全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数.doc

2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数 一、选择题1.（2013 年高考课标卷（文）已知函数,下列结论中错误的是（）AR,B函数的图像是中心对称图形C若是的极小值点,则在区间上单调递减D若是的极值点,则【答案】C 2.（2013 年高考大纲卷（文）已知曲线421-128=yxaxaa在点，处切线的斜率为，（）A9B6C-9D-6【答案】D 3.（2013 年高考湖北卷（文）已知函数()(ln)f xxxax有两个极值点,则实数a的取值范围是（）A(,0)B1(0,)2C(0,1)D(0,)【答案】B 4.（2013 年高考福建卷（文）设函数)(x xf f的定义域为R R,)0 0(0 00 0 x xx x是)(x xf f的极大值点,以下结论一定正确的是（）A)()(,0 0 x xf fx xf fR Rx x B0 0 x x 是)(x xf f 的极小值点 C0 0 x x 是)(x xf f 的极小值点D0 0 x x 是)(x xf f 的极小值点【答案】D 5.（2013 年高考安徽（文）已知函数3 32 2()f f x xx xa ax xb bx xc c 有两个极值点1 12 2,x x x x,若1 11 12 2()f f x xx xx x ,则关于x x的方程2 23 3()2 2()0 0f f x xa af f x xb b 的不同实根个数为（）A3B4C5D6【答案】A 6.（2013 年高考浙江卷（文）已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y=f(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是3 32 2()f f x xx xa ax xb bx xc c 0 0 x x 0 0()0 0f f x x()y yf f x x 0 0 x x()f f x x()f f x x0 0(,)x x 0 0 x x()f f x x0 0()0 0f fx x 【答案】B 二、填空题7.（2013 年高考广东卷（文）若曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴,则a _.【答案】12 8.（2013 年高考江西卷（文）若曲线1yx(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则=_.【答案】2 三、解答题9.（2013 年高考浙江卷（文）已知 aR,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax()若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;()若|a|1,求 f(x)在闭区间0,|2a|上的最小值.【答 案】解:()当1a 时,32()266(2)1624124f xxxxf,所 以2()6126(2)242466fxxxf,所以()yf x在(2,(2)f处的切线方程是:46(2)680yxxy;()因为22()66(1)66(1)6(1)()fxxaxaxaxaxxa 当1a 时,(,1,)xa 时,()yf x递增,(1,)xa时,()yf x递减,所以当 0,2|xa时,且2|2a,0,1,2|xaa时,()yf x递增,(1,)xa时,()yf x递减,所以最小值是32223()23(1)63f aaaaaaa;当1a 时,且2|2a,在0,2|xa时,(0,1)x时,()yf x递减,1,2|xa时,()yf x递增,所以最小值是(1)31fa;综上所述:当1a 时,函数()yf x最小值是233aa;当1a 时,函数()yf x最 小值是31a;10.（2013 年高考重庆卷（文）(本小题满分 12 分,()小问 5 分,()小问 7 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为VADCB立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000元(为圆周率).()将V表示成r的函数()V r,并求该函数的定义域;zhangwlx()讨论函数()V r的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx【答案】11.（2013年高考陕西卷（文）已知函数.()求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;()证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.()设ab,比较与的大小,并说明理由.【答案】解:()f(x)的反函数,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k=.()e,xf xxR2112yxx2abf()()f bf abaxxgln)(1)g.过点(1,0)的切线方程为:y=x+1()证明曲线 y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.因此,所以,曲线 y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)()设 令.,且.所以 12.（2013 年高考大纲卷（文）已知函数 32=331.f xxaxx(I)求 2f;ax时，讨论的单调性;(II)若 2,0,.xf xa时，求 的取值范围【答案】()当-2a 时,32=-3 231.f xxxx 2()36 23fxxx.1(1)gx1(x)gk1212xxy则令,121121)()(22Rxxxexxxfxhx0)0(,0)0(0)0(,1)()(,1)(hhhexhxhxexhxx，且的导数单调递增时当单调递减时当)(0)(0;)(0)(0 xhyxhxxhyxhx0)(,0)0()(xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以1212xxy)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(xxxexexxgxexxxg)1(1)21(1)(,0,)2(2)(则）上单调递增，在（的导函数0)(所以,0)11()()(xgexexxgxgxx,0)0(,),0()(0)(.0)0(gxgxgg而上单调递增在，因此0)(),0(xg上所以在,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当0)(2)2()2(aabeabeabababafbfbfaf)()(2)()(,ba时当令()0fx,得,121x,221x.当(,21)x 时,()0fx,()f x在(,21)是增函数;当(21,21)x时,()0fx,()f x在(21,21)是减函数;当(21,)x时,()0fx,()f x在(21,)是增函数;()由(2)0f得,54a .当54a ,(2,)x时,2251()3(21)3(1)3()(2)022fxxaxxxxx,所以()f x在(2,)是增函数,于是当2,)x时,()(2)0f xf.综上,a 的取值范围是5,)4.13.（2013 年高考辽宁卷（文）(I)证明:当20,1sin;2xxxx时，(II)若不等式3222 cosx40,12xaxxxxa对恒成立，求实数 的取值范围.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】14.（2013 年高考四川卷（文）已知函数22,0()ln,0 xxa xf xx x,其中a是实数.设11(,()A xf x,22(,()B xf x为该函数图象上的两点,且12xx.()指出函数()f x的单调区间;()若函数()f x的图象在点,A B处的切线互相垂直,且20 x,证明:211xx;()若函数()f x的图象在点,A B处的切线重合,求a的取值范围.【答案】解:()函数()f x的单调减区间为)1,(,单调增区间为)0,1(,),0()由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为)(1xf,点B处的切线斜率为)(2xf,故当点,A B处的切线互相垂直时,有)(1xf 1)(2xf,当x421bbb,(0)1fb,所以存在1(2,0)xb,2(0,2)xb,使得12()()f xf xb.由于函数()f x在区间(,0)和(0,)上均单调,所以当1b 时曲线()yf x与直线yb有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线()yf x与直线yb有且只有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,).17.（2013 年高考课标卷（文）(本小题满分共 12 分)已知函数2()()4xf xe axbxx,曲线()yf x在点(0,(0)f处切线方程为44yx.()求,a b的值;()讨论()f x的单调性,并求()f x的极大值.【答案】121()()24.(0)4,(0)4,4,8,4;fxe axabxffbabab（I）由已知得故从而(II)由(I)知,2)4(1)4,xf xexxx（11()4(2)244(2)().2xxfxexxxe 令1()0=-1n2x=-2.fxx 得，或 从而当11(,2)(10;(22,),1 2)()xnfxxnfx 当时，（时，0.故()-2-1 2+-2-1 2f xnn在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减.当2=-2-2=4 1-)xf xfe时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.18.（2013 年高考天津卷（文）设 2 2,0 0 a a ,已知函数3 33 32 2(5 5),0 03 3,0 0(,).2 2x xf fa ax xx xa ax xx xx xx xx xa a ()证明()f f x x在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;()设曲线()y yf f x x 在点(,()(1 1,2 2,3 3)i ii ii ix xf f x xi iP P 处的切线相互平行,且1 12 23 30 0,x x x xx x 证明1 12 23 31 13 3x xx xx x .【答案】19.（2013 年高考福建卷（文）已知函数()1 1x xa af f x xx xe e (a aR R,e e为自然对数的底数).(1)若曲线()y yf f x x 在点(1 1,(1 1)f f处的切线平行于x x轴,求a a的值;(2)求函数()f f x x的极值;(3)当1 1a a 的值时,若直线:1 1l l y yk kx x 与曲线()y yf f x x 没有公共点,求k k的最大值.【答案】解:()由 1 1x xa af f x xx xe e ,得 1 1x xa af fx xe e .又曲线 y yf f x x 在点 1 1,1 1f f处的切线平行于x x轴,得 1 10 0f f ,即1 10 0a ae e ,解得a ae e.()1 1x xa af fx xe e ,当0 0a a 时,0 0f fx x ,f f x x为 ,上的增函数,所以函数 f f x x无极值.当0 0a a 时,令 0 0f fx x ,得x xe ea a,l ln nx xa a.,l ln nx xa a ,0 0f fx x ;l ln n,x xa a ,0 0f fx x .所以 f f x x在 ,l ln na a 上单调递减,在 l ln n,a a 上单调递增,故 f f x x在l ln nx xa a 处取得极小值,且极小值为 l ln nl ln nf fa aa a,无极大值.综上,当0 0a a 时,函数 f f x x无极小值;当0 0a a ,f f x x在l ln nx xa a 处取得极小值l ln na a,无极大值.()当1 1a a 时,1 11 1x xf f x xx xe e 令 1 11 11 1x xg g x xf f x xk kx xk k x xe e ,则直线l l:1 1y yk kx x 与曲线 y yf f x x 没有公共点,等价于方程 0 0g g x x 在R R上没有实数解.假设1 1k k ,此时 0 01 10 0g g ,1 11 11 11 11 10 01 1k kg gk ke e ,又函数 g g x x的图象连续不断,由零点存在定理,可知 0 0g g x x 在R R上至少有一解,与“方程 0 0g g x x 在R R上没有实数解”矛盾,故1 1k k .又1 1k k 时,1 10 0 x xg g x xe e ,知方程 0 0g g x x 在R R上没有实数解.所以k k的最大值为1 1.解法二:()()同解法一.()当1 1a a 时,1 11 1x xf f x xx xe e .直线l l:1 1y yk kx x 与曲线 y yf f x x 没有公共点,等价于关于x x的方程1 11 11 1x xk kx xx xe e 在R R上没有实数解,即关于x x的方程:1 11 1x xk kx xe e (*)在R R上没有实数解.当1 1k k 时,方程(*)可化为1 10 0 x xe e,在R R上没有实数解.当1 1k k 时,方程(*)化为1 11 1x xx xe ek k .令 x xg g x xx xe e,则有 1 1x xg gx xx x e e .令 0 0g gx x ,得1 1x x ,当x x变化时,g gx x 的变化情况如下表:x x ,1 1 1 1 1 1,g gx x 0 0 g g x x 1 1e e Z Z当1 1x x 时,m mi in n1 1g g x xe e ,同时当x x趋于 时,g g x x趋于 ,从而 g g x x的取值范围为1 1,e e .所以当1 11 1,1 1k ke e 时,方程(*)无实数解,解得k k的取值范围是 1 1,1 1e e.综上,得k k的最大值为1 1.20.（2013 年高考湖南（文）已知函数 f(x)=x xe ex x2 21 1x x1 1 .()求 f(x)的单调区间;()证明:当 f(x1)=f(x2)(x1x2)时,x1+x20 时 f(x)f(-x)即可.1 1)1 1(1 11 11 11 11 1)()(2 22 22 22 2x xe ex xx xe ee ex xx xe ex xx xx xf fx xf fx xx xx xx x .1 1)2 21 1()(0 0,1 1)1 1()(2 22 2 x xx xe ex xx xg gx xx xe ex xx xg g令令.,0 04 4)2 21 1()(1 1)2 21 1()(2 22 22 2 x xx xx xxexee ex xx xh he ex xx xh h令令 0 0)0 0()(0 0)(h hx xh hx xh hy y）上单调递减）上单调递减，在（在（0 0)0 0()(0 0)(g gx xg gx xg gy y）上单调递减）上单调递减，在（在（.0 00 00 0 1 1)1 1(1 12 22 2 y yx xx xe ex xx xe ey yx xx x时时）上单调递减，但）上单调递减，但，在（在（)()(0 0)()(x xf fx xf fx xf fx xf f .0 0)()(2 21 12 21 12 21 1 x xx xx xx xx xf fx xf f时，时，且且所以，当所以，当 21.（2013 年高考广东卷（文）设函数xkxxxf23)(Rk.(1)当1k时,求函数)(xf的单调区间;(2)当0k时,求函数)(xf在kk,上的最小值m和最大值M,2321fxxkx【答案】(1)当1k 时 2321,4 1280fxxx 0fx,f x在R上单调递增.(2)当0k 时,2321fxxkx,其开口向上,对称轴3kx ,且过0 1，(i)当24124330kkk,即30k时,0fx,f x在,kk上单调递增,从而当xk时,f x 取得最小值 mf kk,当xk 时,f x 取得最大值3332Mfkkkkkk .(ii)当24124330kkk,即3k 时,令 23210fxxkx 解得:221233,33kkkkxx,注意到210kxx,(注:可用韦达定理判断1213xx,1223kxxk,从而210kxx;或者由对称结合图像判断)12min,max,mf kf xMfkf x -kk3kx k 32211111110f xf kxkxxkxkx f x的最小值 mf kk,232322222222=10f xfkxkxxkk kkxkxkk f x的最大值32Mfkkk 综上所述,当0k 时,f x的最小值 mf kk,最大值32Mfkkk 解法 2(2)当0k 时,对,xkk,都有32332()()(1)()0f xf kxkxxkkkxxk,故 f xf k 32332222()()()(221)()()10f xfkxkxxkkkxkxkxkxkxkk故 f xfk,而()0f kk,3()20fkkk 所以 3max()()2f xfkkk,min()()f xf kk(1)解法 3:因为2()321fxxkx,22(2)4 3 14(3)kk ;当0 时,即30k时,()0fx,()f x在R上单调递增,此时无最小值和最大值;当0 时,即3k 时,令()0fx,解 得22223363kkkkx或22223363kkkkx;令()0fx,解 得233kkx或233kkx;令()0fx,解得223333kkkkx;因为223033kkkkk,2232333kkkkkk 作 f x的最值表如下:x23,3kkk233kk2233,33kkkk233kk23,3kkkk()fx00()f xZ极大值极小值Z32kk则23min(),3kkmf kf,23max(),3kkMfkf;因为22222333313333kkkkkkkkfk 3222(26)3927kkkk;3223222(26)1832(26)318()32727kkkkkkkkkkff k 2480279kk,所以23min(),()3kkmf kff kk;因为22222333313333kkkkkkkkfk 3222(26)3927kkkk;2322332(26)395427()327kkkkkkkkffk 32322352(26)3652(26)33650420272727kkkkkkkkkk;所以233max(),()23kkMfkffkkk;综上所述,所以mk,32Mkk.22.（2013 年高考山东卷（文）已知函数()设,求的单调区间()设,且对于任意,.试比较与的大小【答案】2 2()l ln n(,)f f x xa ax xb bx xx x a a b bR R 0 0a a )(x xf f0 0a a 0 0 x x ()(1 1)f f x xf f l ln na a2 2b b 当0a 时函数()f x的单调递减区间是 23.（2013 年高考湖北卷（文）设0a,0b,已知函数()1axbf xx.()当ab时,讨论函数()f x的单调性;()当0 x 时,称()f x为a、b关于 x的加权平均数.(i)判断(1)f,()bfa,()bfa是否成等比数列,并证明()()bbffaa;(ii)a、b的几何平均数记为G.称2abab为a、b的调和平均数,记为H.若()Hf xG,求 x的取值范围.【答案】()()f x的定义域为(,1)(1,),22(1)()()(1)(1)a xaxbabfxxx.当ab时,()0fx,函数()f x在(,1),(1,)上单调递增;当ab时,()0fx,函数()f x在(,1),(1,)上单调递减.()(i)计算得(1)02abf,2()0babfaab,()0bfaba.故22(1)()()2bababbffabfaaba,即 2(1)()()bbfffaa.所以(1),(),()bbfffaa成等比数列.因2abab,即(1)()bffa.由得()()bbffaa.(ii)由(i)知()bfHa,()bfGa.故由()Hf xG,得()()()bbff xfaa.当ab时,()()()bbff xfaaa.这时,x的取值范围为(0,);当ab时,01ba,从而bbaa,由()f x在(0,)上单调递增与式,得bbxaa,即 x的取值范围为,bbaa;当ab时,1ba,从而bbaa,由()f x在(0,)上单调递减与式,得bbxaa,即 x的取值范围为,bbaa.