2021年普通高等学校招生全国统一考试·全国甲卷（理科数学）.pdf
2021 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学一、选择题:本题共1 2小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 .设集合 M=x 1 0 x4,N=x|江 xM5,则 MCIN=A.x|0 x B.x|x4C.x|4Wx0,乙：Sn 是递增数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年 1 2月 8 日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C 三点,且A,B,C 在同一水平面上的投影A,B,C 满足NA C B=45,NA B C,=60.由 C 点测得B 点的仰角为1 5,BB与 CC的差为1 00;ffiB点测得A点的仰角为45,则 A,C两点到水平面A B C的高度差AA-CC约为(V31.732)A.346 B.373 C.446 D.4739.若(0,-),tan 2a ,则 tan a=2 2-sin aA.丑 BYCY D.小15 5 3 31 0.将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行,则2 个 0 不相邻的概率为A-B.-C.-D.i3 S 3 51 1 .已知A,B,C 是半径为1 的球0 的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥0-ABC的体积为A*B.在 C*D.立12 12 4 41 2.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数，当 x 6 1,2时,f(x)=ax2+b.若 f(0)+f(3)=6,则 fg)=A.-B.-C.-D.-4 2 4 2二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分，共 20分.1 3.曲线丫=桀在点(T,-3)处的切线方程为.1 4.已知向量 a=1),b=(l,0),c=a+kb.若 ac,则 k=.1 5.已知Fl,F2为椭圆C:捻+g l 的两个焦点,P,Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点,且|P Q|=|F1 F2|,则四边形lo 4P F1 QF2的面积为1 6.已知函数f(x)=2cos(3x+(p)的部分图象如图所示,则满足条件(f(x)-f(-9)(f(x)-f(y)0的最小正整数 x 为K7三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.1 7.(1 2 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了 200件产品,产品的质量情况统计如下表：一级二级合计品 品甲机1 50 50 200床乙机1 20 80 200床合计 270 1 30 400(1)甲机床.乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附 K2-n(ad-bc)2P”.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 0.0 0.0 0.0Nk)50 1 0 013.8 6.6 1 0.k41 35 8281 8.（1 2 分）已知数列 an 的各项均为正数,记Sn为 an 的前n 项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列 an 是等差数列;数列 宿 是等差数列;a2=3al.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.1 9.（1 2 分）已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1 中,侧面AA1 B1 B为正方形,AB=BC=2,E,F 分别为AC和 CC1 的中点,D为棱A1 B1 上的点,BF_LA1 B1.证明:BF_LD E;(2)当 BID 为何值时,面BB1 C1 C与面D FE所成的二面角的正弦值最小?20.(1 2 分)抛物线C 的顶点为坐标原点0,焦点在x 轴上,直线1 :x=l交 C 于 P,Q 两点,且0P 0Q.已知点M 0),且。M 与1 相切.求 C,O M 的方程；设 Al,A2,A3是 C 上的三介点,直线A1 A2,A1 A3均与。M 相切.判断直线A2A3与O M 的位置关系,并说明理由.21 .(1 2 分)已知 a0 且 al,函数 f(x)=(x0).ax(D 当 a=2时，求 f(x)的单调区间；(2)若曲线y=f(x)与直线y=l有且仅有两分交点,求a 的取值范围.(二)选考题:共1 0分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(1 0分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为p=2&cos 0.(I)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;设 点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满 足 点=&AM,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数 f (x)=|x-2|,g(x)=|2x+31|2xT|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象；(2)若f (x+a)Ng(x),求a的取值范围.4
