2021年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学（文科）.pdf

普通高等学校招生全国统一考试陕西卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟.第 I 卷一 选择题（本大题共10小题，每小题5 分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R,函 数 大 幻=&不 的 定 义 域 为 M,贝!知必为（）A.（一8,1）B.（1,+8）C.（一8,1 D.1,+8）2,已知向量。=（L m）9 b=（m9 2）,若ab,则实数，等于（）A.一近 B.A/2C.一啦或啦 D.03.设 心 上 c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A.logab logc力=logMB.logab log4=logcC.oga（bc）=ogab log”D loga3+c）=lo g/+log“c4.根据下列算法语句，当输入x 为 6。时，输出）的值为（）输入X；Ifx450 Thenj=0.5*xElsey=25+0,6*（x-5 0）End If输出y.A.25 B.30C.31 D.615.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，下图为检测 魅獭 nnA结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间20,-布 株1-一000o2o0i4H t0._03-10 15 20 25 30 35 长度/麾米25）上为一等品，在区间15,20）和25,30）上为二等品,在区间10,15）和30,35）上为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为（）A.0.09 B.0.20C.0.25 D.0.456.设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若 z 2 2 0,贝！是实数B.若/2,则关于实数x 的不等式|x一a|+|xb|2的解集是.B.（几何证明选做题）如图，A 8 与 CD相交于点E,过 E 作 5 c 的平行线与AO的延长线交于点尸.已知NA=NC,P D=2D A=2,则 PE=.x=f2C.（坐标系与参数方程选做题）圆 锥 曲 线.（，为参数）的焦点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _Ly=2r,三 解答题（本大题共6 小题，共 7 5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(cosx,2)f b=(y3sinx,cos 2x),x G R,设函数,/(x)求4 x）的最小正周期；（2）求人x）在 0,y上的最大值和最小值.17 .（本小题满分12分）设 S,表示数列 斯 的前n 项和.（1）若 呢 是等差数列，推导S“的计算公式；若 m=L gW O,且对所有正整数，有 S“=m，判断%是否为等比数列，并证明你的结论.18.体 小 题 满 分 12分）如图，四棱柱的底面A5C。是正方形，O 是底面中心，4 0 1.底面ABC。，AB=AAi=y/2.（1）证明：平 面 平 面 理 由 1；（2）求三棱柱A B D-AxBxDx的体积.19.（本小题满分12分）有 7 位歌手（1 至 7号）参加一场歌唱比赛，由 500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为5 组，各组的人数如下:(1)为了调查评委对7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若 A,8 两组被抽到的评委中各有2 人支持1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，求这2 人都支持1 号歌手的概率.2 0.体小题满分13分)已知动点M(x,y)到直线/：x=4 的距离是它到点ML 0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C 的方程；(2)过点P(0,3)的直线机与轨迹C 交于A,8 两 点.若 A 是 PB的中点，求直线机的斜率.2 1.(本小题满分14分)已知函数|x)=el xG R.(1)求八x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y=/(x)与曲线=*+*+1 有唯一公共点.设 a =1 X 2=/=也 或 片 一 也.答案：C3.解析：根据对数的运算法则及换底公式判断.由对数的运算公式loga(6c)=log/+log“c 可判断选项C,D错 误.选 项 A,由对数的换底公式知，log力 T o g/=lo g c a=；g a=lg%=lg2a,此式不恒成立.选lg a lg c lg c项 B,由对数的换底公式知，l o g/1。8 道=得 今 故恒成立.答案：B4.解析：同理科卷2 题.答案：C5.解析：由图可知抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.2 5,则抽得二等品的概率为 1-0.3-0.2 5=0.4 5.答案：D6.解析：利用复数的分类及运算性质判断.设 z=a+bi(a,bG R),选项 A,z=(a+bi)2=a I)+2 abi 0,则,ab=Q,2 2 故 6=0 或 a,b 都为0,即 z为实a 2 b.数，正确.选项 B,/=(a+biy=a-t/+2 abi2 0,正确.件0,7.答案：C解析：曲 线 尸 与 尸 2所围成的封闭区域如图阴影部分所示,当直线1:y=2 x 向左平移时，(2 x 力的值在逐渐变小，当/通过点 4(2,2)时，(2 xy)i n=-6.答案：A8.解析：利用点、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式判断.由题意知点在圆外，则 a+gX,圆心到直线的距离4故直线与圆相交.答案：B9.解析：同理科卷7题.答案：A1 0.解析：选取特殊值,利用排除法求解.选 项 A,取 x=1.5,W.则 x =1.5 =2,W =1.5 =1,显然-选项B,取 户 1.5,则=2 =2 W L 5 =LCJ选项 C,取 L 1.5,则2X=3=3,2%=2 1.5=2,显然2xW2x.答案：Dc 511.解析：由题意知才=i6n4=4.又Z/=9,则。2=3+力2=6+9=25=。=5,故9=一=不a 4答案：I12.解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即1X4n+n=3n.答案：3 n13.解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第个等式可为(”+1)(+2)(+zr)=2nX lX 3X-X (2z?-l).答案：(+1)(+2)(7?+/7)=2nX 1X 3 X-X(2ZJ-1)x 40-v14.解析：设矩形花园的宽为y m,则布=40-,即7=40 x,矩形花园的面积Ax(40 x)=x+40 x=(x20)2+4 0 0,当；r=20 m 时，面积最大.答案：2015.A.解析：因为a,6G R,则|a引2,其几何意义是数轴上表示数a,6的两点间距离大于2,|x-a|+|x-目的几何意义为数轴上任意一点到a,b两点的距离之和，当x处于a,6之间时|x-a|+|x-引取最小值，距离恰为a,6两点间的距离，由题意知其恒大于2,故原不等式解集为R.答案：(-8,4-00)B.解析：因为PE/BC,所以N N物.又因为N4N4,所以乙4=4烟 又NA NP,pn pE所以RPDEsXPEA,则赤=k，即 西=心 为=2 X 3=6,故PE=#./JC 1/1答案：乖C.解析：将参数方程化为普通方程为y=4 x,表示开口向右，焦点在X轴正半轴上的抛 物 线,由20=4=夕=2,则焦点坐标为(1,0).答案：(1,0)1 6.解：F(A)=(COS x,一，(/3sin x9 cos 2x)=-/3cos xsin x-cos 2 x=sin 2x-cos 2x=cos-s in 2Asin-co s 2x=sin6 6Q _ C _(1)f(x)的最小正周期为T=n,即函数F(x)的最小正周期为n.2 6 6 6由正弦函数的性质，得当2x即 户。时，f(x)取得最大值1;O Z 6时Ok即n=-6n-6A1-2,T T 5-n.当2尸 至 二 口，即 k 万时，129，F(x)的最小值为一因此，F(x)在。，上的最大值是1,最小值是一看1 7.解：(1)方法一：设 a 的公差为d,则$=&+&+3 +&=&+(31+d!)+,+8+(27-1)d 又 Sn=an+(and)+区(刀一1)d,n(&+a)：2s7=7?(a+&),：Sn=2方法二：设 a 的公差为d,则=囱+&+&=ai+(si+d)+&+(z?-1)d 又 Sn=an+an-i+,+ai=ai+(n1)d+ai+(n2)d+&,2Sn=2Si+(/?-1)d+2&+(/?-1)M+28+(-1)d=2 8+(一l)d,.c n(7 7 1)Sn=nsi+g d.(2)4 是等比数列.证明如下:.7 19,E l_g，_ c c 1一 十,一 f 0,244由根与系数的关系，得 为+至=一 讦 而，24石 片 帝?义A是PB的中点、,故 生=2M.将代入，得的=一季普万，4=3；：必可 得 储 普)=壮1/且”去 解得 2 或*=*,直线”的斜率为一或科方法二：由题意，设直线卬的方程为尸Ax+3,A(xlt ji),BX2,乃)，如图.：力是阳的中点，X 2 .为=5，Li取立，解得至=2,方=0或 X2=-29=0,即点8的坐标为(2,0)或(一2,0),3 3，直线 的斜率为一耳 或521.(1)解：F(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为左,:h U)=p :k=g(1)=1,于是在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.(2)证法一：曲线y=e与曲线y=J f+x+i公共点的个数等于函数0(a=/Jx乙 乙一 1零点的个数.:(P(0)=1 1=0,:.0(x)存在零点；r=0.又 O(x)=e“一x1,令力(x)=。(x)=e”-Ar一1,则(A)=ex1.当 K0 时，hf(x)0时，h(x)0,二。(x)在(0,+8)上单调递增，A 0,x+x+l Q,x+x+1；曲线y=e 与曲线y=x+x+l公共点的个数等于曲线y=-;与 y=l公共点Z e的个数.聂+x+l设 0(x)=-;-,则。(0)=1,即当 户 0 时，两曲线有公共点.e(x+D ex(#+x+l)e-聂又 O U)=-翼-=工 7一式0(当且仅当 户 0 时等号成立)，0(x)在 R上单调递减，/.(P(x)与y=l有唯一的公共点，故曲线y=f(x)与曲线y=x+x+1 有唯一的公共点.设函数 ux)=e右一2x(x20),则 u(x)=e*+/e *2=0,：.u(x)0(当且仅当x=0 时等号成立).”(x)单调递增.当 x0 时，u(x)u(O)=O.b a 令 x=9,则得 e 2 e 2 (Za)0.a+2