2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国甲卷)理.pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科一、选择题:本题共12小题,每小题4 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021.全国甲理 1)设集合 M=x|0 x4),N=*W%W 5,则 MDN=()A.x|0 x|j B.x|x 4jC.x|4Wx5 D.x0 0,乙:是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件命题意图|考查数列性质，充分必要条件,考查推理论证能力、抽象概括能力.解 析 B当数列 如 满足g=l 0,a i=-l 时,a”=-l,S =-,S 不是递增数列；当 S n 是递增数列时,2 2 时，斯=S -S 0,0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.8.（2 0 2 1 全国甲理8）2 0 2 0 年 1 2 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6（单位:m）.三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,aC三点,且4,8。在同一水平面上的投影4；斤,0,所以-cos2a 2-sina l-2sinza 2-sma 272sinal-2sin2a 2-sina11，解得s i na=2,贝 c o s a =J 1-（；）=乎，所 以 t a na 二答.1 0.（2 0 2 1-全国甲理1 0）将 4 个 1 和 2 个 0随机排成一行，则 2 个 0不相邻的概率为（）1 2 2 4A.1 B.j C.j检题意画考查排列组合与古典概型，考查逻辑推理及数学运算能力.|解析|c 将4个1和2个0随机排成一行的总的排法为髭=15种，其中2个。不相邻的排法为熊=10种，所以2个0不相邻的概率为11.(2021 全国甲理11)已知4,8,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC，8C,AC=BC=1厕三棱锥0-A8C的 体 积 为()|命题意图|考查空间几何体的体积，球与组合体的切接问题，考查空间想象及数学运算能力.解析|A AC，BC,AC=BC=1,设01为AB的中点，连接CO|,OO1,则CO1岑 由 题 意。0 平面ABC,在R S O O C中。彷=(72-网=宗则三棱锥O-ABC的体积为g x jx lx lx y =|.【解题方法】利用直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，确定截面圆的圆心，再根据球心与截面圆圆心的连线与截面垂直，构造直角三角形,利用勾股定理求三棱锥的高后再求体积.12.(2021 全国甲理12)设函数9)的定义域为R；/U+l)为奇函数於+2)为偶函数，当xWl,2时 危 尸/+4若的)乜3)=6,则./Q)=()4A-zB.-|Dl|命题意图|考查函数的奇偶性、周期性，考查数学抽象、逻辑推理能力.|解析|D:m+1)是奇函数，.债-x+l)=处+1).:火x+2)Jx+l+l)=的x).：A 2-X)=/(1-X+1)=7(-V).：7U+2)是偶函数，孙+2)$2-x),：/(-)=小),即 fix)=Kx),.:火X)是偶函数.:*+4)M(x+2)+2=/I-(x+2)+2 守 ，函数7U)的周期为4,次 3)$1)=0.：贝)可(-1 +1)=贝+1)=力 2),忧 0)=二 穴 2).:当 1,2 时次了)二以2+，.:由,1)=0 得 a+b=0.：/0)3)=6,：0 的最小正整数x 为.鳗意国考查三角函数性质及应用，考查数形结合、数学运算能力.噩 2由图可知段）的最小正周期T=gx（詈 今=兀,.：=2.况 等）=2,.：2cos（等+加2,：（p=3+2kjt,k e Z.:7U）=2cos（2%q :信）鸣=。5）啕=太心力L由（Ax）-i）（/u）-0）0,得 y（x）0 或1 x）L结合图象可知，满足./（x）1的离y 轴最近的正数区间为（0,9,无整数；火 x）0的离），轴最近的正数区间为厚裂最小正整数x=2.【解题方法】根据三角函数的图象，求解三角函数的解析式，利用7U）的取值范围结合图象，充分利用所求x 为最小正整数这个特征，分类讨论求解.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.（12 分）（2021 全国甲理17）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计甲机床 15050200乙机床 12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附 肥=-咽 也 2-（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）P（群/0.0500.0100.001k3.841 6.635 10.828命题意图I本题考查了统计与概率中的独立性检验,考查数据分析与数学运算能力.网(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为黑=*乙机床生产的产品中一级品的频率为黑=|.(2)由题意K2的观测值,_ niad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)_400 x(150 x80-120 x50)2200 x200 x270 x130 1 0.2 5 6 6.6 3 5.所以有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.1 8.(1 2 分)(2 0 2 1 全国甲理1 8)已知数列 斯 的各项均为正数，记 S 为 斯 的前项和，从下面焚中选取两个作为条件,证明另外一个成立.继 列 斯 是等差数列;投列 居 是等差数列;a2=35注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.I命题意图快题考查等差数列的通项公式、前“项和公式,考查逻辑推理能力、数学的运算求解能力.若选3设数列”“的公差为由,数列 店 的公差为心.:当 W N*时，%0,.：a 0,2 0.叉底i=何+(-1)必，:5 =1+或(-1)2+2 7 7 2(-1)=虏层+(2 标 7 3 2-2 啰)+期-2旧 72+0,=牖,0-3=27 2-2遗戏-27?2+的=0,.：改=?,而=7五 即4=2&1,：。2 二 1+4=3。1.若 选 设等差数列 m 的公差为d.因为 a 2二 3。1,所以。+d=3 ,则 d 二 2a i,所以Sn=na+叱1=必+(止 1 )。|二 的,所 以 J Sn_ i =小分?-(小所以 疝 是首项为匹，公差为病的等差数列.若选g设数列 底 的公差为d则 后 一 叵=d,即 yci+a2-7 a1二 d.:42=30,：J4al-ya=d,即 d-y/a,；.yn=7 +(-1)“=77+(-1)77=77,即 Sn=n2ai,当?2 时,a=S-S-i=2a-(-l)2a=(2-l)ai,当 n-时,“i=Si=ai,符合式子斯=(2-l)ai,.：4=(2-l)ai,CN*,即数列 如 是等差数列.19.(12 分)(2021 全国甲理19)已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面A4序B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CCi的中点Q 为棱4 S上的点,B尸，4 5.(1)证明:5F_LQE;(2)当8点 为何值时，平面BBC。与平面OFE所成的二面角的正弦值最小？命题意图|本题考查空间几何体中线线垂直、二面角的求法，考查直观想象与数学运算能力.遮 如图，连接4 E,取B C中点M,连接BiM,EM.:E M 分别为 AC,BC 中点，.：EMAB.则点四点共面，故D E u 平面A B M E.又在侧面 B C C B 中,：NFBM=NMBiB.又/M BI8+/8IMB=90,.：ZFBM+ZBiM B=90，.:BFLMBi.又 BF_L4S,MBinA山I=BI,MBIA B|U 平面 4B|M E,.：8F_L平面 AiBME,.：BFLDE.(2):.：A/=8 尸+AB2=C7?2+BC2+A82=9.又 A/M F G+A G,.I A G n g,则 ABA.BC.如图，以8为原点,B C,A 4,8 B i为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 8(0,0,0)。(2,0,0)4(0,2,0)怎 1,1,0),下(2,0,1).则而=(11,1),丽=(-1 ,M ,2),设 D B i=t,则 Z W,2),0 W f W 2.则平面B 8 1 G C的法向量为m=(0,1,0),设平面D E F的法向量为n=(x,y,z),.(E?n=0,即y y+z =0,(ED-n=0,I%+(b l)+2z =0,：n=(l +1,3,2).3 3贝I c o s=j=,.J(l+O2+32+(2-t)2 12t 2+1 4要求最小正弦值，则求最大余弦值.当r=g时二面角的余弦值最大，则BQ时二面角正弦值最小.20.(12 分)(20 21 全 国甲理20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线l:x=交C于 尸,。两点，且OP，0。.己知点M(2,0),且。例与/相切.(1)求COM的方程；设4 4,A 3是C上的三个点，直线AA2 AA3均与。M相切.判断直线A 2A l与。M的位置关系，并说明理由.|命题意图|本题考查抛物线方程、直线与圆的位置关系，考查逻辑推理与数学运算能力.圜(1)由题意设抛物线的标准方程为产二2/”;。,当x=l时,y 2=2p,y=J .:，O P _ L O Q,.：屈=1,即 2p=,.:抛物线的标准方程为产=国。何的方程为(方2)2+尸=1.设 A i(a2,a)42(&2,Z)43(c2,c).送2：)/=总(42),即 x-(a+b)y+ab0,:直线4也 与。M相切,2+ab 一 /-1.Jl+(a+b)2C h A 3：y-a=W：(x-a 2)=x-(a+c)y+a c=0,:直线 AtAi 与 O M 相切,I2+M 二l+(a+c)2C是方程l+(a+x)=1,2即(屏 一 1 )/+2以-/+3=()的两根.-x-(b+c)y+bc=O,.：圆心(2,0)到直线。，爪的距离d=,2+bc =J i+3+c 1/+1 _ Va4+2a2+l.那 与 的 半 径 相 等,即 直 线A 2A 3与 相 切.21.(12 分)(20 21全国甲理21)已知4 0且 存1,函 数/)=如 0).(1)当a=2时，求 段)的单调区间；(2)若曲线y=#x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.寇意画本题考查利用导数研究函数的单调性及函数交点问题，考查逻辑推理与数学运算能力网 当a=2时段)=！./=2上2*-2*12这2 _ x(2-xln2)_ 历2这 哈-x)(2斤2X2X当彳6(。喘)时/()。段)单调递增，当X d (总+8)时/(X)0 时,g(x)-o o,g(e)=；g(l)=0,x +o o时,g(x)0.：()等 且 ar e.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做厕按所做的第一题计分22.(10 分)【选修 I:坐 标 系 与 参 数 方 程】(20 21 全国甲理22)在直角坐标系x O y 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2&c o s 6.(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(l,0),M 为 C上的动点，点 P满 足 而=后 隔，写出P的轨迹G 的参数方程，并判断C与 C i 是否有公共点.|命题意图|本题考查极坐标与参数方程、轨迹的参数方程，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力.网由 p2=2或pc o s。,得彳2+)2=2近 x,即(X-&)2+)2=2.(2)设 P(x,y),M(xo,yo),由 而=7 2 a M，得(x-1 ,y)=&(x o-1 ,yo),即 xo=+1 -,y o=,又点M在 C上，所以(争|或+1)2+停 y)=2,即(X+&-3)2+)2=4.则 G 是以(3-企,0)为圆心,2为半径的圆,所以C i 的参数方程为卜=1 史+2c o s 4 0 W J W 2 兀(y =2s i n 0,两圆的圆心分别为(夜,0),(3-鱼,0),半径 分 别 为&和 2,两圆心的距离是3-2&,半径之差为2-V 2,显然 3-2V 2 2-V 2,所以两圆内含，两圆没有公共点.23.(10 分)【选修45:不等式选讲】(20 21 全国甲理 23)已知函数式x)=|x-2|,g(x)=3+3|-|2x-l|.若 加+q)2g(x),求a的取值范围.I命题意图I本题考查绝对值不等式，考查逻辑推理、数学运算能力.-4,x -|,3 1g(x)=J 4%+2,-x -,47知於+)二仅+-2|=岳(2-4)|,函 数 於+4)=岳(2-4)|的图象的对称轴是直线x=2-.当即，5时 於+)2 g(x)成立.所以与,+8).2021年全国甲卷理科数学查缺补漏表题型题号考查要点学科能力学科素养查缺补漏选择题1集合的基本运算(交集)运算求解能力数学运算2统计(频率分布直方图)数据处理能力数据分析3复数的除法、乘法的运算运算求解能力数学运算4对数运算运算求解能力数学运算、数学建模5双曲线的性质运算求解能力逻辑推理、直观想象6儿何体的三视图抽象概括能力、空间想象能力 直观想象7等比数列通项公式及前 项和公式、充要条件推理论证能力逻辑推理S解三角形推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算、数学建模9二倍角公式运算求解能力数学运算10古典概型运算求解能力、抽象概括能力 数学运算、数学抽象11三棱锥与外接球推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算12函数的性质、求函数值推理论证能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算空题13曲线的切线、函数导数的几何意义运算求解能力数学运算14平面向量的数量积的应用运算求解能力数学运算15椭圆的标准方程、几何意义抽象概括能力、运算求解能力 直观想象、数学运算16三角函数性质及应用推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力直观想象、数学运算解答题17频率、2 x 2列联表、独立性检验数据处理能力、运算求解能力 数学运算、数据分析18递推数列、等差数列的基本量运算、证明推理论证能力、运算求解能力 逻辑推理、数学运算19直三棱柱几何特征、线面位置关系、二面角的求法推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算2()抛物线的简单几何性质、直线与圆的位置关系推理论证能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算21应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值、函数的零点推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力数学抽象、逻辑推理22极坐标与参数方程运算求解能力直观想象、数学运算23不等式的解法、恒成立问题运算求解能力直观想象、逻辑推理【试卷评析】2021年全国甲卷理科数学，突出对基础知识（约占60%）以及主干内容的考查.2021年全国甲卷理科数学命题注重理论联系实际,体现数学的应用价值，并让考生感悟到数学的应用之美.理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点,有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义.试题贴近生活实际，体现数学应用价值,侧重核心素养中能力的考查，如第2 题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景,通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果,以此设计问题，考查考生分析问题和数据处理的能力;第4 题，以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力;第8 题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之一三角高程测量法为背景设计，要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型，情境真实,突出理论联系实际;第18题，试题给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服 机械刷题”现象.总之,2021年高考数学全国甲卷理科试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，发挥了高考数学学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.