 B)3 3 3 3 3 2 21 6 8/1 rn M 1 6 8 O d 兀、3 3 2 2 3 3 30 B20 等-B 33 2又4，可得下-B =-6.肾 飞6J】55由观察知二面角为锐角，.面P A Q与面E M N F所成角的余弦值为殳画.552 0.已知抛物线E：f=-2 y,过抛物线上第四象限的点A作抛物线的切线，与x轴交于点M.过M做O A的垂线，交抛物线于8、C两点，交0 4于点D（1）求证：直线B C过定点；（2）若 而,元N 2,求H ）卜 依。|的最小值.解：（1）证明：因 为 好=-2 y即y=-去2,所 以y =-x,设A ，-2产）（f0）,W J AM的斜率为-2f,所以AM的方程为），+2产=-2 r（x-2 r）,即y=-2 a+2尸，所以M（f,0）,又O A的 斜 率 为 二 空=-f,2t所以8 C的斜率为工，B C的方程为y -0=-（x 7）t t,即 为 产gx-1,所以直线3 C恒过定点（0,-1）；x2=-2y（2）联立方程（1，可得+2%-2=0,y=_ x-l tt、2设 B（X,y）,C （%2 2）,则 1+X 2=-1，XX2=-2,则 元 元=（为-1）（X 2-/，）=（X -t）（X 2 -/）+J 1J 2X1X2-t（X 1+X 2）+（X 1X 2）2=-2+2+产+1=1+产 2 2,4所以|y 2 t+2 t2-l|又H 9=I 12 t2+1V l+t2 3h4 O|=7（2 t）2+（2 t2）2=2Z7 1+t2,2所以|AC|依0|=jt+：r2 广1+t2=（2产+5）2-g2 4因为2产 2 2,所以当2产=2,即t=l时，|AD|AO|取得最小值6.21.2020年 1 月 15日教育部制定出台了 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见(也 称“强基计划”)，意见宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.(1)为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5 名高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得到如表数据.X6891012y23456请用相关系数说明该组数据中y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于 x 的线性回归方程=+ux.y a b(2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为m，y,4-其 中。m 0.95,所以y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,计算b194-5X9X4j,425-5X81一=V-,x=4-0.7X9=-2.3,a y bA所以y关于x的线性回归方程为丫=-2.3+0.7x.（2）通过甲所大学的考试科目数X8（3,当，则E（X）=35y2_65 5设通过乙所大学的考试科目数为匕则丫的可能取值为0,1,2,3；计算p（y=o）1 2、=(1-/72)(1-)(1)=43(1 -A M),4P(Y=1)=m1 9 1 2(1-)(1-)+(1-/H)(1-)+(143431 9-/w)(1-)4 37-1m,12 3p（y=2）=？(1-)+/?/,(1-)434f(1 -7 7 2)41 23 6 12tn,P(y=3)=?一1 一2=-1m,4 3 6所以 E(K)=0+(-/?)+2(+-/n)+3,7 7/=；12 3 6 12 6 12因为该考生更希望通过乙大学笔试考试，所以E(y)E (X),即与小旦，解得机 工，12 5 60又 O V/n V l,所以即，的取值范围是(H 1).60 602 2.已知函数f (x)=xlnx+mx,且曲线y=f(x)在 点(1,/(1)处的切线斜率为1.(1)求实数机的值；(2)设 g(x)-8x(“R)在定义域内有两个不同的极值点X”及，求实X数 的取值范围；alnx 1(3)在(2)的条件下，令 X1VX2且为2 1,总 有(-2)(4+3XI-x i2)0,x=20,u(0)=a 0,解得 0 8,因此 a 的取值范围是(0,8).(3)由(2)可知：X+X2=4,工的=当，0 xiX,解得 0Vxi 2,a=2xX2=2x(4-x i),alnxi 2xi(4-x i)lnx i(r-2)(4+3xi-x i2)-L成 立,即(z-2)(4+3xi-x i2)-1-X j 1-x j成立，2xi lnx i即(f-2)(XI+1)0 成立,1-xl x.Xi Xi由 O V x i V l,0；由 1 汨 2,0.-X lX2令 h(x)=2/n x+(t-2)(x -1),(o x 2).Xh(x)=2)p+#(t-2).,(0 x 0,函数/?(x)在(0,2)上单调递增，且(1)=0./.xe(1,2)时，h(x)0,不符合题意，舍去.fV2 时，令 p(x)=(/-2)+2x+t-2,A=4-4 (f-2)2.(i)当A W。时，即fWl时，h(x)WO,.函数(x)在(0,2)上单调递减，且(1)=0.可得：由0 0；由 1 cx 2,h(x)()时，即11,且p(1)=2-2 0,令 必=就，2,则(1,xo)时，p(x)0,即(x)0,二函数力(x)2-t在(1,xo)上单调递增，且力(1)=0,二 (x)0,不符合题意.综上：/W1.