2021年山东省东营市中考数学试卷（解析版）.pdf

2021年山东省东营市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共i o小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.1.（3分）（2 0 2 1 东营）1 6 的算术平方根为（）A.4 B.4 C.-4 D.8【分析】依据算术平方根的性质求解即可.【解答】解：1 6 的算术平方根为4.故选：B.【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.2.（3分）（2 0 2 1 东营）下列运算结果正确的是（）A.x2+x3=jc5 B.（,-a-h）2=a2+2ah+h2C.（3 4）2=6*6 D.7 2+7 3=7 5【分析】根据合并同类项法则可判断选项A;根据完全平方公式可判断选项B；根据积的乘方与累的乘方运算法则计算可判断选项C；根据二次根式的加法法则计算可判断选项D.【解答】解：A、/与/不能合并，所以A选项错误；B、（-a-b）-（a+b）产=（。+匕）2a2+2ab+b1,所以 8 选项正确；C、（3 F）2 =9*6,所以C选项错误；D、加 与“不能合并，所以。选项错误故 选:B.【点评】此题考查的是合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与累的乘方、二次根式的加法运算，掌握其运算法则是解决此题关键.3.（3 分）（2 0 2 1 东营）如图，AB/CD,E F L C D 于点 F,若N B E F=1 50 ,则N 4 8 E=)A,BF DA.30 B.40 C.50 D.60【分析】过 点 E 作 G E/A B,利用平行线的性质得到NGEF+NEFD=180。，由垂直的定义NEFD=90,进而得出N G M=90,根据角的和差得到N3EG=60,再根据平行线的性质求解即可.J.GE/CD,：.ZGEF+ZEFD=S00,EF_LCD,：.ZE FD=90,A Z G E F=180-ZEFD=90,/ZB E F=N BEG+N GEF=150。,:/B E G=/B E F-/GEF=60,:GE/AB,A ZA B E=ZB E G=60,故选：D.【点评】本题考查了平行线的性质.熟记平行线的性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键.4.（3 分）（2021东营）某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（）元.A.240B.180C.160D.144【分析】打八折是指优惠后的价格是原价的8 0%,再打六折是指实际花的钱是八折后价格的6 0%,根据这些条件列出方程即可.【解答】解：设小明持会员卡购买这个电动汽车需要花x 元，根据题意得：300X80%X60%=x,解得x=144故选：D.【点评】本题考查有关百分数的一元一次方程的应用，解题的关键是理解打折的含义.5.（3 分）（2021 东营）如图，在4BC 中，ZC=90,NB=42,B C=8,若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A.S E H H HB.H E 恒 H H Hc.S 1 3 H 0 HD.H S H H 0 E【分析】根据正切函数的定义，可得ta n/B=2 2,根据计算器的应用，可得答案.B C【解答】解：在AABC中，因为NC=90,所以B C因为N 8=42,8 c=8,所以 4 c=8 C tanB=8Xtan42.故选：D.【点评】本题考查了计算器.能够正确利用锐角三角函数进行计算，熟练运用计算器是解题的关键.6.（3 分）（2021东营）经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（）A.2 B.A c.A D.$9 3 9 9【分析】画树状图，共 有 9 种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，再由概率公式求解即可.共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2 种,恰好有一车直行，另一车左拐的概率=2,9故选：A.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.7.（3分）（2 0 2 1 东营）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（）俯视图A.2 1 4 B.2 1 5 C.2 1 6 D.2 1 7【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3,高为4,得出母线长为5,再根据扇形的弧长公式可得答案.【解答】解：由三视图可知，该几何体为圆锥；由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3,高为4,则母线长为1 3 2 +4 2=5,所以则该儿何体的侧面展开图圆心角的度数为i r X 6+（n X 5 X 2）X 3 600=2 1 6.故选：C.【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长计算.8.（3 分）（2021东营）一次函数y=ox+6（a#0）与二次函数），=0%2+历次。（/0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y 轴的关系即可得出“、人的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论.【解答】解：A、.二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，.,.a0,b0,h0,一次函数图象应该过第一、二、四象限，8 不可能；C、.二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，b0,一次函数图象应该过第二、三、四象限，C 可能；二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，.,.a0,b0,一次函数图象应该过第二、三、四象限，。不可能.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据4、b 的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键.9.（3 分）（2021东营）如图，ABC中，A、B 两个顶点在x 轴的上方，点 C 的坐标是（1,0）,以点C 为位似中心，在无轴的下方作ABC的位似图形A 8 C,并把ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是“，则点B的对应点 的横坐标是（）【分析】设点8,的横坐标为x,根据数轴表示出8 C、B C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可.【解答】解：设点B的横坐标为x,则 8、C间的水平距离为a-1,B、C间的水平距离为-x+1,A B C 放大到原来的2 倍得到/!B1 C,.,.2（a-1）=-x+1,解得：x=-2 a+3,故选：A.【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.1 0.（3分）（2 0 2 1 东营）如图，ZX A B C 是边长为1 的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且N O 8 E=3 0 ,过点。、E分别作A B、8c 的平行线相交于点尸，分别交B C、AB于点H、G.现有以下结论：SAABC=返；当点。与点C重合时，F H=2；A E+C D4 2=M D E；当4 E=C。时，四边形B H F G 为菱形，其中正确结论为（）C.D.【分析】利用三角形的面积公式计算即可:依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出即可；将C 8。绕 点B逆时针旋转6 0 ,得到由“S A S”可证丝 NB E,可得 D E=N E,在 R t a P N E 中，利用勾股定理可得A E,CD,O E的关系，可判断；先证A G E,/D C H都是等边三角形，可 得A G=A E=C H=C D,利用菱形的判定定理判定即可.【解答】解：过点A作 AP LBC于点尸，如 图 1：A B C 是边长为1 的等边三角形，AP1BC,.8P=4C=L2 2 M P=、A B 2 _ B p2 冬,SAABC-|BC x A P=/X 1 X 孚乎 故正确；当点。与点C重合时，H,D,C三点重合，如图2：；NO8 E=3 0 ,N A B C=6 0 ,是/ABC的平分线，：AB=BC,:.AE=EC=1AC1,2 2JCF/AB,.,.ZFCA=ZA=60,JGF/BC,：.AFE C AACB=60,:.NFCE=NFEC=60,:.NFCE=NFEC=NF=60,.EFC为等边三角形,：.F C=E C=,2即FH=L.故正确；2如图3,将CB。绕点B 逆时针旋转60,得到A 8N,连接N E,过点N 作 NPLAC,交 CA的延长线于P,图3:.BD=BN,CD=AN,NBAN=NC=60,NCBD=NABN,；/DBE=3Q,ZCBD+ZABE=30=NABE+NABN=/EBN,:.NEBN=NDBE=30,又,：BD=BN,BE=BE,:./D BE安/XNBE(SAS),：.DE=NE,；/W 4P=180-ABAC-ZNAB60,：.AP=AN,N P=yfP=JA N=C D,2 2 2,：NP2+PE1=NE1,：.3-CD2+(AE+LCD)2=DE2,42A AE+CDAE-CD=DE1,故错误；,/Z i A B C 是等边三角形，.,./A=NA B C=NC=6 0 ,.G F/BH,BG/H F,四边形B H F G是平行四边形，：G F/BH,BG/H F,：.Z A G E=ZABC=60 ,Z D HC=ZABC=60,：.A A G E,O C H 都是等边三角形，：.AG=AE,C H=C D,：AE=CD,：.AG=CH,：.BH=BG,是菱形，故正确，故选：B.【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形，找出A E,CD,O E的关系是解题的关键.二、填空题：本大题共8小题，其 中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分.只要求填写最后结果.1 1.（3 分）（2 0 2 1 东营）2 0 2 1 年 5 月 1 1 日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数据增加了 7 2 0 6 万 人.7 2 0 6 万用科学记数法表示 7.2 0 6 X 1（）7 .【分析】科学记数法的表示形式为“X 1 0”的形式，其中为整 数.确 定n的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值2 1 0 时，是正整数.【解答】解：7 2 0 6 万=7 2 0 6 0 0 0 0=7.2 0 6 义 I O，故答案 为:7.2 0 6 X 1 07.【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X 1 0”的形式，其 中 1 W 间1 0,为整数，表示时关键要正确确定。的值以 及 的值.1 2.（3 分）（2 0 2 1 东营）因式分解：4 a2-4ab+b=b C 2 a-）2.【分析】原式提取江再利用完全平方公式分解即可.【解答】解：原 式=匕（4。2-4。+1）b(2a-1)2.故答案为：b(2 a-1)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.1 3.(3分)(2021 东营)如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图，该小组年龄最小为11岁，最大为15岁，根据统计图所提供的数据，该小组组员年龄的中位数为 13 岁.【分析】将该小组年龄按照从小到大顺序排列，找出中位数即可.【解答】解：根据题意排列得：11,II,12,12,12,13,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,则该小组组员年龄的中位数为2 X (13+13)=13(岁)，2故答案为：13.【点评】此题考查了条形统计图，以及中位数，弄清中位数的计算方法是解本题的关键.2xT _5x+l(14.(3分)(2021东营)不 等 式 组 厂的解集为.5xT3(x+l)【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解.【解答】解：解不等式次得：3 2解不等式 5x-13(x+1),得：x 2,则不等式组的解集为-1 2,故答案为：-【点评】本题主要考查了 一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.1 5.（4分）（2 0 2 1 东营）如图，在Q A 8 C Z）中，E为 BC的中点，以 E为圆心，B E长为半径画弧交对角线AC于点F,若N 8 A C=60 ,N A 8 C=1 0 0 ,8 c=4,则扇形B E F 的面积为经【分析】根据三角形内角和定理求出/A C B,根据三角形的外角的性质求出/B E F,根据扇形面积公式计算.【解答】解：；N B A C=60 ,N A 3 C=1 0 0 ,A Z A C B=2 0 ,又为BC的中点，:.BE=EC=LBC=2,2,:BE=EF,：.EF=EC=2,A C S=2 0 ,A Z B E F=4 0 ,扇形BEF的面积=40兀X 22=旦,360 9故答案为：”.9【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.1 6.（4分）（2 0 2 1 东营）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了 9 0 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 2 5%,结果提前3 0 天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则所列方 程 为 强-9=3 0 .x（1+25%）x【分析】设原计划每天绿化的面积为X万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+2 5%）x万平方米，根据工作时间=工 作总量+工作效率，结合实际比原计划提前3 0 天完成了任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解.【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+2 5%）x 万平方米，依题意得：毁-90_=3 0.x（1+25%）x故答案为：毁-以 一=3 0.x（1+25%）x【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.1 7.（4 分）（2 0 2 1 东营）如图，正方形纸片4 8 c o 的边长为1 2,点尸是4。上一点，将4C O 尸沿C 尸折叠，点 O 落在点G处，连 接 O G并延长交A B于点E.若 A E=5,则 G E的长为空.一 13一【分析】由“AS A”可证 AC E 丝 O C F,可 得AE=D F=5,由锐角三角函数可求DO的长，即可求解.【解答】解：设 CF与。E交于点O,:将 尸沿C 尸折叠，点。落在点G处,:GO=DO,CF1.DG,;四 边 形 4 8 c o 是正方形，：.AD=CD,ZA=ZADC=90Q=NFOD,：.ZCFD+ZFCD=90=ZCFD+ZADE,：.NADE=/FCD,在4/）：和OCF 中，Z A=Z A D CCF是解题的关键.18.（4分）（2021东营）如图，正方形ABCBi中，AB与直线/所夹锐角为60,延 长C B交直线/于点4,作正方形4 8ICIB 2,延 长。8 2交直线/于点A 2,作正方形A 2 5 2 c2&,延长C1 B3交直线/于点A 3,作正方形A 3 3 3 c 3&，依此规律，则线段A2020A2021=2 X （国 2 0 2 0.3【分析】根据题意可知图中斜边在直线/上的直角三角形都是含30度角的直角三角形,根据其性质得出三边的长度，以此类推可找到规律：4 B尸（1）1,A/A”=2 A 祖_3=2 X （返）,r l.3【解答】解：根据题意可知A 8 i=A 8=,Z B iA4）=9 0 -6 0 =3 0 ,A t an Z B iA4i=B l=y_3_,AB i3：.AB=ABX =V 3X =1,AA=2AB=2,3 3返3A 2&=A 1 B 2 XA3B3A2B3X近3近3.=4 8 1乂 返=返，AIA2=2A2B2=2X3 3 _ _,=42历 乂 返=返 乂 返=（3）2,A2A3=2A3B3=2XAA2021B202I=A2020B2021 X 瓜=（区）2 0 2 0.A2020A202l 2A202iB202l 2 X（区）2,3（退_）2020 F _ L A 8 于点 F,连接 OF,且 A F=1.(1)求证：。尸是。的切线；(2)求线段OF的长度.【分析】(1)连接。，根据等边三角形及圆性质求出O O A 8,再由。F L A B,推出求出。，。尸，根据切线的判定推出即可；(2)由NA=60,ODA.DF,AF=1可求得A。，AF,AB的长度，再根据中位线性质求出0。的长度，根据勾股定理即可求得。尸的长.【解答】(I)证明：连接A8C是等边三角形，：.ZC=NA=60。，OC=OD,.OC。是等边三角形，：.ZCDOZA=60,：.OD/AB,JDFVAB,；.NFDO=NAFD=90,J.ODLDF,尸是。的切线；(2)解：JOD/AB,OC=OB,。是48C的中位线，；NAFD=90,N4=60,A Z/4DF=30,VAF=1：.CD=OD=AD=2AF=2,由勾股定理得：D?=3,在 RtAODF 中，OF=/OD2+DF2=722+3=V7二线段。尸的长为丁？【点评】本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐 角30”所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的关键.2 2.（8分）（2 0 2 1 东营）“杂交水稻之父”-袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量7 00公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1 008 公斤的目标.（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按 照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 2 00公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现.【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x,根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量 X （1+增长率）2,即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量X （1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1 2 00公斤比较后即可得出结论.【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为X,依题意得：7 00（1+x）2=1 008,解得：xi=0.2=2 0%,X 2=-2.2 （不合题意，舍去）.答：亩产量的平均增长率为2 0%.（2）1 008 X （1+2 0%）=1 2 09.6 （公斤）.V I 2 09.6 1 2 00,他们的目标能实现.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.2 3.（8分）（2 02 1 东营）如图所示，直线）=Z i x+6 与 双 曲 线 丫=交 于 A、B两 点,已知X点 2的纵坐标为-3,直线AB与 x 轴交于点C,与 y 轴交于点0（0,-2）,OA =依，tanZAOC=.2（1）求直线4B的解析式；（2）若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点，OC P的面积是 O D B 的面积的2倍，求点尸的坐标；（3）直接写出不等式hx+8 W”的解集.【分析】(1)过点A作轴于E,根据锐角三角函数和勾股定理求出点A (-2,1),进而求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；(2)连 接OB,PO,P C,先求出0 D,进而求出SA0OB=2,进而得出SAO C P=,再3 3求出0C=名，设点尸的纵坐标为，再用必好户=且，求出点P的纵坐标，即可得出结3 3论；(3)直接利用图象即可得出结论.【解答】解：(1)如 图 1,过点A作AE x轴于E,：.Z A E O=9 0Q,在 RtzAOE 中，tanZ40C=M=A,0E 2设 AE=m,则 0E=2H,根据勾股定理得，AE1+OE1=O A2,.,.nr+(2?i)2=(泥)2,=1 或 m-1 (舍)，：0E=2,A E=9：.A(-2,1),.点A在双曲线)，=”上，X：.k2=-2 X 1=-2,二双曲线的解析式为y=-2,X 点8在双曲线上，且纵坐标为-3,:.-3=-,x 23：.B(2,-3),3-2k+b=l将点 4(-2,1),B(2,-3)代入直线 y=Aix+6 中得，1 o3-oz-k1+b=-3b=-2/.直线A B的解析式为y=-当-2；2(2)如图 2,连接 08,PO,P C；由(1)知，直线AB的解析式为y=-当-2,2：.D(0,-2),：.0D=2,由(1)知，B(2,-3),3SODB=0 D ,X B=A X 2 X 2=2,2 2 3 3V A O C P的面积是OQB的面积的2 倍，SGOCP=2S4ODE=2X2=2，3 3由(1)知，直线AB的解析式为)，=-m-2,2令 y=0,则-m-2=0,2.X=-,33设点P的纵坐标为n,.SJocp=OC*yp=X n=,2 2 3 3 =2,由(1)知，双曲线的解析式为y=-2,.点P 在双曲线上,：.2=-2,X-1,：.P(-1,2)；(3)由(1)知，A (-2,1),B(2,-3),3【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法,坐标系中求三角形面积的方法，求出点A的坐标是解本题的关键.2 4.(1 0分)(2 02 1东营)如 图，抛物线y=-工2+f o v+c与x轴交于A、8两点，与y轴交2于点C,直线y=-L+2过8、C两点，连接A C.2(1)求抛物线的解析式；(2)求证：A OC s/A C 8；(3)点M(3,2)是抛物线上的一点，点O为抛物线上位于直线B C上方的一点，过点D作轴交直线B C于点E,点、尸为抛物线对称轴上一动点，当线段D E的长度最大时，求PC+PM的最小值.【分析】(1)直线y=+2过8、C两点，可求B、C两点坐标，把B (4,0),C(0,22)分别代入y=-L f+b x+c,可得解析式.2(2)抛物线y=-工2+当+2与x轴交于点4,即y=0,可得点A的横坐标，由相似三2 2角形的判定得：X A O C s X A C B.(3)设 点。的坐标为(x,-_ k r2+Wr+2),则 点E的坐标为(x,-l x+2),由坐标得2 2 2D E=-l +2 x,当x=2时，线段。E的长度最大，此时，点。的坐 标 为(2,3),即点2C和点M关于对称轴对称，连 接C 交对称轴于点尸，此 时P Z H P M最小，连 接C M交直线D E 于点F,则/。f C=9 0 ,由勾股定理得C D=A 根据P D+P M=P C+P D=C D,即可求解.【解答】解：(1)I直线y=-L+2过8、C两点，2当 x=0 时，代入 y=-1+2,得 y=2,即 C(0,2),2当y=0时，代入y=-1+2,得x=4,即8 (4,0),2把 8 (4,0),C(0,2)分别代入=-l+bx+c,2得1 8+4b+c=0,I c=2解得 2,c=2.朋 物 线 的 解 析 式 为 尸-/+尹2；(2).抛物线丫=-工？+区+2与x轴交于点A,2 2-k r2+_ x+2=0,2 2解得工1=-1,X 2 =4,点A的坐标为(-1,0),：.AO=1,4 8=5,在 RtZ i AO C 中，4。=1,O C=2,.A0 _ 1 _ V 5 =,AC V 5 5.班=后 AB V；A0 =AC；AC AB，又；N 0 AC=N C4 B,AO Cs/X ACB；（3）设点。的坐 标 为（x,-12+当+2）,2 2则点E的坐标为（x,-工+2）,2：.DE=-。+m+2 -（-1+2）2 2 2=-k x2+-x+2+-k x-22 2 2 1 9=-+2 x,2:-工vo,2.当x=2时，线段。E的长度最大，此时，点。的坐标为（2,3）,V C （0,2）,M（3,2）,/.点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P,此 时PD+PM最小,连接C M交直线Q E于点八 则/）F C=9 0 ,点尸的坐标为（2,2）,：.CD=VCF2+DF2=）PD+PM=PC+PD=CD,.P +P M的最小值为泥.【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定等.2 5.(1 2 分)(2 0 2 1 东营)已 知 点。是线段A B 的中点，点 P是直线/上的任意一点，分别过点A 和点8作直线/的垂线，垂足分别为点C 和点 .我们定义垂足与中点之间的距离 为“足中距”.(1)猜想验证 如 图 1,当点尸与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”O C和O D的数量关系是 O C=O D .(2)探究证明 如图2,当点P是线段A 8上的任意一点时，“足中距”OC 和。的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)拓展延伸 如图3,当点P是线段B A 延长线上的任意一点时，“足中距”OC 和0。的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；若NCOD=60 ,请直接写出线段A C、B D、OC 之间的数量关系.(2)结论成立.过点O作直线E F CD,交 B D 于点、F,延长A C 交 E F 于点E,证明C O E D O F(SAS),可得结论.(3)结论成立.如图3中，延长C O交 8。于点E,证 明 C O=OE,再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可.结论：A C+B D=y f 3 0 C.利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即D.O B图2图1图3可.【解答】解：(1)猜想：OC=OD.理由：如图 1 中，VAC1CD,BDLCD,：.N 4C 0=N 800=90 在AOC与B。中，Z ACO=Z BDO-Z AO C=Z DO BO A=O B.A O d B。(A45),0 c=0。,故答案为：OC=OD；(2)数量关系依然成立.理由：过点。作直线EFC,交 BQ于点F,延长AC交 E F于点E,JEF/CD,:./DCE=NE=NCDF=90,四边形CEFD为矩形，.ZOFD=90,CE=DF,由(1)知，OE=OF,在COE与。0 尸中，CE=DF N CE O=N DF O，O E=O F：.COEDOF(SAS),:.OC=OD；(3)结论成立.理由：如图3 中，延 长 C。交 8。于点E,VAC1CD,BDLCD,：.AC/BDf：.NACO=NE,点。为4 5 的中点，：.AO=BO,又丁 NAOC=NBOE,：.(4AS),:.CO=OE,VZCDE=90,OD=OC=OE,：.OC=OD.结论：AC+BD=MOC.理由：如图 3 中，VZCOD=60,OD=OC,.*ACO)是等边三角形，:CD=OC,NOCD=60,VZCDE=90,tan60CD:,DE=4CD,:NO gXBO E,:AC=BE,：.AC+BD BD+BE=DE=正8,:.AC+BD=4pC.【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.