2024届广东高三第一次调研考试数学试卷+含答案.pdf

数学参考答案第 页（共 页）启用前注意保密广东省 届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号答案二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分题号 答案 三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 槡 （前空 分，后空 分）四、解答题：本题共 小题，共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解：（）设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，分?解得 ，分?所以 （），（）分?（）由（）知 ，所以 （）（）()，分?所以 ()（），即数列 的前 项和 （）分?（）证明：如图，分别取 ，的中点为 ，连接 与 交于点 ，连接 ，则点 为 ，的中点分?数学参考答案第 页（共 页）又点 为 的中点，则 且 ，所以四边形 是平行四边形，分?在正三棱柱 中，平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，所以 平面 分?又 平面 ，所以平面 平面 分?（）解：【方法一】设 ，则 ，所以 槡 ，槡 为等腰三角形，易求得边 上的高为槡，所以 的面积为 槡槡槡 分?的面积为 槡 槡 分?设平面 与平面 的夹角为 ，则由射影面积公式可得 槡槡槡又 ，所以 ，即平面 与平面 的夹角为 分?【方法二】如图，建立空间直角坐标系 ，设 ，数学参考答案第 页（共 页）则 ，()，()，槡，()，所以 （，），（槡，）设平面 的一个法向量为（，），则由 ，槡 ，可取（，）；分?又平面 的一个法向量可取为 （，）分?设平面 与平面 的夹角为 ，则 槡 槡又 ，所以 ，即平面 与平面 的夹角为 分?解：（）因为 ，则 ，分?所以 ，即 ，得 （）（）分?所以 或 （）（不成立，舍去），分?从而 ，又 ，所以 分?（）由（）知 ，又 是锐角三角形，则，得 分?因为 槡 槡 ，所以 分?设 ，因为 ，所以 （）槡 ()槡 ()分?因为，则 ，所以 ，(，从而 ，），即 ，槡），所以边 的取值范围是 ，槡）分?数学参考答案第 页（共 页）解：【方法一】（）将 张空白券简记为“白”，将 张奖券简记为“奖”，率先摸券的一方获胜，分包括以下几种情况：双方共摸券 次，出现“奖白奖”“白奖奖”“白白白”这三种情形，对应的概率为 ；分?双方共摸券 次，出现的恰好是“三白一奖且前三次必定出现一次奖券”，对应的概率为 ；分?故先摸券的一方获胜的概率 ，分?因为，所以这场游戏规则的设置不公平分?（）由题意可知 的可能取值为 ，分?所以（），（），（）（）（），分?所以 的分布列为：分?【方法二】将张空白券简记为“白”，将张奖券简记为“奖”，则张券的摸出顺序有 种：“白白白奖奖”“白白奖白奖”“白白奖奖白”“白奖白白奖”“白奖白奖白”“白奖奖白白”“奖白白白奖”“奖白白奖白”“奖白奖白白”“奖奖白白白”分?依题意，游戏结束时参与双方摸券的次数与胜方依次为：“次、先摸方胜”“次、先摸方胜”“次、后摸方胜”“次、先摸方胜”“次、后摸方胜”“次、先摸方胜”“次、先摸方胜”“次、后摸方胜”“次、先摸方胜”“次，后摸方胜”分?（）设事件 ：先摸券的一方获胜，则 （），所以 （）（）（），分?数学参考答案第 页（共 页）因为，所以游戏规则的设置不公平分?（）由题意可知 的可能取值为 ，分?且 （），（），（）分?所以 的分布列为 分?解：（）由 （），得 （），即 （）分?则 （），令 ，得 或 分?由 （），解得 或 ；分?由 （），解得 分?所以函数 （）在 ，上的单调递增区间为，单调递减区间为，分?（）由（）知，（）在 处取得极小值，在 处取得极大值又 （），()，()，（），则 （）()（）()分?若()，则 （），故 （）在（，）内单调递增，从而 （）在（，）内无极值，不合题设，所以()；分?若 （），当 ()时，（）在（，）内至多有一个极值点，不合题设；当 ()时，（）在（，）内有三个极值点，不合题设数学参考答案第 页（共 页）所以（）分?所以()，（），解得 分?此时 （）()（）()，则存在唯一 ，()，使得 （），当 （，）时，（），（）单调递增；当 ，()时，（），（）单调递减，则 （）在 取得极大值；存在唯一，()，使得 （），当 ，()时，（），（）单调递减；当 （，）时，（），（）单调递增，则 （）在 取得极小值综上，所求 的取值范围是 ，）分?（）证明：由题可知 ，()若直线 ，有一条斜率不存在，则另一条斜率为 ，其中点分别为直线与 轴的交点、原点，过此两点的直线 方程为 分?若直线 ，的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为，由题，可设直线 的方程为 （），直线 的方程为 （）分?联立 （），消元 ，整理得（）（），设，()，()，则 ，（），分?从而 ，即 ，()；分?同理 ，()分?所以 ，数学参考答案第 页（共 页）则直线 的方程为 ()，分?整理得 ()，即直线 过定点，()，直线 也满足过定点，()综上，直线 过定点，()分?（）解：由（）可得 （）（）（）（）分?令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号从而 在 ，?）上单调递增，当 ，即 时取得最小值 分?所以（），即当 时，取得最大值为 分?