第26讲 指对共生式技巧之切线放缩（解析版）.docx

第二十六讲指对共生式技巧之切线放缩知识与方法当要证明的不等式中既含有优，又含有Inx时，一般我们形象地称之为指对共生式，这 类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双 函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有：1X(1)+(2) ex> ex ； (3) 1 < lnx< x-1 ；(4) lnx< .在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将，或Inx放缩掉，再来证明不 等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向.注意：解题中若要用不等式+ 产20、1-1等进行放缩，需要先 x给出证明.由于本节会反复用到这些不等式，为了避免繁琐的重复论证，本节所给的答案中， 以上不等式直接用易证代替.典型例题【例1】证明：e' > 2x + In x.i (e-2x-【解析】证法 1：易证 e, Nex ,设 /(%) = ex-2x-nxx > 0),则 ff(x = e-2=-x x所以1(X)< 0 = 0 < x < ，1(%) > 0 = x > , e 2e 2( ( 从而/(x)在0,二上单调递减，在一二,+8上单调递增,I e-2)(e-2)故=l ln=In e(e-2) > 0 ,所以6 > 2x + In x ,从而 ex之 ex > 2x + In x ,故 e' > 2光 + In x . 证法 2：易证 lnx<x-l , i(2x + lnx<2x + (x-l) = 3x-l , 设“x) = "3x + l(x>0),则广= e“3,/ 、 一 、所以m =,，因为恒成立，所以。故实数。的取值范围是-,+ooV 炉人 ax e，e_e)OO(yIn vA(2)证法 1：当 7时,/(x) = aex -xlnx> - -ex-xlnx = 2ex2 -xnx = ex2 2- ，e-e"I" J下面证明噜0,只需证2峪 >0, e )e当Ovx<l时，显然二<0,所以不等式2 =>0成立，下面证明当x>l时该不等式 I/-2也成立，令(司=2-普则/(%)=里艺二学二1, ex -exr(x) = xln x - In x -1 (j;> 1),贝ij /(x) = lnx + l- - , r"(x) =，+ 4>0 ,所以/(x)在(1,+8)上单调递增,又/=0,所以当>1时，/(力>0,从而一(力在(l,+oo) 上单调递增，又广= ln2-l<0,)=6-20,所以r(x)在(1,+00)上有唯一的零点% , 且小£(2,e),当 x£(l,%o)时，r(x) <0 ,所以/z'(x)<0,当 x £(%,+8)时,r(x) >0 ,所以 /(x)>0 ,从而力在(l,x0)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，故 始需=碎°) = 2-*，又一(Xo) = XolnXo_lnXo_ l = O,所以毛二一, /T代入式得(力2 一高产=2 “ +由 天2 可得 1<1 + ! / T<2 , 0<<1 ,所以力国)=2-i+q工0 1/v>0 ,从而*-2g) = 2 - 要>0,综上所述，对任意的无>0,都有2 吗0,所以giR 半0, 然一21 j2 J又当"之之时，/(力=/-2(2 坐,所以另>0. e-k e )_22证法 2：当 a 2 =时，/(x) = aex - xln x> - -ex-% In x = 2ex2 - xn x，ee-22易证 ，所以易I -xlnx> 2ex2,令() = 2，"(x>0),eee2x 2(e'T - x)则 ux) = 2ex-2- - = ,易证+ 所以，-七1，从而/(九)之0,故"(X)在(0,+8)上单调递增，又"=彳>0,所以(60恒成立，因为所以力>0. e10.已知函数/(x) = exx -+ l)(x> 1) , (x) = (x-l)lnx,其中e为自然对数的底数.(1)若恒成立，求实数4的取值范围；(2)若取(1)中的最大值，证明：/(%)>g(x).【解析】解法1：由题意, Q(X+1)ZO = Q<exlx+1设 7z(x) =(N),则小)=卢三。，(x + 1)所以(x)在1,+00)上单调递增，从而11(/2(X)min=Ml)=L 因为QW/2(X)恒成立，所以故实数的取值范围是-ooj 2212解法 2：由题意，/(x) = Z-,-tz, x>l,当KI时，广(同20恒成立，所以/(力在1,+8)上单调递增，从而/(x)m,n=1) = 1 2q,因为/(x”0,所以1一2。20,解得：当 q>1时，/'(x)>0ox>l + lna , /'(a:) <0<=>l<x<l + lntz , 所以在1,1 +ln)上单调递减，在(1 +In +oo)上单调递增, 故/(x)min =/(l + lnQ)= Q-Q(l + lnQ)= -alna<0 ,不合题意， 综上所述，实数。的取值范围是1-00.I 2解法3：由题意,-6Z(X+1)>O<=>6Z<eAlx+1易证，。+ 1,所以/-px,当且仅当X = 1时取等号,u 而 、Xx + 1 1 11 1 11从而>=1> 1=-,x + 1 X +1x+1X+11 +12"I 11又当x = l时，所以"的最小值为 x+1 2 x+12因为“二恒成立'所以故实数0的取值范围是00 2(2)证法 1 ：由题意，a = ；, f(x)= 1 _x；，所以 “x)2g(x) = evT ->(x-l)lnx ,易证 llnx4九一1 ,所以当 时，(x-l)lnx<(x-l，下面证明"-J W“x 以，只需证广/丁-3x + 3,即证2厂3： + 3., 2 v 722ex-l设。（力=2%；于3a训,则心）=（2x；）,（：-2）,33所以 0'(x)>Oo <x<2，0'(x)<O<=>l<x< 或x>2，从而9（x）在1=上单调递诚,_ 2）。（2）等 1所以0（x）4l ,即当xNl时，2厂3x + 3在-,2上单调递增，在（2,+oo）上单调递减,（21)2，因为(x l)2 2(x-l)lnx ,所以 e'j _2(x_l)lnx ,故/(x)2g(x) 成立._f + 1证法 2：设(%) = (x>l),则/(x) =2e|-<0,所以“（X）在1,+8）上为减函数,又“1） = 1,所以"（X）W1恒成立，从而故6厂七号1所以Y-(x-l)lnx = (jr-1) nx设 v(a:) = - - In j;(x>1), 则 vr(x)=-=- 22 x所以 M(x) >0 o x> 2 , vr(x) <0 <=> 1 < x< 2 ,从而4x)在1,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，v(x)>v(2)= l-ln2>0,故 x)Ng(%).所以 /(x)-g(x)>(x-l) -Inx 1 = (x-1)v(jc)>0所以 ''(x)0 = xln3 , /<(x)<0<=>0<x<ln3,从而/(x)在(On3)上单调递减，在(ln3,+oo)上单调递增,故 f(x)>/(In3)= 4-31n3 = ln>0所以 e* > 3% 1,从而 ex> 3x -1 > 2x + In x ,故 ex > 2x + In x .一YX (证法 3：一方面，InxW ,所以 2x + lnxV2x + = 2 + - x , ee I ej另一方面，ex > ex ,显然当x>0时,ex> 2 + x,I e)_( n所以2 + x22x + lnx,I e)ex > 2x + In x.变式 对任意的x>0,证明：xex > 2jc + Inx .【解析】证法1：易证当且仅当x = 0时取等号，所以当>0时，xex>x(x+)9令 /(x) = x(x + l)-2x-lnx(x>0), 则 /=2x7 I=(2x+ l)(x 9 XX所以(x)>0ox>l, 1(%) vOoOcxvl,从而/(九)在(0,1)上单调递减，在(L+oo)上单 调递增，故 /=0,即 x(x +1) > 2x + lnx,又 x/ >x(x + l)，所以 xe" > 2x + lnx .证法2：易证In,当且仅当x = l时取等号，所以2x + lnxW 2% + (%-1) = 3%一1,设 f(x) = xex -(3x-l)(x>0),则 /r(x) = (x + l)ev -3 , /"(x) = (x +2)，> 0 ,故/(力在(2、 5 25f - 9(0,+oo)上单调递增，又(0)= 2<0, f - =-e-3 = - e3->0,所以尸(力在k 3 J 33,5 ,7(o,+oo)上有唯一的零点玉,且。</<-,当工£(。,/)时，yz(x)<o,当元£优,+8)时,/r(x)>0,从而/(x)在(0,飞)上单调递减,在(%,+8)上单调递增，故 x)min ="%) =玉*-(3/-1),又1(%) = (/ +1)* - 3 = 0,所以*=-_,工0 +1/(x0) = x0Z°-(3x0-l) = -(3x0-l) = %()+-(3x0-l) = 4-3 + x0 =7 - 3从而+ % + 1、X°+15( 341(i A令yF+1,则IvivL且尤o) = 7-3 , + -，易得2v, +晨生，所以一 <7 3,+ - <1 ,3I，J/155I1J故/(工0)>。, 从而/(X)。，故 xe'>3x 12 2x + lnx, 所以 xe" > 2x + lnx .证法3：易证当且仅当x = 0时取等号，所以当>0时，xex >x(x+l), 另一方面，lnx<x-l,所以21+ 111%<21+ (工一1) = 3%一1,而 x(x + l)-(3x-l) = (x-l)2>0 ,所以 x(x +1)之3x-l ,从而xex>x(x +1)> 3x-l > 2x + lnx ,故 xex > 2x + In x .【反思】看到指对共生结构，可以考虑运用切线放缩把指数放掉，也可以考虑把对数放掉, 当然，如果条件允许，两个都放掉就更简单了.例 2已知函数 /(x) = Inx-xex+ axg R).(1)若/(x)在1,+8)上单调递减，求实数a取值范围；(2)若4 = 1,求/(X)的最大值.【解析】(1)由题意，/'(x) = L-(尤+1)，+4<0在l,+oo)上恒成立，从而Q4(x + l)e'-，XX设 g(x) = (x + l)/则 g，(x) = (x + 2)/+J>0,所以 g(x)在l,+oo)上单调递增, XX( 二 (x + l)ex1%7故g(x)min =屋1) = 2"1，因为恒成立，所以故实数a的取值范围为 (-co, 2e-l.(2)解法 1：当 q = 1时，/(%) = nx-xe" +x(x>0), /"(x) = -(% +l)eA设力(力一/(冗>0),则(司=二 一 e" <0,所以/z(x)在(0,+8)上单调递减，又 =2-五>0, /z(l) = l-e<0 ,所以/i(x)在(0,+oo)上有唯一的零点 七,当)£(O,%o)时,h(x)>0,所以/'(力>0,故外力在(0,%)上单调递增,当工£伍,+8)时,/z(x)<0,所以/'(x)<0,故/(X)在(工0，+°°)上单调递减，从而/ (x)mx = / (犬0) = In / -犬00% + % ,又力(工0) = ' - * = 0 ,所以ex(>=,两边取对数得:lnx0=一/，故/(Xo) = lnxo -/源+/=一/一 % + x0=-1,即)的最大值为一1玉)解法 2：设 0(K)=/一1一1,则”(力=，一1,所以 “(x)>0 = x>0 , 0'(x)<Oox<O, 从而9(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，故夕而口 =9(0)= 0,所以9(司20, 故 / 2 x +1,当 a = 1 时，/(x) = nx-xex+ x = nx- elnx -eA + x = nx- ex+in x +xlnx-(x + lnx+l) + x = -l当且仅当x + lnx = 0时等号成立，设(x) = x + lnx(x>0),则/(x) = l+，>0 ,故(x)在 X(0,+oo)上单调递增，结合 -=-1 <0 , =1>0知在(0,+oo)上有零点,即方程x + lnx = O 有实根，所以 /(x)max=-1.【反思】我们不只要学会运用+ l这一切线放缩，它的变形济(、)之0(月+ 1也要会运 用；若要利用切线放缩求最值，一定要验证等号能取到.强化训练1.函数y(x) = l±l!H (x>0)的最大值为 X【解析】解法1：由题意，r(x) = 坐，所以r(x)>OoO<x<l ,尸(x)<O = x>l, X从而外力在(0,1)上/,在(1,+8)上、,故=1.解法2：易证lnx<x-1,所以二上电竺J +当且仅当x = l时取等号，故XX【答案】12,函数/(1)=山工+工一收''1的最大值为.1 (【解析】由题意，r(x) = L + l (% + 1)/”=(% + 1)上一,x>0, X XJ设g(* =，"+依>0),则/(x) = - <0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递减， XX(1 AH又g =10-1。>0, g=1 /<0,所以g(x)在(0,+8)上有唯一的零点七,且当 0<%<不时，g(x) >0 ,所以/'(x)>0,当 x>Xo 时、g(x)<0,所以/'(x)<0,从而/(x)在(Ox。)上单调递增，在(%,+8)上单调递减，故 / (Hmax = / (%。)= 1口 /。”，因为4%) = '_*+|=0,所以*+=-1,两端取对数得：x0+l = ln = -lnx0,从而*0X。*0In% =%-1 ,代入式得：/(x0) = -x0 -l + x0 -x0 = -2,故心x=-2.xo解法2：由题意,/(x) = lnx + x 加川=lnx + x *戈0川=lnx + x ，易证+ 当且仅当x = 0时取等号，所以*E+iN(lnx + x + l) + l = lnx + x+2, 从而 In x + x < In x + x - (in x + x + 2)= -2 ,当且仅当 In 无+ x + l = 0 时取等号，容易验证该等号能成立，所以光)3=-2.【答案】-23 ,函数/() = - + lnx-x的最小值为X(x I)，- 1(x l)(v 1 x易证ev2x + l,所以。之1,【解析】由题意尸(*)= 故 e“T-x20,从而 r(x)>O = x>l , r(x)<O = O<x<l,所以/(x)在(0,1)上.,在 。,+8)上/,故l = i)=o.解法2：由题意，x-后！/(x) =+ Inx-x = e x - eA'l + Inx-x = elnx - eA'l + Inx- x = eA'lnxl + gx-x易证，" + 1,当且仅当x = 0时取等号，所以Inx l) + l = x Inx从而 f (x) = eV lnA 1+lnx-x>%-lnx + lnx-A： = 0,当且仅当 x-lnx-l=0 时取等号，此时【答案】04 .证明：(x-l)e' -lnx>-g.【解析】证法 1：易证lnx<x 1,所以(x-l)/-lnx2(x-l)e' = (x 1乂/ 一1),下 面证明(1_1乂产_1)_',设 f(x) = (-l)(ev-l),则(力=y _ 1 + (%_ 1)/ =必、_ 1, fx)= (x +1.0 ,所以r(x)在(0,+oo)上单调递增，又/口=巫1<0,尸=e 1>0,所以广在(0,+o)上有唯一零点小,且,</<1,、2 J 22当工£(0,%)时，/,(%) <0 , /(X)单调递减；当工£说,+8)时，/,(x)>0 , /(%)单调递增, 所以/(x)min =/(%)=国一1)G -1)，又(%) = "" - 1 =。，所以*0从而/(%)=国1) xo= 2-(1)X。+一I x0),因为一<工0<1,所以2<Xod< ,从而x02< f(/)v0 ,故 f (x)> ,所以(x l)/ -lnx2 f (x)> ,从而(x_l)ev _ Inx一耳. 证法 2：易证InxWx-l,所以(x l)/lnxN(x l)e"-(1-1) = (1-1乂，一1),下面证明当 xNl 时，（x 1）（产一1）20>工；当0 v x v1时，(x-(ex -1) >o，-1 < !- o / < !- o ex <- exex > 1 , 八 )22(x-l)2(x-l)2(1) 2(x-l)设则/（x）二 2（x 1）2(2x-l)(x-2)1i(i A(iA所以广(x)>0o <x<l，/'(x)<0o0<x<，故/(x)在0,上单调递减，在一 22I2) 2>上单调递增,a>1,故卷三示-、>1,所以（1乂/一1）综上所述，不等式（x-“夕-1）>对任意的1>0恒成立，所以（-1）/-lnx>5 ,不等式/，-QnxZx + l对任意的x>l恒成立，则实数。取值范围为().A.(8,1 eB.(oo,2 /C. (oo,2D. (oo,3【解析】 当 x>l 时， 广"QinxNx + loalnxWx-%'-x-io-, Inx因为工与产1 1 = */ 1 = 6九一IN" 31nx+l) x + l = 31nx,所以上二创吧=-3,当且仅当x 31nx = 0,即lnx = 2时等号成立，nx Inx34 -3 x、-3 x 从而 厂"-1=-3,因为,二7T恒成立,所以43.I Inx JminInx【答案】D6 .已知函数f/（x） = aex -Inx,其中e为自然对数的底数，q£ R.（1）若函数/（x）在1,2上是增函数，求a的取值范围；（2）若Ova<l,求证：/（x）>2 4-ln«.【解析】（1）由题意，f（x） = aex-,因为/（力在1,2上增函数，所以（工”0在1,2 X上恒成立，即在1,2上恒成立，从而qNL,显然函数=工,在1,2上是增函 xxeA数，所以从而上<二<,因为“21，所以2工，故实数。的取值范围 2e xex exexeuri ）ZE , +8 1e ；（2）解法1：当0<avlH寸，/"（）=叱+4>0,所以r（x）在（。,+s）上单调递增,X7 .已知函数 /(x) = lnx-afl八1(x )/,(x) = aex - - > ae"一1 = 0,所以尸(x)有唯一的零点玉,当Ovxv/时,/'(%) <0 ,当兀/时,/'(x) >0 ,从而“X)在(0,%0)上单调递减，在(,+00)上单调递增，故x)min =/(%o) = e" - lnx0,111因为/'(工0)=。*=。，所以一，两边取对数得：x0+ In6Z = In一 = -lnx0,X。X。X。代入式可得/(x0) = + x0 +>2 -x0 + In 4 = 2 +In a,所以 /(x) > 2 + Inez.*0V %解法2：易证炉Nx + 1,当且仅当x = 0时取等号，lnx<x-l,当且仅当x = l时取等号，所以当Ovavl时,f(x) = aex -nx = ena -ex -nx = eAna -lnx>(x + ln + l)-(x-l) = 2 + lntz,取等条件是 x + lna = 0 ,且 x = l,即 q = L BP f (x) > 2 + In . e(1)若x)20,求的取值集合;(2)证明：ex + >2-lnx + (e-2)x. x【解析】(1)由题意，1(同='+一!=£, x>o, X y X ) X当时a<0, r(x)>0,所以力在(0,+8)上单调递增,结合/=。可得当(0,1)时,/(x)<0 ,不合题意；当 a>0 时，/r(x)> 0<=>x>6z , /(x)<0o0vxvq,所以/(x)在(0,a)上单调递减，在(q,+oo)上单调递增，从而/(X)而口 =/()= In。+ 1-4，故若/(尤)>0恒成立,则lna + 1 -心0，设= lna + l (Q>0)，则 It (ci = - = -,所以 /f(4)>0 = 0<4<l ,a a/?'(Q)<0 = Q1 ,从而/l(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，故/l(6Z)max=人。)=0 ,所以lna + 1 a40，由可得只能lna + 1 a = 0,且。=1,所以q的取值集合为1.(2)证法1：易证当%>0时，ex> ex,所以+x x设 g(x) = ex + ,-(2-ln+(3-2)x) , x>0 ,Xw /、1，/、11 (x + l)(2x - l)则 g(x) = + 2x-2 + lnx, g (x) = -7 + 2 + - = -,XXXg'(x)<0<=>0 vx< ,从而g(%)在0,；上单调递减，在1g,+8(1 A1上单调递增，故 g(x)2g - =2 + l-2 + ln- = l-ln2>0, 2以 ex H > 2 lnx + (e 2)%，又 e* H N exd， 所以 e' H > 2 lnx + (e 2)x. XXX证法2：所以 2 - In % + (e - 2)x K 2 1-1+ (e-2)x 1 HF(e -2)x ,X)X易证当 x>0 时，ex >x + l,所以 e' +，>(x + l) +，,XX而(x + 1)h1 HF (e - 2)x =(3 - e)x > 0 , 所以(x + 1)h> 1HF(e-2)x,X X)X X从而 e' H > (x + 1)h > 1HF(e 2)x 2 2 lnx + (e 2)x ,故 cx - > 2 - In x + (e 2)x.XX XX8 . (2013 新课标n卷)已知函数x) = e，-ln(x +间(1)设x = 0是x)的极值点，求机并讨论了(x)的单调性；(2)当加42时，证明：/(x)>0【解析】(1)由题意，f(x = ex, x>-1,x + m因为x = 0是f (%)的极值点,所以/(0) = 1-1 = 0,解得:m故/'(x) = e1 (x +-1x+1x+1令 4(x) = (x + l)e' -1,则/(x) = (x + 2)ev > 0 ,所以在(-1,+8)上单调递增,又(0)= 0 ,所以当 一1 <x v0时，"(x) <0 ,故(x) <。；当尤>0 时，"(X)>0 ,故广(X)> 0 , 从而“力在(-1,0)上单调递减，在(。,+00)上单调递增.(2)证法 1：当加工2 时，/(x) = ev -ln(x + 7H)>ev -ln(x+2),令 g (x) = ex -ln(x + 2),则 g'(x) = ev1 (x + 2)e' 1x + 2 x + 2令 /z(x) = (x + 2)v -l(x>-2),则 /(x) = (x + 3)e' > 0 ,所以(x)在(一2,+oo)上单调递增,结合(一 1) = ,一1<。, 力(。)=1>。知存在唯一的与使(毛)=。且毛 £(一1，°), e当-2Vx时,A(x) <0,所以 g'(x)<0,当 时,所以 g'(x)O,从而g(x)在(-2,玉)上单调递减,在(%,+8)上单调递增，故g(x)而口 =g(%o) = * - 1乙(%+ 2)，因为715)=(/+2)/。-1 = 0,所以两边取对数得：x0=-ln(x0+2), xo + 2代入得：g(玉)=一(一%)(%()+?)0 ,所以 g(x)o, gp ex -ln(x+ 2) > 0 ,因为当机工2时，/(x)>-ln(x + 2),所以%)>0.证法 2：当/n42 时，- In ( a:+ m) > ex - In (x + 2),下面先证，>x + l ,令 g(x) = e" x lR),则 g'(x) = e" 1 , 所以 g'(x)<0ox<0 , gx)>0 = x>0 ,从而g(x)在(-8,0上单调递减,在0,+00)上单调递增,故g(x)而n =g(0) = 0'所以g(x)O,从而e-x + 1,当且仅当x = 0时等号成立,Ir _i_ 再证 ln(x + 2)Wx + 1,令力(x) = ln(x + 2) x l(x>2),则 /z'(x) =1 = 一一，x + 2A- + 2所以 “(x)0o-2<x<1 , (x)<O = x>-l,从而/z(x)在(一2,-1)上单调递增，在 (-1,+8)上单调递减,故/z(x)max =(-1)=。，所以力(1】0,故ln(x + 2)x + l,当且仅当 x = -时等号成立，综上所述，有ln(x+2)<x + l«/,且两个等号不能同时成立，所以ln(x + 2)</,故 ex -ln(x + 2)>0 ,因为当机 <2 时，f (x) = ex - In (x + m) > ex - In (x + 2),所以 /(x) >0.9 .设函数/(x) = aex -xlnx,其中(1)若”在定义域上是增函数，求实数。的取值范围;7(2)若证明：/(x)>0 e【解析】(1)解法1：由题意，/(力=叱-Inx-l(x>0),且r(x)20恒成立，所以心电匕1 ex1+1-1-lnx令g(x) = *x>0),则短(力=一当Ovxvl时,1 >0 , InxvO,所以g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上单调递增, x当 x>l 时，-l<0, lnx>0,所以 g'(%)<0,故 g(i)在(L+oo)上单调递减, xmax从而屋力帆;名二' 因为(“恒成立，所以故实数的取值范围是-解法2：由题意，r(x) = 6zev-lnx-l(x>0),且尸(x”0恒成立，所以心里±1, eA且当=1 时，曰、< 一 c)、i lnx + 1 (x l) + l x , x易证 lnxx l, e >ex ,所以<=< 一=