2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（一）（附答案).pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（一）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上；2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Z1.若复数z满足口其中i为虚数为单位,贝！|z =A.l-rB.1 +z C.-1 iD.-1 +z2.1设函数）的定义域为A,函数y =2 T的值域为B,则4 0 8 =A.(0,1)B.(0,1 C.(-1,1)D.-1 5x-y 03 .已知点4 2,0）,动点P（x y）满足 0A.1B.2C.V 2D.44 .已知a =3 4 2,Z?=l o g36,c=l o g2V 7 ,则a,b,。的大小关系为A.b a c B.a c b C.a b c D.b c a5 .已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为A.7 2 B.6点 C.；D.2夜6.2 0 2 0年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，甲工厂率先转业生产口罩.为了了解甲工厂生产口罩的质量，某调查人员随机抽取了甲工厂生产的6个口罩，将它们的质量（单位：g）统计如下图所示.记这6个口罩质量的平均数为加，则在其中任取2个口罩，质量都超过?的概率为14.9915.0015.017 93 5 824D.1 57.已知函数，(x)=g x 2-2 x +l,x e l,4,当x=a时，/(x)取得最大值b,则函数g(x)=/M的大致图象为7T 778.若函数/(x)=Asin(yx+。)(其中A0,|夕|万)图象的一个对称中心为(,0),其相邻一条对称轴方程为x=卷，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到g(x)=cos2x的图象，则只要将/(x)的图象A.向右平移J个单位长度 B.向左平移二个单位长度C.向左平移2个单位长度 D.向右平移三个单位长度6 129.已知圆C：(x-2有 产+(y 2)2=1和两点A(-肛0),0).若圆C上存在点尸，使得NAP8=90，则，的最大值为A.4 B.5 C.6 D.710.已知锐角A 48c的 内 角A,B ,C的对边分别为a,b,c,若a=l,b2+c2-h c l,则 钻C面积的取值范围是=1(。0乃0)上的三个点，直线AB经过原点。,_ _ 1 .AC经过右焦点F,若 而.恁=。，且”则该双曲线的离心率为A.B.52231 2.在平面直角坐标系xOy中，已知A,瓦，是圆,2=“2上两个动点，且满足2砾砾=_%(N*),设A，8 到直线元+G y +5 +l)=0的距离之和的最r 1 大值为句,若数列 一 的前项和5 加恒成立，则实数加的取值范围是试卷第2页，总5页3A.(-,+0 0)4r3 、B.-,+)4/、C.(,+)D.r3 、第I I卷二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共2 0分.把答案填在答题卷中横线上）1 3 .等差数列%中，q=70,d =-9,则数列中绝对值最小的项是第 项.41 4 .若三棱锥OAB C的侧棱。4 =0 3 =OC，其体积的最大值为则其外接球的表面积为.两个安全出口，疏散1（X）0名乘客所需的时间如下：1 5.地铁某换乘站设有编号为A B,C,D,E的五个安全出口，若同时开放其中的安全出口编号A,BB,CC,DD,EA E疏散乘客时间（，s）1 2 02 2 01 601 4 02 0 0则 疏 散 乘 客 最 快 的 一 个 安 全 出 口 的 编 号 是.1 6.若 函 数/（）=（%一2）1 1 1%+2分-1的图象与轴相切，且（m,为相邻整数），则 机+的值为.三,解答题：共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分.1 7.（本小题满分1 2分）7C在 八4 8。中，D 为 A B 边上一点,且D 4=）C，已知5 =，B C =.4（1）若 A BC是锐角三角形，D C =-1求角A的大小;3（2）若 8 CO的面积为二，求AB的长.1 8.（本小题满分1 2 分）如图，四边形A3C D是边长为2的正方形.A E _ L 平面3C E,且 AE=L（1）求证：平面平面A BE.（2）线段AO上是否存在一点尸，使三棱锥。一班尸的高A J 1-/?=2?若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.5A F1 9.（本小题满分1 2 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 版的包裹收费1 0 元；重量超过1 依 的 包裹，除收费1 0 元之外，超过M g的部分，每超出K g （不足1 版，按M g计算）需要再收费5元.该公司近6 0 天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这6 0 天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资1 0 0 元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将4（）.9 版）,8（1.3 版）,C（1.8 依）,D Q.5 kg）四件礼物随机分成两个包裹寄出,且每个包裹重量都不超过5 依,求他支付的快递费为4 5 元的概率.包裹件数2 0.（本小题满分1 2 分）已知函数/(x)=e*(x 2+o c+l)(a w R,=2.7 1 8.),（1）当”b 0）的离心率e =立，左、右焦点分别是用、用，a b 2以原点。为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线/：x-y +2 =。相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设 p为椭圆C上不在%轴上的一个动点，过点尸2 作OP的平行线交椭圆与M、N 两个不同的点，记，=SA”M,S=S.o”S =E+S2,求 S的最大值.（-）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。2 2.（本小题满分1 0 分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）若 相 交 于 异 于 极 点 的 点 M，求点M的极坐标（。0,0,。0）的解集为-2,2 ,求实数加的值；（2）若不等式/（x）4 2 +=+|2 x +3|,对 任 意 的 实 数 恒 成 立，求实数。的最小值.2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(一)参考答案1.A【解析】因 为 上=所以，I =z(l-z)=l+z,所以，z=l i故选A.2.A【详解】函数定义域满足：1一炉o,即所以A=x-lx 0,所以4口8=(0,1),故选：A.x-y 0部分：由图可知：点42,0)到直线片产0的距离最小，此时,2正d亚即|小|的最小值为加.故选：C4.B【解析】因为-0.2 0,且函数y=3*在R上单调递增，所以0 32 3=1,即0。1,因为函数y=log3%在(。,+8)上单调递增，且，6 3 2,所以3 3 3 _log1 log,6log332 所以51呜6 2,即5 b 2,因为函数y=log2%在(0,+8)上单调递增，且22723,所 以 咋222 10827唾2 23,所以2108273,所以l；log2 7m，gJllog2V7|l c|所以ac 0,|同 9的图象过点(2,0(-737,-1,可得A=l，-,解得：a)=2.再根据五点法作图可得1 12)4 0 12 32 +(p=7r,可得：=g,可得函数解析式为：/(x)=sin 2x+?故把/(x)=sin(2x+?)的图象向左平移展个单位长度，可得(冗 冗、y=sin|2x+：+二|=cos2x 的图象，故选 8.9.B【解析】该题的几何意义是：以AB为直径的圆与圆C交于点P且1尸。=2,而圆C上的点到原点。的距离最大值为I。1+1=5,故加最大值为5.故选：B序 斗/一M r2 _1 110.A【解析】因为Q =l,+,2历=1，所以COSA=L 土,2bc 2bc 2J T 4NA=2 ,由正弦定理得 c=一 sinBsinC,可化简为3 3,4.0.4.0 n）4.0 1 .力=-sin f 2-1 由/?c=sinBsinC=sinfisin-B=sin cosB+sin 1 1 1 乙。,十 c3 3 I 3）3 2 2 3 1 6 J 32 乃 c 冗 /s-,冗 n 乃 1 1 /口 冗 _ _ 7C 57r 1 .（cn 乃）/-B 一 得 一 B 一,从 而 得 一 25-,sin 2 B-4 13 2 6 2 6 6621 6）b c ，故选：B.41 3.9【解析】在等差数列%中，=70,1 =-9,则a“=4+（-l）d =79 9 79等差数列 凡 单调递减，令%=79-9 =0,得”=不 同=|79-9|,可得数列 ,当W 8时单调递减，当2 9时的单调递增.又6 =79-72 =7,a9=79-81 =-2所以当 =9时，|%|最小.故答案为：91 4.1 2乃【解析】由题意知，当Q 4,Q B,O C两两互相垂直时，三棱锥O-A3 C的体积最1 1 4大，所以一x x O A x O B x O C =,所以 Q 4 x O 6 x O C =8,故 OA=OB=OC=2,3 2 3三棱锥O-A B C可看成为一个棱长为1的正方体的一部分，所以外接球的半径R=SA、片+2=6,所以外接球的表面积为4万A 2=2万.故答案为：1 2 12答案第3页，总8页1 5.D【解析】同时开放4E,需要2 0 0秒；同时开放OE,需要1 4 0秒；所以。疏散比A快.同时开放AE，需要2 0 0秒；同时开放A3,需要1 2 0秒；所以B疏散比E快.同时开放A8，需要1 2 0秒；同时开放BC,需要2 2 0秒，所以A疏散比。快.同时开放BC,需要2 2 0秒；同时开放C O,需要1 60秒，所以。疏散比8快.综上所述，D疏散最快.故答案为：D1 6.1【解析】设切点坐标为($,(),工一2 9Q/(x)=(x-2)l n x+2 o r 1,/(x)=I n x H-2a=nx-F2Q+1,X X2I n 九0-F 2。+1 =0%o,整理得2 1 n%+Xo-1 =0,(x0-2)l n x0+2ax()-1 =0构造函数g(x)=2 1 n x+x 1,则函数y =g(x)在区间(),+8)上单调递增，广(%)=0明由题意得且g=0,.XO MI,m=0,=1,因此，z +=l.故答案为：1.1 7.(1)A=-.(2)+.3 3【解析】(1)在口8 8中，B =,B C =1，D C 由正弦定理得4 3B C C DsinZBDC sinB解得s i n/8O C=-=丁，所以=g或4.因为口/由。是锐角三角形，所v o 2 3 3以N B O C =.又Z M=DC，所以A =工.3 3(2)由题意可得S B c=L-6C-8O-s i n H=L,解得3。=也，由余弦定理得C02=8C2+B D2 -2BC-BD-COS巳=12 心区x 旦=?，解4 9 3 2 9得C O =或，则A B =A D+B D =C D +B D =U+史-.所以A B的 长 为 往 上 也.3 3 3答案第4 页，总 8 页1 8.(1)详见解析；(2)存在，-=一.A F 2【解析】(1)A E _ L平面B C E,8。匚平面5。,.4，8。.又因为ABC D是正方形，所以3 C _ L A B,A E A B =A,因此8 C,平面A B E.又BC u平面ABC。，.平面A B C。，平面4 5 E；(2)V AE=1.A B =2,A E工B E，：.B E =6假设线段AO上存在一点F满 足 题 意.由(1)知，平面A 5 C D J 平面A B E,平面 A B C。平面 A B E =AB.又，D A J 平面 ABE,则 ZM _ L B E.V BE AE,B E L A D，A E C A D=A,：.6 E1 平面 A DE,又 E F u平面 A DE，：.BE A.E F,-Vc-BEF=|xf|xV 3 x F x|=y F.V AD/BC,AOz平面B C E,BC u平面B CE，二A D。平面B CE，二点F到平面B CE的距离与点A到平面B CE的距离相等.L B C A _ B E,*,=x f x 2 x-s/3 x 1 =.又 VF-BCE=%-BEF，；,E F .3 1 2 ，3 3,、y 4 DF 1 /E F2=A F2+A E2,；.AF=一 .；.=-.3 A F 21 9.(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为2 60 件.(2)该公司平均每天的利润有1 0 0 0_ 3兀.【解析】(1)每天包裹数量的平均数为0.1 x 50 +0.1 x 1 50 +0.5 x 2 50 +0.2 x 350 +0.1 x 4 50 =2 60；或：由图可知每天揽50、1 50、2 50、350 4 50 件的天数分别为6、6、30、1 2、6,所以每天包裹数量的平均数为-1-x(50 x 6+1 50 x 6+2 50 x 30 +350 x l 2 +4 50 x 6)=2 6060设中位数为 X,易知 X (2 0 0,30 0)，则 0.0 0 1 X 1(X)X 2 +0.0 0 5 X(X2(X)=0.5,解得42 60.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为2 60 件.(2)由(1)可知平均每天的揽件数为2 60,利润为2 60 x 5 3x 1 0 0 =1 0 0 0(元)，所以该公司平均每天的利润有1 0 0 0 元.(3)设四件礼物分为二个包裹E、F,因为礼物A、C、D共重0.9+1.8+2.5=5.2 (千克)，礼物B、C、D共重1.3+1.8+2 5=5.6(千克)，都超过5 千克，答案第5 页，总 8 页故 E和 F的重量数分别有1.8和4.7,2.5和4.0,2.2 和4.3,2.7和3.8,3.1 和3.4 共 5 种，3对应的快递费分别为4 5、4 5、50,4 5,50 (单位：元)故所求概率为g.20.(1)函数f(x)的单调递增区间为(H。,1)和(一。一1,+8),单调递减区间为(1,一。一 1)；(2)符合题意的实数女的最大值为【解析】(1)/(x)=e (x +6 W+1)+e (2x+a)=e (x +l)(x+a+1)由 a 1 令/(x)0得 x a 1 或 x1令,尸(x)0 得 一 i x k(x+l f+e-令g(x)=e*(j?+x+1)一%(%+一e-i,g(x)0 对任意xG-1,+c o)恒成立又 g (x)=e*(x+l)(x+2)_ 2A(x +l)=(x+l)e*(x+2)_ 2A 当xN-l 时，e*(x+2)丁 =/(x+3)0,所以y=(%+2)在 T,+o o)上递增,且最小值为e，当 M We-i，即时，g (x 0 对任意x e -1,”)恒成立g(x)在-1,+8)上递增，,当 X2 1 时，g(x)g(l)=0 满足题意；(ii)当2人eT，即后 5 时，由上可得存在唯一的实数&G(-1,小),使得(而+2)2Z=0,可得当x e (1,%)时,g (x)0)焦点在X轴上，以原点。为圆心，6 r b.答案第6页，总8页椭圆C的短半轴为半径的圆与直线/x y+2=。相切,所以6=上 丝4=&,又椭圆的离心率e=6 +1a=-解得：2=4,2 22 2椭圆。的方程为：工+汇=1;4 2（2）由（1）可知：椭圆的右焦点弱（应，0）,设M（X 1,yj,N（X2,y2）-.-OP/F2M：.S.S=S|+S2=S.O M N=f。用I y-%1=*4%+1 2-4%必设直线/7:=妙+应，”x=ky+6/y2,整理得:14 2（k2+2）y2+2y2ky-2=0.%差;,%电=（十？，：.S=；造“9=2 0+1 =2 0 产=2&x-2 *+,）+1 V+1+-T=由，/+1+/,=.2,S,20XL 0,+1 2当且仅当J公+1 =7 时,即左=0时，取等号，S的最大值为加.-九22.（1）2,一k 6；（2）4737p=4sin 0,【解析】（1）由p=4sin 6+2万）（p 0,0。2乃），T J5sin 6=sin（夕 +笄）,.P=2,点 的极坐标为12，w71J；6 设A（/74，a）,B（/,a）|A 8|=|0-pB|=4sina-4sin24a-3答案第7 页，总 8 页=4 0 sin a +”4 6,|AB|的最大值为4 6.I 67323.（1）m =-（2）42【解析】试题解析：（1）由题意，知不等式|2才 0）解集为 2,2由|2x|2 m+lf得一加一工工1 +5，由题意知（|2x 1卜|2*+3 k M2v+.因为|2x-l|-|2x+3|,+N 4,即 a 2V（4-2V）对任意 y e R 都成立,则 a 2 已（4 一 2.L12/.2V+（4-2 ）而2（4 2）4 =4,当且仅当2=4_2，即y=l时等号成立，故。2 4,所以实数。的最小值为4.答案第8页，总8页