2021年全国中考数学真题分类汇编： 与圆的有关计算（含解析）.pdf

一、选择题8.（2021 黔东南）如图，在 RtAACB中，ZACB=90。，A C=6,B C =8,若以AC为直径的G）O 交 他 于点D,则CD的长为（）D.5C【解析】.以A C为直径的。交4 5 于点。，；.NAZ)C=90。，即C)_LAB.在 RtAACB 中，ZACB=90-AC=6，B C =8，则由勾股定理得到：AB=yjAC2+BC2=V62+82=10.1 1 1 1 24-A C B C =-A B C D,BP-x6x8=-x l 0 C D.故 C D =.2 2 2 2 512.（2021 毕节）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，AB,CD所在圆的圆心为O,点 C,。分别在。4,0 8 上.已知消防车道半径OC=1 2%,消防车道宽AC=4m,Z A O B =2Q0,则弯道外边缘AB的长为（）A.B.4万 加 C.7tm D.兀 m3 3C【解析】.OC=12m,AC=4 z,，OA=OC+AC=12+4=16(m),ZAO8=120。，.弯道外边缘 A8 的长为:120-x16 32万，、-=-(m)180 38.（2021 湘西州）如图，面积为18的正方形A3CZ）内接于。0,则 AB的长度为（)A.9nB.C.D-肥C【解析】如图.D连 接CM,0 8,；四边形A8C是正方形，J.OAOB,/A O 8=90,.O A 8是等腰直角三角形，二 正方形ABCQ的面积是18,；.A 8=/云=3我，；.0A=0 B=3,二弧A B的长L=评 工=二三=了兀.180 180 2.8.（2021 仙桃）用半径为30c m,圆心角为120的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径 为（）A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cmB5.（2021.包头5题）如图，在RtAABC中，NACB=90。，A B=陋,B C=2,以点A为圆心，A C的长为半径画弧，交A 8于点。，交A C于 点C,以点B为圆心，A C的长为半径画弧，交A B于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为（）兀T CA.8-兀 B.4-兀 C.2-D.1-4 4B lF,第5题 答案D【解析】设乙4=相，贝在 RlM BC 中，NAC8=90。，A B=布,BC=2,；.AC=J（石了._ 、_ 1 n 90-n Ji=1，AS 阴 步=SRL48CJS MACD-S m BEF=X2X 1 -X7tX 1-X7ixl-=1-2 3ou 3oU 4.9.（2021 贺州）如图，在边长为2的等边ABC中，。是B C边上的中点，以点A为圆心，A。为半径作圆与AB,AC分别交于E,F两 点,则图中阴影部分的面积为（）C 解析 如图，连结A DABC是等边三角形，点。是B C的中点，.ADl.BC.：AB=2,B D=,：.AD=JAB2-BH2=V22-l2=V3,.A C=2V 3,同理可证，NEAF=30。,：.ZC A E=ZB A F-ZBAC-ZEAF=120-30-30=60,.S扇 形 CA嚼 =2%.图中阴影部分的面积为2兀，故 选：A.9.（2021 湖 州）如 图,已知在矩形A8CO中，A B=,9 c=8,关于直线B P的对称点为C”当点尸运动时，点 G 也随之运动.的区域的面积是（）点 P 是 AD边上的一个动点，连结B P,点 C若点P 从点A 运动到点 ,则线段C G 扫过A.兀D B.37VT3H-4C.当D.2兀B【解析】如图，当 P 与 A 重合时，点 C 关于B P的对称点为C,当户与。重合时，点 C 关于B P的对称点为C,点 P 从点A 运动到点D,则线段CCi扫过的区域为：扇形8CC,和8CC,在8 8 中，,:乙BCD=90。,BC=V3,CD=1,.lanZ.O8C=t=F，8 c=30,./C 8C=60,BCC为等边三角形，.S iBcc-=i2x”x（4）2 =兀，作8 c 于 凡.,8CC为等边三角形，二8尸=。=弓，,0 尸=匕1160。*4=：SA8cc=；x g x：=乎，.线段C G 扫过的区域的面积为：兀+孚.故 选：B.2 2 4 46.（202卜衢州）已知扇形的半径为6,圆心角为150,则它的面积是（）A.2 兀B.37rC.57rD.15 乃2 答案 D15.（2021怀化）如图，在0。中，OA=3,NC=45,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.（结果保留n）9 q1Q Q-5【解析】V ZC=45,：,ZAOB=90,AS W5=SOM OB-5A4OB=r-4 x 3 x 3=一。4/ooU L 4 Z7.（2021云南）如图，等边aA B C 的三个顶点都在。O 上，AO是。的 直 径.若 0 4=3,则劣弧8。的长是B【解析】连接0 8、B D,如图:.,等边A8C,ZC=60,弧 4 8=弧 AB,乙 D=L C=60,:OB=OD,8 0。是等边三角形，.4 8。=60。，.,半径OA=3,.劣弧8。的长为当黑=兀.1809.（2021遂宁）如图，在ABC中，A B=A C,以 A 5 为直径的。分别与8C,AC交于点。，E,过点。作D F L A C,垂足为点F,若O。的半径为4 8，乙。F=15。，则阴影部分的面积为（）A.16K-12A/3 B.16n-24V3 C.20兀 -12百 D.20K-24V3A【解析】连接A D,。AB为直径，AAD B=乙4OC=90。，AADF+ACDF=90,:D FLACf 44/7)=90,/.AADF+ADAF=90f(CDF=幺DAC,v ACDF=509/.Z.DAC=50,AB=AC,AD IB C,/.ZBAC=2 ADAC=30,:OA=O E,.4 0 A E=4 0 E 4=3 0 ,4 4OE=120。，作 O”_LA 于 ，在 RIZL4O“中，OA=4V3,OH=si n3 0 x OA=2 5/5,A=cos3 0 x OA=6,A E=2A H=1 2,S 阴影=S 磁 影OAE SAAOE=12。兀X(_ 1X 1 2 X 2 V3 =I6TT-1 2 V3.360 29.(2 0 2 1 W H)如图，在菱形 A 8 C O 中，ND=60 ,A B=2,以 B 为圆心、8c 长为半径画版1，点 P 为菱形内一点，连接以，PB,P C.当aB P C 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A【解析】连接A C,延长A P,交 B C 于 E,在菱形A8 C。中，/力=6 0 ,AB=2,A ZA BC=ZD=60 ,A B=B C=2,；.ABC 是等边三角形，：.A B=A C,A B=A C在AP8 和 APC 中，A P=A P,：./A PBiA PC(SSS),：.Z P A B=ZPA C,：.A E LtiC,H E=CE=,PB=PC,/AB P C为等腰宜角三角形，:.PE=1J3C=1,在 RtZXABE 中，A E=V3,：.A P=V3-1,.c _ c c 6 0 7 rx 2?I,与 2 /3 +1 S 阴影一S 扇形 ABC-3尸 sc=-2 6 0 2(V3 I)XI 3x2x1=2 i r Q.7.（2 0 2 1 青海）如图，一根5 根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊4在草地上的最大活动区域面积是（）B【解析】大扇形的圆心角是90度，半径是5,所 以 面 积=嘴 等=孕 71 M P）.小扇形的圆心角是18。-12。6。，半径是加，则面积=6 眈1则小羊A 在草地上的最大活动区域面积=孕口+1=口（加 2）.4 O 1Z=90,与BC为直径的半圆相切，EC=ER:DE=2-CE,AE=2+CE在 RtZvlOE 中，AE2=A D2+DE2,即(2+CE)2=22+(2-CE)2,解得 CE=g ：.DE=2-=阴影部分的面积=22-1X HX12-1X2X1=.13.（2021 大庆）一个圆柱形橡皮泥，底面积是1 2 c,高是5 c m.如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 c m2.18【解析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程,即可求出圆锥的底面积.二、填空题13.（2021 鄂尔多斯）如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 cm.3 0【解析】设扇形纸片的半径为x c m,由圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长可得：2 n2 1 0=1 2 0 兀 x ,解得*=3 0.1801 8.（2 0 2 1 黔东南）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20万cm,侧面积为24 0万cm2,则这个扇形的圆心角的度数是 度.1 50【解析】设圆锥的母线长为/c 机，扇形的圆心角为。，.圆锥的底面圆周长为20万 a n,.圆锥的侧面展开图 扇 形 的 弧 长 为,由题意得：x x/=24 0 解得：/=2 4,则 理 工=20），解得，n=15 0 即扇2 18 0形的圆心角为15 0。.17.（2021 黔东南）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端A8,量的弧A3 的中心。到 A3 的距离8 =1&加，A 8 =6.4 o，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm.4 解析：点 A 8 的中点，C D AB,.8过圆心，A O =8。=,A 8 =*6.4 =3.2（。），2 2设圆心为。，连接。4,如图，设 O O 的半径为 A c m ,则 OD=（R-1.6）CTH,在 R tA O A D 中，（/?-1.6）2+3.22=/?2,解得R =4（c m）,所以圆形瓦片所在圆的半径为4 c m.19.（2021 哈尔滨）一个扇形的弧长是8万CTW,圆心角是144。，则此扇形的半径是 cm.1015.（2021 徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长/为8 c m,扇形的圆心2 解析：.扇形的圆心角为90。，母线长为8c?，.扇 形 的 弧 长 为 叱 =4），设圆锥的底面半径为r e m,则1802力 7=4 4,解得厂=2.13.（2021 泰州）扇形的半径为8 c a,圆心角为45。，则该扇形的弧长为 cm.2乃【解析】由题意得，扇形的半径为8 c m,圆心角为45。，故此扇形的弧长为：”叱=2万，故答案为：2万18019.（2021 绥 化）边长为4cm的正六边形，它 的 外 接 圆 与 内 切 圆 半 径 的 比 值 是.19.2 叵 解析:3.正六边形的边长为4cm,.正六边形的半径是4 c m.正六边形的外接圆的半径是1 11.：内切圆的半径是正六边形的边心距，.6 0=。4 41160。=正 义 4=2 6，二正六边形的2外接圆的半径与内切圆的半径之比为42 G2月313.（2021 无锡）用半径为50,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 答案 片 解析 圆锥的底面与侧面的关系：圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，由已知可得侧面的弧长 为 与 蓍 兀,180将其作为底面圆周长，计算半径，得 口 工.314.（2021 河 南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,。均在小正方形的顶点上，且点8,C在弧AO 上，NBAC=22.5。，则弧 BC 的长.（答案 二4 解析圆 心 在 和 A O 的垂直平分线的交点，由此可知半径=5,由圆周角定理可知，弧 8 c 所对的圆心角为 45。，J 弧长二*X2X5=3,因此本题答案是 三.360 4 413.（2021 南通）圆锥的母线长为2 c m,底面圆的半径长为1 cm,则该圆锥的侧面积为 cm2.13.2兀14.（2021娄底）如图所示的扇形中，已知。4=20,A C=3 0,窟=4 0,则 而=（第 14题图）答案 10015.（2021 永州）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为6 0 m 底面半径为6 的圆锥模型（如图所示），则 此 圆 锥 的 母 线 长 为.答案 10解析：设此圆锥的母线长为/,根据题意 得,X2TTX6X/=60IT,解得/=1 0,所以此圆锥的母线长为10.213.（2021温州）若扇形的圆心角为30。，半径为1 7,则扇形的弧长为当【解析】根据弧长公式可得：/=黑=%好=当.6loO 180 o14.（2021 荆门）如图，正方形ABCO的边长为2,分别以B,C 为圆心，以正方形边长为半径的圆相交于点P,那 么 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.答案 2 百 一 咨（解析 连结 P8,PC.*：PB=BC,PC=BC,：.PB=BC=PC.BBC是 等 边 三 角 形.戚=2（S 艰&V+SAWCc、_o/30）73 乂管 60乃 灸、一6 2万-5 CBP）-2（-+X2-）-2 3 3-.16.（2021 聊 城）用一块弧长16ircm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为 cm2.答案 8（况 解析:弧 长 16兀 c m 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为167tcm,.,.圆锥的底面半径为：16n+27t=8cm,圆锥的母线长为：+82=10cm,二扇形铁片的面积=g x 1（）x 16乃=80乃cm?.14.（2021济宁）图，ZVIBC中，/A 2 C=90,A2=2,A C=4,点。为 8 c 的中点，以。为圆心，以 0 8 为半径作半圆，交 AC于点。，则图中阴影部分的面积是.在A8C 中，ZABC=90,AB=2,AC=4,.,.sinC=-=A,BC=Q/2=山 2 _ 2 2=2我,A C 4 2/.Z C=30,ZDOB=60,；OO=”C=F，/.D=-1,阴影部分的面积是：y X 2X273-y X V 3x-1_6Qn X3 _ 5A/3 _ n4 215.（2021宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以边长为2 厘米的等边三角形4B C 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平 方 厘 米.（圆周率用n 表示）2cm 2cm2 cm(2TT-2 V 3)【解析】过 A 作 AO_LBC 于 Q,：A8=AC=BC=2 厘米，Z B A C=Z A B C=ZACB=60 ,:AD_L8C,.,.8D=C 0=1 厘米，A=旧 80=VI厘米，.,.ABC 的面积为”C A=K(厘米 2),S HAC=26n2-=IK(厘米 2),.莱洛三角形的面积 S=3 x|n-2 x U=(2 n-2 V 3)厘米 2.ooU a 32ctn 2 cm13.（2021台州）如图，将线段4 8 绕点4 顺时针旋转30,得到线段A C.若 A 8=1 2,则点B 经过的路径疣长度为-,（结果保留n）15.（2021绥化）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3 倍，则这条弧的半径为135 万,r15.40解析：设弧所在圆的半径为r,由题意，得-=2+5 X 3,解得r=4 0（cm）.18014.（2021 宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC,8。分别与。相切于点C,D,延长4C,B D 交于点、P.若NP=120,的半径为6皿，则图中前的长为 c m.（结果保留皿）2 ir【解析】如图所示，连接OC,OD,OP,：AC,8分别与。相切于点C,D,故N O C P=/O。尸=90.又 OC=OD,O P=O P,贝 lj RtZOCP丝RtZOOP（HL）.VZCPD=120,：.ZOPC=ZOPD=60,N COP=/O O P=30,A ZCOD=60Q.=2ir.二 前 的 长 为 国=患=如 律16.（2021重庆A 卷）如图，矩形ABC。的对角线AC,交于点O,分别以点A,C 为圆心，AO长为半径画弧，分别交A8,CD于点E,F.若 8 0=4,乙。8=36。，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.（结果保留兀），【解析】四边形 ABC。是矩形，.-.ACBD=4,OA=OC=O8=O。，AB/CD,：.OA=O C 2,4 ACO=4C4B=36。，.图中阴影部分的面积为：2X型 包=%,360 5故答案为：.16.（2021重庆B 卷）如图，在菱形ABCO中，对角线AC=12,2 0=1 6,分别以点A,B,C,。为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为一.（结果保留兀）96-2 5 n【解析】在菱形 A8C 中，有：AC=12,BD=16.；.AB=J(|i?D)2+(AC)2=10.LABC+L BCD+Z.CDA+Z.DAB=360.四个扇形的面积，是一个以夕8 的长为半径的圆.图中阴影部分的面积=：x l2 x l6-兀*52=96-25兀.故答案为：96-25K.16.（2021 泰安）若aABC为直角三角形,AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示,则阴影部分的面积为4【解析】连接CD.8C 是 直 径,ZBDC=90,B P CDAB,又A8C为等腰直角三角形，.CD垂直平分斜边AB,CDBDAD,BD CD,S MBD=S“彩 C，S 阴 彤=SR。48c _ SRIA B C O，V 4 5 C为等腰直角三角形，C D是斜边A B的垂直平分线,5R（A4c=2 SRI A BCD 又 SR S A8C=-x4x4=8,S isjtB-4.18.（2021.娄底）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作ra d.已知a=l，”/,0=60,则 a 与 0 的大小关系是a p.答案 解析 由弧长公式和支=1%/可得。n=1 8 0 ,从而a=180八，因为0=60,从而可以判断al2dm,阴 影 部 分 的 面 积 是 啜 丝=2兀（dm2）.16.（2021凉山州）如图，将 ABC绕点C顺时针旋转120。得到 A 5 C,已知4 c=3,B C=2,则线段4 8扫过的图形（阴影部分）的 面 积 为 一.y【解析】A B C绕点C旋转60。得 到 夕C,A B C/A E C,SAABC=SKAEC，乙BCB，=4 4 c 4=120.-AB扫过的图形的面积=S扇 形AGT+SZMBC-S 扇 形 BC8-SABCf-AB扫过的图形的面积=S W ACA1 S mBCBy.A B扫过的图形的面积=工 等 一 竺 竺=14.（2021资阳）如图，在矩形A3C。中，AB=2cm,AO=K c加以点3为圆心,A 3长为半径画弧，交。于Z C=Z A B C=90,CD/AB,，c诡3-在 RtZ8CE 中，；AB=BE=2cm,BC=W cm,：.E C=yjBE2-B C2=lcm,A ZE B C=30,/.Z A B E=Z B E C=6 0 ,.r-1/60-7 3 V3 2，SM=S矩 形A/?。-SZXBEC-S扇形x lx 3=(-TT)cm2.13.（2021 广 东）如图，等腰直角三角形A 8 C中，ZA=90,B C=4,分别以点3、点C为圆心，线段3 C长的一半为半径作圆弧，交 A B、B C、AC于点 ,E,F,则图中阴影部分的面积为4-IT 解析 等腰直角三角形 A 8 C 中，Z A=9 0,8 c=4,./8=N C=4 5 ,:.A B=A C=B C=2 f i,:B E=2CE=2 8 c=2,.阴影部分的面积S=SM BC-SmBD E -SM CEF=1 x 2 /2 x 2/一 名 等-x 2=4 -n,因此本题答ZL 3 0U案为4 -I T.1 5.（2 02 1 十堰）如图，在边长为4的正方形A B C。中，以 AB为直径的半圆交对角线AC于点E,以 C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F,则图中阴影部分的面积是 3 n-6 .3 n-6【解析】连接BE.：AB为直径，；.8 E _ L A C.：A B=B C=4,Z B=9 0,：.B E=A E=C E,二5 弓 形 A E=S 弓 彩 B E，1图中阴影部分的面积=S华 圈 2 (S 半 圜-(SAABC-S扇 形 W)2 1 1 1 4 5 7 rx 4 2x2-x-x4x4)-(-x 4 x 4 -)=3 n-6.2 2 2 360CB1 4.(2 02 1 随州)如图，在 中，Z C=9 0,N A B C=3 0,BC=V 3,将 A B C 绕点 A 逆时针旋转角 a(00 a 1 8 0)得到夕 C,并使点C落在A3边上，则点3所经过的路径长为.(结|TC【解析】在 无4 8 C 中，Z C=9 0,/4 B C=3 0,BC=y/3,：.Z B A C=6 0a,c o s/A 8 C=%=苧,：.A B=3,将 A B C 绕点 A 逆时针旋转角 a（0 a的边长为2,。为对角线的交点，点 E,尸分别为8 C,4）的中点.以C为圆心，2 为半径作圆弧B O,再分别以E,歹为圆心，1为半径作圆弧3 0,O O,则图中阴影部分的面积为A.yr 1 B.TF 3 C.TT 2 D.4 4C 解析 由题意可得阴影部分的面积为，%x 2 2-L/x l2 2（lx l L xl2）=%-2.42417.（2021龙东）若一个圆锥的底面半径为1cm,它的侧面展开图的圆心角为90。,则 这 个 圆 锥 的 母 线 长 为 A0DE为边长相等的等边三角形二可将图中阴影部分的面积转化为。片和0A 8的面积之和，即可解决问题.14.（2021 吉林）如图，在 RtZVIBC中，/C=9 0 ,/A=30,B C=2.以点C 为圆心，CB长为半径画弧,分别交AC,A 8于点O,E,则图中阴影部分的面积为 （结果保留IT）.【解析】连接C E,则 CE=CB=2,；/4=3 0 则，ZB=60,则4 C B E 是等边三角形，由三线合一及勾股定1/T/A 2。理得4C B E 边 C B 上高为有，则S 4CBE=LX2X后=0,S 扇 形CBE=.*=上，六阴影部分的面2 360 3积=，扇 形C B E-S/C B E =3 3 1 3.（2 0 2 1 呼和浩特）已知圆锥的母线长为1 0,高为8,则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为.（用含 n的代数式表示），圆心角为 度.1 2 i r,216解析：设 底 面 圆 的 半 径 为 由 勾 股 定 理 得：/=V 1 02-82=6,2 n r=2T TX6 =1 2T T,根据题意得2 立义6=浅#,解 得 =2 1 6,即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为2 1 6 .1 O U1 6.（2 0 2 1 贵港）如图，圆锥的高是4,它的侧面展开图是圆心角为1 2 0。的扇形，则圆锥的侧面积是（结果保留乃）.6 万 解析】设圆锥的底面半径为，母线长为/.根据题意得：2 勿=超 犯，解得/=3 r.1 8 0.高为4,.产+4 2=（3 r）2,解得厂=四，.母线长为3 立，圆锥的侧面积为%”=;r x 夜 义 3 夜=6 1.三、解答题2 4.（2 0 2 1 毕节）如图，0O是 A A 8 C 的外接圆，点 E是A A 8 C 的内心，AE的延长线交8c于点尸，交于点 ）,连接班,BE.（1）求证：D B =D E；（2）若 A =3,D F=4,求 的长.解：（1）证明：.点E是 A A 8 C 的内心,.发；平分 N B A C,3 E 平分 N A B C，:.ABAD=C A D ,ZABE=NCBE,又Z.CAD与Z C B D所对弧为D C ,Z.CAD=NCBD=ABAD.：.ZBED=ZABE+ZBAD,NDBE=NCBE+NCBD,即 NBED=ZDBE,故 DB=DE.(2).ZD=Z.ZDBF=NCAD=ZBAD，.ABDNBFD,.史=丝 ，FD BD.DF=4,AE=3,设 EF=x,1 1 1 (1)可得 DB=DE=4+x,则式化 为 士 =士，4 4+x解得：芭=2,=-6(不符题意，舍 去)，则 8=4+x=4+2=6.20.(2021 张 家 界)如图，在 RtZXAOB 中，ZABO=90,ZOAB=3 0 ,以点。为圆心，0B为半径的圆交8。的延长线于点C,过 点。作0 4的平行线，交。于 点。，连接AO.(1)求证：A。为。的切线；(2)若0 8=2,求 弧CO的长.解：(1)证明：连 接0Q.：CD/AO,：.ZDOA=ZCDO,/A0B=N D C 0.：DO=CO,A ZDOA=ZAOB,DO=BO,AO=AO,：.AOD/XAOB.：.ZAD0=ZABO=90,：.AD0D.V0 3为。的半径，.AO为。的切线；A(2)V ZABO=90f NOAB=30。，A ZAO5=60,A ZAOB=ZDOA=60096 0 TZ x 2 2.7 7:.ZC O D=SO-ZAO B-/OOA=60.:.CD=T-2 4.(2 0 2 1温州)如图，在平面直角坐标系中，OM经过原点0,分别交x轴、y轴于点A(2,0),B(0,8),连结A B.直线C A7分别交OM于点。，E (点D在 左 侧)，交x轴于点C (1 7,0),连结AE.(1)求0M的半径和直线CM的函数表达式；(2)求点D,E的坐标；(3)点尸在线段A C上，连结P E.当Z A E P与0 8。的一个内角相等时，求所有满足条件的O P的长.解：(1)点M是4?的中点，则点M(l,4),则圆的半径为A M=J(2 -+4 2 =V 1 7,设直线CM的表达式为y=fc r+b,则解得故直线CM的表达式为产%+%(2)设点。的坐标为(x,-;x+马，4 4由 得：(x -1)2+(-AT+-4)2=(V 1 7)2,4 4解得x=5或-3,故点。、E的坐标分 别 为(-3,5),(5,3).(3)过点。作 O/1 O B 于点从 则 D H=3,B H=8-5=3=D H,故乙。8。=4 5 ,由点A、E的坐标，同理可得乙E 4 P=4 5。；由点A、E、B、。的坐标得，AE=J(5 -2 3+(0 -3尸=3企,同理可得：8。=3&,0 8=8,当4 AE P=Z _ O B O=4 5 时，则4 E P为等腰直角三角形，E PVA C,故点尸的坐标为(5,0),故O P=5；乙。时，4 E A P=乙 D BO,A E A P/D BO,AE _ AP =，BD BO即 黑=/=?，解得AP=8,.t5U O故 P O=I O；乙AEP=zL80。时,V EAP=ADBO,.-.JE A P JOBD,嗡=笫 即 苧=妥，解得”=则 P0=2+；=?；综上，。尸为5或10或9.22.(2021金华)在 扇 形AOB中，半径0 A=6,点P在0A上，连结P 8,将02P沿PB折叠得到(?BP.(1)如 图1,若/0=75,且8 0 与所所在的圆相切于点8.求 的 度 数.求AP的长.(2)如图2,B O,与循相交于点。，若点。为 油 的中点，且尸。8,求 油 的长.图1 图2解：(1)如图1中，.BO是。的切线，二/080=90.由翻折的性质可知，ZOHP=ZPBO=45,Z 0P B=Z B P 0.：ZA0B=15,：.N0PB=NBP0=180-75-45=60,：.ZOPO=120,A APO=180-NOP。=180-120=60.如图1中，过点B作BHLOA于H,在BH上取一点F,使得OP=FB,连接OF.：NBHO=90，:.NOBH=90-ZBOH=5.V FO=FB,：.ZFOB=ZFBO=5,：.ZOFH=ZFOB+ZFBO=30.设 OH=巩则 HF=/3m,OFFB=2m,VOB1=OH1+BH1,：.62=m2+(V3/M+2/n)2,.3-76 3/2-3V6 372,4.*、.u 3-76-372 3V2+3-76在./r RD t/A PnBnHr,(中+,，PDHu -_BH77 75=、石+53&.PA OA-OH-PDHU t6i-3-y-6-3-y-/2-乃-+-3,2=6,-2 Vr6r.ccinou z z z(2)如图2中，连接A),0D;而=协,.4。=8。,/40。=/80).由翻折的旋转可知，NOBP=NPBD.PD/OB,：.NDPB=A OHP,：.NDPB=ZPBD,：.DP=DB=AD,：.ZDAP=ZAPD=NAOB.：AO=OD=OB,AD=DB.：.A。丝BOO,.ZOBD=NOAD=NAOB=2NBOD.：OB=OD,：.ZOBD=ZODB=2ZDOB,：.ZDOB=36,：.ZAOH=12,，轮的长=誓.图1 图2