2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国乙)理.pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙)理科一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2021全国乙理 1)设 29+幻+3(23)=4+61,则 2=()A.l-2i B.l+2i C.l+i D.l-i命题意图本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题.解析 C 设 z=x+yi(x,y C R),则2=x-yi,2(z+力+3(z-5)=4x+6yi=4+6i,得 x=1 ,y=1，故 z=1 +i.2.(2021全国乙理 2)已知集合$=卜=2+1,，?eZ,T=f|f=4+1,e Z,则 SCT=()A.0 B.S C.T D.Z命题意图本题主要考查集合的基本运算,考查数学运算能力.解析 C 当 =2以 2 时,5=5卜=奴+1/2=7;当 ”=2&+l,ACZ 时,S=$|s=4k+3,&CZ,得 故S C T=T.3.(2021全国乙.理3)已知命题p:MGR,sin犬 1;命题4：立 1 心1 1,则下列命题中为真命题的是()A.p/q B.LJp 八 qC.p 人口 D.EJSVq)命题意图本题主要考查简易逻辑,考查逻辑推理能力.解析A 因为当*2%兀+云%6 2)时,sitirvl,所以命题0 为真命题；因为|x|20,而尸e”为 R 上的增函数，所以eR2e0=l,故命题q为真命题.所以p!q为真命题;IZIp/Xq为假命题;p八口 为假命题;(/?4)为假命题.4.(2021全国乙理 4)设函数式)=旨,则下列函数中为奇函数的是()A 次 B/x-l)+lC.於+1)-1 D 於+1)+1命题意图本题主要考查函数的性质，考查逻辑推理、数学运算能力.解析B函数y(x)=y=-1+窘于故该函数图像的对称中心的坐标为(-1 1).将该函数图像向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的图像对应的函数解析式为g(x)8:片 1)+1,其图像关于坐标原点对称，即为奇函数.故选B.5.(2021全国乙理 5)在正方体A B C O-4B 6U 中,P 为 B Q 的中点，则直线PB与 A A 所成的角为()AA.2H%RU JQ I un 6-命题意图本题主要考查异面直线所成的角，考查了逻辑推理能力.解析D如图，连接3G,PG.由正方体的性质可得A）iBG,故NP8 G 为直线P 8 与 4功 所成的角.设正方体的棱长为1,则 8G=&,CIP=/IG 4而 BP=y/BB+B.P2=J l2+（y）2=y,可得 CF+BPLBC3故 CyPLPB.则在R S 8 P G 中，有 sin/PB C产 鬻=DC1 L于是/P 8 G 即直线PB与A 5 所成的角等于解题方法用平移法求异面直线所成痢的一般步骤：（1）作南用平移法找（或作）出符合题意的角；（2）求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.6.（2021.全国乙理6）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60 种 B.120 种C.240 种 D.480 种命题意图本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题.解析C 先分组有髭=10种方案，再分配有10 xA*240种方案.7.（2021全国乙理 7）把函数y j x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=s in 3 的图像，则4 x）=（）A s i n（r n）B.sin 管+工）C.sin2x-j D.sin2x+3命题意图本题考查了三角函数图像的变换，考查逻辑推理能力.向左平移A个单位长度 横坐标变为原来2倍.解 析 B 逆向考虑:y=sinT）的图像 yusin（%+工）的图像 纵坐标不变y=sinQ+）的图像.规律总结图像的变换法,由函数y=s i n x的图像通过变换得到y=As i n（wx+9）的图像有两种途径:先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.8.（2 0 2 1全国乙理8）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（）AzA.gB-II呜命题意图本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.解 析B 由题意记x d （0,1 ）,y W （1,2）,题目即求x+y：的概率.画出可行域（如图阴影部分），故巴 2=纪1x1 32 32,9.（2 0 2 1.全国乙理9）魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点 H,G在水平线AC上,OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”,EG称为“表距”,GC和E H都称为“表目距”,GC与E H的差称为“表目距的差”，则海岛的高A 8=)A：表高X表距表目距的差+表高B.-表高表高X表距表目距的差c辑:鬻+表距 D.普嘉 表 距表目距的差 表目距的差命题意图本题考查了直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.解析A 如图，连接FQ并延长交AB于点M,则FM AB,AB=AM+BM.设 NBDM=a,1仞=,则 NBHE=a,NFCG=6,c MB _.d 1 1)_.D(GC EH_.D GC-EH D F=M F-MD=-M B、-/=MB -)M B ,tan/?tana tan/?tana FG ED J ED.M R二DF DE _ EG DE _ 表距x 表高 一 G C-EH=G C-EH=表目距的差人K二表高x 表距 一表目距的差+表高.1 0.(2 0 2 1 全国乙理1 0)设。#),若冗二。为函数段)=(工-)2(工-。)的极大值点,则()A.ah C.aba2命题意图本题主要考查函数的极值，考查了逻辑推理、数学运算能力.解析 D 因为 J(x)=a(x-a)2(x-。),所以 f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)(2x-2b)+(x-a)=a(x-a)3x-(a-2b)=3a(x-a)-由,1(%)=0,解得x=a或x=.若 0,则由x=a为函数凡)的极大值点，可得一 。,化简得ba.此时在区间l oo,审 和3,+8)内J3 0,函数危)单调递增.此时。(功)0,即 a2 0,则由x=a为 函 数 的 极 大 值 点 可 得 化 简得 a 0,函数加)单调递增;在区间(4,土罗)内/(%)0,函数於)单调递减.此时(。功)0,即 a1ab.综上可得 2 0)的上顶点，若 C上的任意一点P都满足|P B|2 6,则 C的离心率的取值范围是()AQ)B.河c(。百 以 0周命题意图本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题.解析C由题意，点 8(0力).设 P(x o,y o),则置+患=1,得诏=次(1 一 患),.PB2=X1+(yo-b)2=a2(L-患)+yo-byo+b2=-7o-byo+a1+lr,yo G -b,b.由题意知当加=心时|尸3|2最大，.：。瓦得从2。2,即.：离心率0=工率即e 4 0,争.c i 2.2 J12.(2021全国乙理 12)设 a=21n 1.01 力=ln 1.02,。=-1,则()A.abc B.bcaC.bac D.caln 1.02=6,.：排除A,D.令.x)=ln(l+x)-“l +2 x-l)j 旬 0,则大0.02)=ln 1.02-(A/T04-1)=/?-(?.2 _ Vl+2x-(l+x).*)一,一 24+2X-(l+x)dl+2x当 x20 时,l+x=J(1+x)2=V1+2x+x2 7 1+2x,.：F(x)W0,且F(x)不恒为 0.忧x)在区间 0,+00)上单调递减，.忧0.02)*0)=0,即 b-c0bc.令 g(x)=21n(1 +x)-(V 1+4x-1 ),x0,则 (0.01)=21nl.01-/L04-1)a-c.-o(x=-4=2后或-(1+刈*J 1+x 2Vl+4x(l+x)Vl+4x 当 0Wxg(0)=0,即 a-c0,.ac.综上可得,acA.：选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分 洪20分。13.(2021全国乙理13)已知双曲线c l-V E O 。)的一条渐近线为伍+阳=。，则C的焦距为.命题意图本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，考查分析问题、数学运算能力,属于基础题.解析4由双曲线方程可知其渐近线方程为*土y=。，即丫=上看3得吊二看 解 得 力=3.可得C的焦距为 2 7 m+1=4.14.(2021全国乙理 14)已知向量 a=(l,3),b=(3,4),若(a-2b)_Lb,则 2=.命题意图本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题.解析|由已知得,aUb=(l-32,3-4,由(a-2b)_Lb,得 3(1-32)+4(342)=0,即 15-257=0,解得 2=|.规律总结L巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化:向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.15.(2021全国乙理15)记的内角A,B,C的对边分别为“力,c,面积为U,B=60,/+/=3讹,则b=.命题意图本题主要考查正弦定理、余弦定理，考查数学运算、逻辑推理能力.解析2夜 由题意可知 B C的面积S=、csin60=百,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为 8=60,由余弦定理可得。2=a2+c2_2“ccosB=12-2x4xcos60=8,所以 b=2a.16.(2021全国乙理16)以图为正视图,在图8玲中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).图图 图命题意图本题主要考查三视图，考查直观想象、逻辑推理能力.解析 或 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，侧视图只能是或若侧视图为如图，平面P B C L平面A B C,A B C为等腰三角形(8 C为底边)，俯视图为若侧视图为如图(2),P8 J_平面ABC,AB=BC,俯视图为解题方法画三视图的三个规则：(1)画法规则产长对正、宽相等、高平齐”.(2)摆放规则:侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.(3)实虚线的画法规则:可见轮廓线和棱用实线画出，不可见的线和棱用虚线画出.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(2021全国乙理17)(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：10.3 10.()10.2 9.99.810.0 10.1 10.2 9.710.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5I日设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为亍 和 歹，样本方差分别记为受和s2求五歹用词;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-元2 2下 ,则 认 为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).命题意图本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,考查了运算能力,属于基础题.解(1)由题中数据可得，元=也(9.8+1 0.3+1 0.0+1 0.2+9.9+9.8+1 0.0+1 0.1 +1 0.2+9.7)=1 0,y =-1 x(1 0.1 +1 0.4+1 0.1 +1 0.0+1 0.1 +1 0.3+1 0.6+1 0.5 +1 0.4+1 0.5)=1 0.3,s2 =_ LX(9.8-1 0)2+(1 0.3-1 0)2+(1 0.0-1 0)2+(1 0.2-1 0)2+(9.9-1 0)2+(9.8-1 0)2+(1 0.0-1 0)2+(1 0.1-1 0 +(1 0.2-1 0)2+(9.7-1 0)2 =0.0 36;si=x (1 0.1-1 0.3)2+(1 0.4-1 0.3)2+(1 0.1-1 0.3)2+(1 0.0-1 0.3)2+(1 0.1-1 0.3)2+(1 0.3-1 0.3)2+(1 0.6-1 0.3)2+(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.4-1 0.3)2+(1 0.5-1 0.3)2=0.0 4.(2)因为歹一元=1 0.3-1 0=0.3,2 手 票=2 J-=2 V 0,0 0 7 6 0.1 7 4,所以9一元2序i,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.1 8.(2 0 2 1 全国乙理1 8)(1 2分)如图,四棱锥P-A 2 C O的底面是矩形，尸D _ L底面A 8 C D P O=Z)C=1,M为8c的中点，且PBLAM.求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.命题意图本题考查空间距离、二面痢，考查了直观想象、逻辑推理的能力.解(1)连接BD.；P D上底面A8C2AMU底面ABCD,.PDVAM.:PBD,.A MB D.：N A O 8+N O A M=9 0 .又N Q A M+N M A 3=9 0 ,.ZA DB=ZMA B,IRlDABsRtABM,如图，以D为原点，万?，万，万F分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得 4(2,0,0),B(,0),例 件,1,0),尸(0,0,1),族=(-鱼,0,1)而=(-y,l,0),BM=(-y,0,0),5 P=(-V 2,-l,l).设平面AM尸的一个法向量为m=3,y i,z i),则|机_ _ 即72-y/2x1+Z i =0,m AM=0,(-彳1+%=0,令即=&,则 =1*=2,可得111=(企,1,2).设平面BM P的一个法向量为n =(X 2,y 2,Z 2),同理可得n=(0,l,l).设二面角 A-PM-B 的平面角为。，则 s i n l-c o s2 =Jl4 =詈.19.(2021 全国乙理19)(12分)记Sn为数列 小 的前项和，儿为数列S”的前项积.已知+二=2.3 n S t(1)证明:数列 仇)是等差数列；(2)求 斯 的通项公式.命题意图本题考查数列的递推公式，等差数列的判定，数列通项公式,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.证明当=1时为i=S i,易得当 心2“n bn故 仇 是以I 为首项4 为公差的等差数列.(2)解易得 41=S1=%1=|.由G)可得“詈 由 9?2 可得S“啜当 心 2 时4=S,$尸 誉-f=-悬 国 显 然 G 不满足该式.故 an=1I-,n 2.I n(n+l)J20.(2021全国乙理 20)(12分)设函数於)=ln(-x),已知x=0是函数 尸 式 c)的极值点.求。；(2)设函数 g(x)=，？：),证明:g(x)1.命题意图本题考查了导数的综合应用,主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数,转化为证明函数的取值范围问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题.(1)解由题意x)的定义域为(-8,4).令 p(x)=_y/(x),则 p(x)=xln(a-x)MC(-8,a),p(x)=ln(a-x)+x-=ln(a-x)+高.因为x=0是函数尸可危)的极值点，则有p(0)=0,即 lna=0,所以a-.当 a=l 时,p(x)=ln(l-x)+m，且“(0)=0,当 x0,当 0cx1 时,p(x)0,所以当a=l时,x=0是函数y=0(x)的一个极大值点.(2)证明由(1)可知 x)=xln(1 -x),要证x+fMxf(x)1,即需证明x+ln(Lx)xln(l-x)因为当 x(-oo,0)时Kln(l-x)v0,当 xe(0,l)Bt,xln(l-x)xln(l-x),P x+(l-x)ln(l-x)0.令 h(x)=x+(l-x)ln(l-jc),x 1,则 3=(1 x)-+1 -ln(l-x)=-ln(l-x),所以勿(0)=0,当工(-8,0)时”(幻0,所以x=0为(x)的唯一极小值点，也是最小值点,所以当x e(-8,0)u(0,l)时,/z(x)(0)=0,即x+l n(1 -x)x l n(1 -x),所 以 需 詈 1,所以x+f(x)xf(x)0)的焦点为F,且尸与圆M:x2+(y+4)2=上点的距离的最小值为4.求P；(2)若点P在M上,PA,P8是C的两条切线力,3是切点，求 PA 8面积的最大值.命题意图本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.(2)由(1)知，抛物线的方程为炉=4),即旷=/,则y=7：x.设切点A(x ,y i),8(%2,y 2),则易得直线/夕人:广冷人-*直线3：产 会 亭,从 而 得 到 户(,设直线/：尸区+联立抛物线方程，消去y并整理可得f-4-4b=0,63+16/?0,即 3+/?0,且x i +%2=4XX2=-4。,.：PQk,-b).：|A8|=J l +、2.(X1+不)2-4%1%2=V1+k2 7 16 k?+16b,点 P 到直线 A B 的 距 离=华 山,1 3,：丁 苫|明仁4(炉+型 又点 P(2A,-b)在圆 M:/+(y+4)2=l 上，3故 尸=喑，代 入 窈.=4(此 A)：而%=G-5,-3,.：当 b=5 B+,(S AP A8)m a x=20V5.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(2021全国乙理22)选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,O C的圆心为C(2,l),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；(2)过点尸(4,1)作。C的两条切线，以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.命题意图本题主要考查圆的参数方程,直角坐标方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题.解(1)O C的参数方程为俨=：c o s?矽为参数)j.十 sin(7(2)OC的直角坐标方程为(x-2)2+()，-1=1.当直线斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离4=2,有 d r(r 为 圆 C的半径)，不合题意，舍去；当直线斜率存在时,设直线方程为y-l=A(x-4),化简得履-)，-4好 1 =0,此时圆心C(2,l)到直线的距离=件 丝 工=_ j B L,由=r=l,得 2|J t|=V/c2+1,旧+1 Jk2+1两边平方得4 k2=k2+1,解得A=土与代入直线方程并化简得x-V3 y+73-4=0或 x+Vy-乃-4=0,化为极坐标方程为p c o s 6-V/?s i n e=4-或 p c o s 0+V3 p s i n 0=4+V3.23.(2021 全国乙理23)选修45:不等式选讲(10分)已知函数式X)=|x-“|+|x+3|.(1)当”=1 时，求不等式/(x)26的解集；(2)若求a的取值范围.命题意图本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.解 当 a=l 时，由式x)2 6 可得|x-l|+|x+3 26.当x W-3 时,不等式可化为l-x-x-3 26,解得x W-4;当-3 r l B 寸,不等式可 化 为 1.+%+3 26,解得 0；当xNl时,不等式可化为1+犬+3 6,解得;-。,则 ftx)tma-a.因为-a,即 a+3 a 或 a+3 -a,解得 a G (-|,+8).故a的取值范围为(-|,+o o Y2021年全国乙卷理科数学查缺补漏表题型题号 一考查要点学科能力学科素养查缺补漏选择题一1复数的加减法运算、共聊夏数运算求解能力数学运算2集合的基本关系(真包含)和基本运算(交集)运算求解能力数学运算3命题的真假和逻辑联结词推理论证能力、运算求解能力 数学运算、逻辑推理4函数的奇偶性及图像平移变换运算求解能力数学运算5正方体中异面直线所成的角空间想象能力、运算求解能力 直观想象、数学运算6有限制条件的排列组合问题推理论证能力、运算求解能力 逻辑推理、数学运算7三角函数图像的平移变换运算求解能力、推理论证能力 数学运算、逻辑推理S几何概型抽象概括能力、运算求解能力 直观想象、数学运算9解三角形及数学文化运算求解能力、创新能力数学运算10函数的极值运算求解能力数学运算11椭圆的性质（定点和离心率）推理论证能力、运算求解能力 逻辑推理、数学运算12构造函数比较大小运算求解能力、创新能力数学运算、数学建模二13双曲线的几何性质（渐近线和焦距）运算求解能力数学运算14平面向量坐标运算运算求解能力数学运算15应用正弦定理、余弦定理解三角形运算求解能力数学运算16三视图空间想象能力、抽象概括能力 直观想象续 表逆里题a考查要点学科能力学科素养查缺补漏17平均数、方差的求解及应用数据处理能力、运算求解能力数学运算18空间线线、线面垂直的性质、二面角空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算19由4,与&的关系式求数列的通项公式、等差数列的证明运算求解能力数学运算2()应用导数研究函数的单调性和极值、导数与不等式的证明推理论证能力、运算求解能力数学抽象、逻辑推理、数学运算21抛物线的简单几何性质、抛物线与圆、抛物线与直线运算求解能力逻辑推理、数学运算22极坐标与参数方程运算求解能力数学运算23绝对值不等式的解法、恒成立问题、分类讨论思想运算求解能力数学运算、逻辑推理【试卷评析】2021年全国乙卷理科数学，突出对基础知识（约占50%）以及主干内容的考查，如函数与导数（27分），立体几何（22分），解析几何（22分），概率统计（17分）,三角函数与解三角形（15分）、数列（12分）.试题落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针,聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用.试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则;倡导理论联系实际、学以致用,关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现数学的应用价值，如第6 题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力;第9 题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作 海岛算经中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感受到我国古代数学家的聪明才智.