第26讲 指对共生式技巧之切线放缩（学生版）.docx

第二十六讲指对共生式技巧之切线放缩知识与方法当要证明的不等式中既含有靖，又含有Inx时，一般我们形象地称之为指对共生式，这 类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双 函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有：|X(1)+(2) ex> ex； (3) 1 < In x < x -1 ； (4) In x < .在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将，或Inx放缩掉，再来证明不 等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向.注意：解题中若要用不等式+1-1等进行放缩，需要先x给出证明.由于本节会反复用到这些不等式，为了避免繁琐的重复论证，本节所给的答案中， 以上不等式直接用易证代替.典型例题【例1】证明：ex> 2% + lnx.变式对任意的x>0,证明：xex >2x + lnx .例 2已知函数 jf(x) = Inx-xex+ ax (q w R).(1)若在L+oo)上单调递减，求实数取值范围;(2)若4 = 1,求/(X)的最大值.强化训练1 .函数力=匕区(%>0)的最大值为. X2 .函数/(x) = lnx + x-xv+,的最大值为.3 .函数= - + In x - x的最小值为.4,证明：(x-l)e"5,不等式不"-alnxNx + l对任意的x>l恒成立，则实数。取值范围为().A. (-oo,l -eB. (-oo,2-e2C.(-oo,-2D.(-oo, -36 .已知函数= Inx,其中e为自然对数的底数，aeR.(1)若函数在1,2上是增函数，求的取值范围；(2)若 Ovavl,求证：f(x)>2 + lna .( S7 .已知函数x) = lnx + a1 ,其中q$R /(1)若/(x"0,求的取值集合；(2)证明：ex + >2-lnx + (-2)x.X8 . (2013 新课标H卷)已知函数= -ln(x +根)(1)设x = 0是的极值点,求加并讨论力的单调性;(2)当相<2时，证明：/(x)>09 .设函数 /(x) = aex -xlnx,其中 6z e R(1)若"x)在定义域上是增函数，求实数。的取值范围;(2)若证明：/W>010 .已知函数=一(x + l)(xNl) , g(x) = (x-l)lnx,其中e为自然对数的底数.(1)若/(x"0恒成立，求实数4的取值范围；(2)若4取(1)中的最大值，证明：/(x)> g(x).