2021年全国高考数学模拟试卷（理科）（五）（全国Ⅲ卷）（附答案详解）.pdf

2021年全国高考数学模拟试卷（理科）（五）（全国ID卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.（2021 全国模拟题）已知复数z 满足2=户（1+产。21）,则团为（）A.2 B.V2 C.1 D.|2.（2021.全国.模拟题）已知集合/=-2,-1,0,1,2,3,4,4=1,0,1）,B=-1,3.对应的 V enn 图如图所示，。/则图中阴影部分表示的集合为（）A.-2,0,1,2,3,4 B.-1,0,1,3C.-2,2,4 D.03.（2021全国模拟题）在平面直角坐标系x O y 中，已知 A B C 中，。为 8 C 边中点，点E满足荏=2 前，若 荏 =（2,5），万？=（1,3），则而=（）A.（0.-1）B.（1,2）C.（2,|）D.（2,g）4.（2021全国 模拟题）乒乓球男女混合双打比赛是由比赛双方在比赛之前分别确定参赛的两名队员而进行的一种比赛，某队现有3 名男队员（含甲），2 名女队员（含乙），在甲队员确定参加混双比赛的情况下，乙队员也被确定与甲队员一同出场的概率为（）A.；B.|C.|D.|5.（2021 全国模拟题）定义在R上的图象不间断的奇函数f（x）,满足以下条件：当x 6 （0,1）时,/（X）0,当x 6 （1,2）时,尸（乃 0；f（x+4）=f（x）,则当x G （4,8）时，/。）0的解集为（）A.（3,5）B.（4,6）C.（5,7）D.（6,8）6.（2021四川省眉山市模拟题）古代名著中的造造法式J）集中了当时的建筑设计与施工经验，对后世影响深远，右 图 为 信 造 法 式 中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）俯视图A.V3+V6 B.2A/3+V6 C.3V3+V6 D.5A/3+V67.(2021 全国模拟题)已知数列 a 九 满足的=2,a2=3,an-an+1+an+2=0(n GN*),则%+a16=()A.4 B.2 C.2 D.48.（2021.全国 模拟题）已知函数/=/（3+以 3 0）的最小正周期大于5,且关o5于直线X=W 对称，则3 的值为（）A.1 B.2 C.3 D.49.（202卜全国模拟题）已知F为抛物线C：/二 八 的焦点，过尸的直线交抛物线C于A、B两点，准线/上有点M（1,1）,4 4 M B =9 0。，则卜阳=（）A.2 B.V 3 C.2 D.V 310.（20 21.全国模拟题）如图，正 A B C 的边长为2,点。为边A B的中点，点尸沿着边A C,C B 运动到点8,记N A D P =x.函数/（x）=P B2-P A2,则y =/（x）的图象大致为（）第2页，共22页B.11.（20 21全国 模拟题）己知双曲线搐一?=l（a 0）的左、右焦点分别为&,尸 2，点尸在双曲线的右支上，A P FiF?的内切圆的圆心为C,无 瓦 用=46，则双曲线的离心率为（）A.在 B.在 C.V 3 D.V 52212.（20 21全国模拟题）当 G（1,+8）时，不等式l n（x -1）-2 ax 4-3b 0（b 0）的上顶点在圆E；x2-2 x +y2 i =o上，且椭圆的离心率为由.2（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右焦点为凡 过尸的直线/交椭圆C于A,B两点，。为坐标原点，当A 48。的面积为1时，求直线/的方程.20.（2021 全国模拟题）以下图表是20个省会城市的海拔高度（米）与当地人平均寿命（岁）之间的对应图表:城市哈尔滨乌鲁木齐昆明贵阳杭州长春兰州银川西宁沈阳海拔（米）14665418911071723715171112226142平均寿命78.2175.879.0177.9680.6275.9676.2576.3875.6280.37城市呼和浩特福州郑西安石家庄 太原合肥长沙拉萨成都海拔（米）1063881093978278624813958506平均寿命76.4479.0379.379.177.4678.9479.0679.4670.3280.54(1)填充下表，并计算有没有9 5%的把握认为“平均寿命超过7 8.5岁与海拔低于5 0 0米有关”；平均寿命超过7 8.5平均寿命低于7 8.5合计海拔超过5 0 0米的省会个数海拔低于5 0 0米的省会个数合计(2)现在要从海拔高度低于5 0 0米的城市中随机抽取三个城市进行老龄化问题的研究.若X表 示“抽到的平均寿命超过7 8.5岁的城市的个数”，写出X的分布列，并求 E(X)；某退休职工准备从郑州、长沙、沈阳三地选择一个城市养老，选择的依据是：综合考虑当地平均寿命和房价均值的因素.其中S =叫做宜居指数为当地平均寿命)，宜居指数越大，该城市越宜居.已知郑州、长沙、沈阳三市的房价均值分别为1 2 1 6 0、8 7 6 0、9 6 9 8(单位：元/平方米)，则应该选择哪个城市最佳？n(ad-bc)2(a+d)(c+d)(a+c)(d+d)参考公式：K2=n =a +b +c +d.P(K 2 /c0)0.1 00.050.02 50.01 00.0050.01 0ko2.7063.8 4 15.02 46.6 3 57.8 796.6 3 52 1.(2 02 1全国模拟题)已知函数/(x)=宁 处(a e R).(1)当a =l时，证明：函数f(x)的导函数/(x)存在唯一的零点;(2)若不等式/Q)M+a xj r+i恒成立,求实数。的取值范围.第6页，共22页2 2.(2 02 1 全国模拟题)在直角坐标系xO y中，圆01 的 参 数 方 程 为 二:i s s a Q为参数)，以坐标原点。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆。2 的极坐标方程为 p=2 sme.(1)将圆01 的参数方程化为普通方程，圆。2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设圆。1 与 x 轴的正半轴的交点为4,点 P在圆。1 与圆。2 公共弦所在的直线上，求|P*+I P 0J 的最小值.2 3.(2 02 1.全国模拟题)已知函数/(x)=x-2 +x-a.(1)若不等式f(x)2,的最小值为1,且m 0,n 0,+；=a,求2 n l +n 的最小值.答案和解析1.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：1,i2=-1,i4=1,i2 02 1=(i4)5 05-i =i,i3=i,z =i3(l +i2 02 1)=-i(l +i)=1 -i,则|z|=V l2+(-l)2=V 2,故选：B.根据产=-1,i4=l,可得产02 1,13,化简z =i 3(l +i 2 02 1),即可得出|z|.本题考查了复数的运算法则及其周期性、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.【答案】C【知识点】V e图表达集合的关系及运算【解析】解：由韦恩图可知图中阴影部分表示的集合为：Q G 4 U B),.集合U=1,2,3,4,A=-1,0,1),B=-1,3,：.A AE =AD,二 荏=(琮)，第8页，共22页 C F =C +4 E =(-1,-3)+(1,|)=(0,-1),故选：4.由因为。为B C边中点可得而=荏+m)，进而求出血的坐标，结合已知条件可知而=|而，从而求出荏的坐标，再利用三角形法则即可求出方的坐标.本题主要考查了平面向量的基本定理，考查了向量的坐标表示，是基础题.4.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解法一：甲确定参加的情况下，女队员有两种可能，二乙也确定与甲队员一同出场的概率为宏故选：C.解法二：由题意得，从3名男队员、2名女队员中选出男女各一人参加混双比赛，设男队员甲被选中为事件A,其概率为P(A)=3=3设女队员乙也被选中为事件8,其概率P Q 4 B)=血=,二在甲队员确定参加混双比赛的情况下，乙队员也被确定与甲队员一同出场的概率为:故选：C.法一：甲确定参加的情况下，女队员有两种可能，由此能求出乙也确定与甲队员一同出场的概率.法二：从3名男队员、2名女队员中选出男女各一人参加混双比赛，设男队员甲被选中为事件A,其概率为P(A)=3=；,设女队员乙也被选中为事件8,其概率P(A B)=金=3利用条件概率计算公式能求出在甲队员确定参加混双比赛的情况下，乙队员也被确定与甲队员一同出场的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、条件概率等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是基础题.5.【答案】D【知识点】函数的奇偶性【解析】解：定义在R上的图象不间断的奇函数/(%),/(o)=o,太工弋因为当X e (0,1)时，f(x)0,函数在(1,2)上单调递增，又/(尤+4)=/(#),所以/(-2)=-2)=/(2),所以/(-2)=/(2)=0,所以当x 6(0,2)时，/(%)0,且函数的周期7 =4,则当x 6 (4,8)时，“X)0 的解集为(6,8).故选：D.利用函数的奇偶性及单调性.周期性即可直接求解.本题主要考查了导数与单调性，单调性，奇偶性及周期性在求解不等式中的应用，属于中档题.6.【答案】D【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为2 和8的长方形，侧面S 4 D 1 底面A B C O 的四棱锥体；如图所示：且满足：C D 1 S D,AB 1 S A,所以S 表=2 x 1 x 2 x V 3 +1 x 2 x V 3 +2 x V 3 +1 x 2 x V 6 =5 V 3 +V 6,故选：D.首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积.本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.第10页，共22页7 .【答案】D【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】解：=2,a 2 =3,an an+1+an+2 0(n G N),a j 子 导 C Z 3 =a2 a =,C I 4 =3 -a 2 =1 3 =2,a5=a4 a3=2 1 =3,a6=a5 a4=3 +2 =1,a7=a6 a5=-1 +3 =2,.可得数列 a j 是周期为6的数列，则+0.2+a 1 6 =2(a 1+。2+,+&6)+。2 +。3 +。4)=2(2+3 +1 2 3 -1)+(2+3 +1-2)=0 +4 =4.故选：D.计算数列的前7 项，可得数列 a j 是周期为6的数列，计算可得所求和.本题考查数列的求和，求得数列的周期是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.8.【答案】C【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：由题意函数/(x)=s in 尤+勺的周期为丁 =里 则 生 所 以 3 P A,则/(x)0,排除C；在区间G，兀)上，P在边8 C上，P B P A,则/(x),故选：A.根据题意，结合图形，分析区间(0片)和G 上/Q)的符号，再分析f(x)的对称性，排除B C D,即可得答案.本题考查函数的图象分析，注意利用解析式分析函数值的符号，属于基础题.1 1.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：如图，设圆 C与x轴切于点。（曲,0），则|&D|-E D I =IPFJI-P F2 =2 a,二（殉+c）（c 殉）=2 a,即&=a,则。（a,0）,第12页，共22页X v OC -=OC F F cosZ.C OD =OD-F =2 ac，且 小.福=4近,2 ac=4小,得ac=2 位，又r c 2-a2 =3,联立解得a=2,c=V 7,.双曲线的离心率为e =叱.a 2故选：B.由题意画出图形，求得圆C与 x 轴切于双曲线的右顶点，由已知向量等式结合数量积的几何意义可得ac =2 夕，再由c 2-a2 =3,联立解得m c,则双曲线的离心率可求.本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义及圆的切线性质的应用，考查运算求解能力，是中档题.12.【答案】C【知识点】不等式的恒成立问题【解析】解：设/(%)=ln(x-1)-2 ax+3b,则Q)f a，当a 1,所以(x)0,所以“X)在(1,+8)递增；YT+8时，/(X)f +8.所以不符题意；当a 0时，令/(x)=0,可得x=l+5,当xe(l,l+f(x)0,/(x)递增；当x e(l+,+8)时,(x)0,所以 八 /、ln2 a+2 a+l,、八、设9(a)=(a 0),则(a)=1 (+2)a-(ln2 a+2 a+l)_ 27 12 a3当Q W(o j)时，(a)0,W(Q)递增,当。,+8)时，(pa)0,求得/(x)的最大值，即有3 b Wln2 a+2 a+l,进而构造关于a的函数，求得导数，判断单调性和求得最大值，可得所求最大值.本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.1 3.【答案】5 5【知识点】分层随机抽样【解析】解：根据分层抽样方法原理知，2 0 _ 4n-4+4+3 解得n =5 5,所以的值是5 5.故答案为：5 5.根据分层抽样方法原理列方程求出n的值.本题考查了分层抽样方法原理应用问题，是基础题.1 4.【答案】1 1 8 0【知识点】等比数列的求和、等差数列与等比数列的综合应用【解析】解：设正项等比数列 an的公比为“，q 0,由=8,a6=3 2,可得a i q 3 =8,a=3 2,解得 的=1.q =2,则=2,设等差数列 b的公差为d,可得d =a4-a2=6,瓦=2,所以数列 b j的前2 0项的和为2 0 x2 +|x 2 0 x l 9 x 6=1 1 8 0.故答案为：1 1 8 0.设正项等比数列 斯 的公比为q,q0,由等比数列的通项公式解得首项和公比，求得等差数列 勾 的公差和首项，由等差数列的求和公式，计算可得所求和.第 14页，共 22页本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力,属于基础题.1 5.【答案】2【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：根据题意，根据A、B、C、。四个组的组长的对话，可得如下表格:1234AXXBXXCXXDXX则A组一定在编号为3的场地，8组只能在编号为1或4的场地，若8在编号为1的场地，。必在编号为2的场地，C组在编号为4的场地，有1种情况，若B在编号为4的场地，C组在编号为2的场地，力必在编号为1的场地，有I种情况，故四个科研小组的比赛场地的编号有2种情况，故答案为：2.根据题意，由4个组长的对话列出表格，分析可得A组一定在编号为3的场地，B组只能在编号为1或4的场地，由此分情况讨论，即可得答案.本题考查合情推理的应用，注意认真审题，理解题意，属于基础题.1 6.【答案】81【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：由题意可知卜BA=C D =2 /2，设B P =x(0 c x 2夜)，则C Q =%,.C M =M Q 从而B M =2-当x,1 1 1 1 V 2 V 2 1 VP-BMQ SABMQ-BP =-M Q -BP=-(2-%)x-x=-(x3-2 V 2 x2)(0 x 2 V 2),令V Q)=(x3-2缶2)(o x 0,当(竽,2&)时,V(x)的值，设BP=x（0 x 2 V ），则 CQ=x,可得 8=2%,由棱锥体积公式写出三棱锥P-B M Q 的体积，再由导数求最值.本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题.17.【答案】解：（1）因为cosZTlBD=手 可得乙4BD=45。,又 4B4D=60,所以 N4D8=75,所以 sin/ADB=sin750=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=.AB BD由-=-,sinz.ADB sinz.BAD可得48=Bsi山 DH _ _ 屈+3 gsinZ-BAD 叵 62(2)由48/1D+乙BCD=1 8 0,可知4BCD=120,设CD=x,所以在 8C。中，由余弦定理可得BD?=BC2+CD2-2BC-CD-cos乙BCD,即7=1+%2 一 2x.cosl20。，化简可得/+乂一6=0,解得 x=2,或一 3(舍去)，所以 SABCD=BC-CD-sinl20=|x l x 2 x y =y,SABD=AB-BD-sinABD=为 运 电Hx V 7 x =i,2 6 2 12所以四边形ABCD的面积S=SABCD+S-BD=4+喑1=喑【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、余弦定理、正弦定理【解析】（1）由已知可求得乙4 B D,利用三角形内角和定理可求Z A D B,利用两角和的正弦公式可求sin乙4OB的值，进而根据正弦定理可求A B 的值.（2）由已知可求4BCD=120。，设CD=x,在 BCD中由余弦定理可得/+工 -6=0,解得x 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题.18.【答案】（1）证明：取 A B中点E,连接尸E、CE,因为P4=PB,BC=C A,所以P E 1 2 B,CE 1A B,又因为PEnCE=E,所以4 B 1 平面PEC,又因为PC u 平面P E C,所以AB 1 PC,第16页，共22页又因为CQ 1平面ABC,所以CQ _L4B,又因为CQCPC=C,所以48 1平面PQC,又因为AB u 平面A B Q,所以平面ABQ-L平面P QC.(2)解：以 E 为原点建立空间直角坐标系E-x y z,如图所示:由题意知，F(0,0,0),8(1,0,0),C(0,V3,0).P(0,0,百)，Q(0,遮,苧),则 的=(-1,遮,？)，BP =(-1,0,V3).设平面B P Q的一个法向量为沅=(x,y,z),则沅 丽=沅 前=0.即卜+加+z=0,-X+V3z=0令z=b,则%=3,y=乎,所以沆=(3,看 代)，由题意知该几何体关于平面PECQ对称，由(1)知平面PECQ的一个法向量为元=(1,0,0),_ yn-n _ 3+0+0 _ 2V51cos V 记，=丽丽=岸荔=干，N 4设二面角A-PQ-8 的大小为仇则cos。=2 cos2 -1 =2 x(亚至尸-1=,v 17 7 17即二面角4-PQ-B的余弦值为3【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定【解析】(1)取 A 8 中点E,连接PE、C E,证明4B_L平面P E C,得出力B 1 P C,再证明C Q 1 A B,得出48 1_平面尸。0 平面4BQ _L平面PQC.(2)以E 为原点建立空间直角坐标系E-x y z,利用坐标表示向量，求出平面BP。与平面P E C Q所成的角，再利用二倍角公式求出二面角A -PQ-B的余弦值.本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力与空间想象能力，是中档题.1 9.【答案】解：依题意椭圆C：捺+3=l(a 6 0)的上顶点为将B(0,b)坐标代入圆氏x2-2 x +y2-1 =0,得b =l,即4-C2=1 ，又 =更 ，a 2由得：a =2,c =V 3,所以椭圆C的方程为：丘+y2=i.4 J(2)由(1)可知椭圆C：9 +y 2 =1的右焦点为F(V 5,0),当直线的斜率为。时，不适合题意，当直线/的斜率不为0时.，设直线/：X =m y +V 3.4(匕,%)，B(x2,y2),x=m y+V 3联立方程/7，消去X得：(加2+4)y 2 +2遍 1 =0,匕+y =1 =1 2 m2+4(m2+4)0,m e R,2V3m 1 ，1+%=一 诉，旷2=一 诉，1 SM BO=lOF-y1-y2 =Ja+及尸 一 4 y 1 y?=苧 儒 东 三2=2V3-Vm2+1 r-m-2;-+-4-=1，解得：m +V 2 此时直线/方程为：x=y/2 y+百或=y/2 y+V 3.【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)把椭圆C的上顶点坐标代入圆E方程，求出6的值，再结合离心率和a 2 =川+2求出a,c的值，进而得到椭圆C的方程.(2)由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/：x =m y +V 3.与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表达出 4 8。的面积，进而求出?的值，顶点直线/的方程.本题主要考查了椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力,是基础题.2 0.【答案】解：由已知数据可得2 X 2列联表如下：第18页，共22页n(ad-bc)2 _ 20(9-49)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-10 x10 x10 x10平均寿命超过78.5平均寿命低于78.5合计海拔超过500米的省会个数3710海拔低于500米的省会个数7310合计1010203,2 0),所以 或 乃=2-A _2x-i =又记 t(x)=-2 x3+2x2 x 1,所以t(x)=-6x2+4x 1=6(x-|)2-|0,所以1(尤)在区间(0,+8)上单调递减，所以t(x)t(0)=一 1 0,所以g(x)0,所以g(x)在区间(0,+8)上单调递减，且g(2)=1 -Zn2=V e-/n2 0,由零点存在性定理可得存在唯一Xo (|,2),使得g(x0)=0,即/(沏)=0,即函数f(x)的导函数/(x)存在唯一的零点.(2)解：由不等式/(乃 士 恒 成立,化简可得Q伍 -Q 久+：+x-l N。恒成立，令(p(x)=alnx ax+4-x 1,%0,则“(%)=g _ 口 _ 等+i=出=胆/中!,丁、，*X2 X2 X2当1 a 2 0,即a W 1时，令d(x)0,可得x l,令枢(刀)。，可得0 x (1)=1-a 0,满足题意；当l-a l 时，因为(1)=1 一 a 0),利用导数求出g(x)的单调性，利用零点存在性定理即可求得g(x)的零点个数，从而可得/的零点个数，从而得证；(2)将不等式恒成立化简为a，nx-a x +x-l 0恒成立，令 0,对s(x)求导，再对a分类讨论，利用导数即可求得 0恒成立时a的取值范围.本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.2 2.【答案】解：(1)圆0 的 参 数 方 程 为 二:(a为参数)，转换为普通方程为(x -I)2+y2=1；x=pcos3y=psind,转换为直角坐标方程为/+%2+y 2=p2-1产=1.(2)由于圆。1与圆。2交于两点，所以 防;)2+亡；，整理得y =x,由于点0 1(1,0)与点4(2,0)均在直线y =尤的下方，点。1关于y =%的对称点为。2，所以|P*+H P O J =P A+P O2 O2A,又点。2(0,1),所以|。2川=V 22+I2=V 5，P A+I P。/的最小值为近.【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出/的值.(2)利用两点间的距离公式的应用求出最小值.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.23.【答案】解：(1)因为不等式“为Wx-卜的解集为 2,4,即方程|x-2|+|x-a|=x-1的两个实根为2,4,所以|2-a|=l,|4-a|=l,解得a =3,经检验a =3符合题意.(2)a 2,则/(x)=|x-2|+|x-a|x-2-x+a=a-2 =a-2,当且仅当2x 0,n 0,所以工+三=3,m n所以2m +n =：（2m +n）（+：）=:（4+2+詈）|x（4+4）=|,当且仅当27n =n=时，等号成立.故27n +n的最小值为|.【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】（1）由题意可得2,4为 方 程-2|+|x-a|=x-l的两个实根，解a的方程组可得a的值，检验可得所求值；（2）利用绝对值三角不等式可得的最小值，则可得工+2=3,利用乘“1”法及基本不等式即可求解27n +n的最小值.m n本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.第22页，共22页