2021年高考数学全真模拟卷（广东专用）1月卷（解析版） (三).pdf

备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷 1月卷第五模拟一、单选题1.已知集合“=6力 丁+2%-3,0,=-2,0,1,则g N=()A.-2,-1 B.-3,-1 C.2,0,1 D.-3,2,-1,0,1)【答 案】B【分 析】先求出集合M,然 后 求 出&N即可.【详 解】因 为 例=xe Z|X?+2x 3效。=xe Z|3 A?1=3,2,1,0,1,N=-2,0,1,所以 g N =3,1.故选：B.【点 睛】本题考查补集的运算，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.已 知 忖=2,h=(m,3),卜&=则“。包=5 是“机=4”的()A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答 案】B【分 析】利 用已知结合。力=5求 出 能=4,由 机=4”可 推 出 加=4，而 加=4 不 能 推 出“机=4”得出答案.【详 解】b=(/,3),；.W=yjnv+9,a-b=|a|-|z?|-c osa,/?-2xy/m2+9 x-5，解 得 机=+4则“。包=5 是 m=4 的必要不充分条件故选：B【点 睛】本题考查充分必要条件的应用，考查平面向量数量积的定义，属于中档题.3.若 函 数/(x)=(sinx)ln(JZ工+为 是 偶 函 数，则 实 数。=()7tA.1 B.0 C.1 D.一2【答 案】c【分 析】由已知&y =sinx是奇函数可得：y=ln(A/W+a+x)是奇函数,利用奇函数定义列方程可得:I n(jx?+a )=I n+a+x),整理得解.【详 解】所 以 如(102+a x)+ln(Jx?+a+x)=0,所以 ln(%2+a-%2=0,所 以I na=0,所 以a=1,故选：c.【点睛】本题主要考查了奇函数定义及分析能力，还考查了计算能力，属于中档题.4.1 l +2 x的展开式中/），2项的系数是（）A.420 B.-420 C.1680 D.-1680【答案】A【分析】（l +2 x 司 表示的是8个1 +2%一,相乘,要得到沙，则其中有2个因式取2 x,有两个因式取-其余4个因式都取1,然后算出即可.【详解】+表示的是8个l +2x.相乘，要得到x2y2，则其中有2个因式取2 x,有两个因式取-楙其余4个因式都取1所以展开式中/卜2项的系数是以2 2。：（一g =4 2 0.故选：A【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.5.自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4 支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为()1121A.-B.-C.-D.36918【答案】D【分先确定4 支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方所有情况数，再确定甲、乙都在武汉情况数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】4 支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共仃=C；=36种情况,甲、乙都在武汉共加=2 种情况，.2=4，n 18故选:D【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函 数/(x)=(3+3 T)xlg W 的图象大致为()【答案】D【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可.【详解】函数的定义域为 x|xw O ,/(一%)=(3*+3-)*怆 凶=/(幻，则函数f(x)为偶函数，图 象 关 于 轴 对 称，排除5,当x l时，/(%)(),排除A,当0 x l 时,/(%)0)的焦点为凡 准线为1,A,8是抛物线上的两个动点，且满足乙4所=(,设M N线段A8的中点M在/上的投影为N,则匕叶的最大值是()A.1 B.C.D.22 3【答案】A【分析】设|A/q=a,|8尸|=。，由抛物线定义，梯形的中位线定理，得2|A/N|=a+b,再根据余弦定理得A B=a2+b2-a b,结合基本不等式求得区目的范围，从 而 得 的 最 大 值.【详解】设|A/q=a,|8尸|=b,连接过A作准线/的垂线，垂足为Q,过8作准线/的垂线，垂足为P,由抛物线的定义得：|AE|=|AQ|,|8b|=|8P|,则2 1 MN 卜|AQ +B P =a +b.则在A48/中，由余弦定理可得：|A5=|AE+|3尸一2|=,ilij|A B|2=a2+b2 ab=(a+b)2-3ab(a-b)2-3(；，=(；，,a+b,.|MN|因此恒却2 一万一二眼叫，即黄 0时，/(X)=-.则下列结论正确的是().A.当x 0 时，/(x)=-eA(x+l)B.函数/(x)在 R 上有且仅有三个零点C.若关于X的方程/(6 =加 有 解，则实数的取值范围是/(一2)4 加4/(2)D.VA,x2e R,|/(X2)-/(X,)|2【答案】B D【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】一X-1令 x 0,所以/(x)=/1=-e(x+l)=/(x),得/)N 3 4，所以选项 A 错误;观察在 0时的图象，令 r(x)=eX(%+l)+e=e(x+2)=0,得了二 一 2,可知/（X）在（F,-2）上单调递减，在（-2,0）上递增，且在（一 8,1）h,/（x）0,在（$上，/（x）0,由此可判断在（-8,0）仅 有 个零点，由函数的对称性可知/（X）在（0,+8）上也有-一 个零点，又因为/（0）=0,故该函数有三个零点，所以选项B正确：由图可知，若关于大的方程/（%）=有 解，则所以选项C 错误；由图可知，f。）的值域为（一 1,1）,所以对V%，w e R,|/（）一/（王）|2 恒成立，所以选项D正确.故选：B D本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.1 0.己知。力,ce R,则下列命题正确的是（）A.若。且。/?,则B.若 则/a bC.若。匕0,则 也 2 D.若 c。且 4C 0,贝！J历22。+1 a【答案】B CD【分析】举出反例可判断A；由不等式的基本性质可判断B、D；通过作差法可得。e+1）34+1）,再由不等式的基本性质即可判断C.【详解】对于A,当。二-1,。=1时，满足次?声0 且。/?,此时故A 错误；a b对 于 B,若则2 0 ,JliJ a(b+l)-b(a+l)=a-b 0 ,所以。伍+l)b(a+l),所 以 空%故 c 正确；a+a对于 D,若c /?a 且a c 0,则c 0 。，所以0,be2 /?=-5 万，5 J2，V，-237,C 错误;*=3 4 凡则由,孚?,2、3 Jn-B D 0n-DC=0设平面B D G的法向量为n=（x,y,z）,则，解得=(6,-1,同,故。1凡=0,故 /?平 面B0 G，。正确故 选：ABD.【点 睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.第 H 卷（非选择题）请 点 击 修 改 第I I卷的文字说明三、填空题1 3.已 知ASA6是 边 长 为2的等边三角形，NACB=4 5 ,当三 棱 锥S-A6 C体积最大时，其外接球的表面积为._ 28%【答 案】-y-【分 析】当三棱锥5-ABC体积最大时，分析得出点C的位置，再根据球的性质，在直角三角形中解出球的半径,从而求得球的表面积.【详解】解：取 的 中 点力，连接C O，设A4BC的外接圆的圆心为E,AS48的外接圆的圆心为F,因为ASAB是边长为2的等边三角形，所以ASAB面积确定，要使三棱锥S-AB C体积最大，即要使点C到平面S A B的距离最大，只有当平面ABC J.平面S48时，体枳最大，即点C到边AB的距离最大，三棱锥的体积最大，因为 NACB=45，且 A8=2,1 OA48C外接圆E的半径CE为,x-=4 2 ,2 sin 4 5又 E为4 8 c的外心，在A 6的中垂线上，且E4=8=CE=J5.A 5=2,E D =AD =f当点C满足CA =C8时，C,E,D共线，点C到边AB的距离最大，三棱锥的体积最大.此时三棱锥的高即为C。的长，此时A A B C外接圆E的圆心E在C D上，根据球的性质可知，O E A.C E ,O F L D F ,O F /E D故四边形E。尸为矩形，故 OE =D F =L x x 2=3 2 3/7在HfA CE O中，球的半径平方为CO?=C E2+0 E2=2+=，3 37所以球的表面积为4乃/J?=4 一=万.3 3【点睛】本题考查了锥体与球体的位置关系，解题的关键是要确定锥体上各点、线、面与球体之间的关系，同时还要对球体的性质有清晰的认识.1 4.已知等比数列 为 的前项和为S“，若a2a8=%3a6,5=-6 2,则q的值是.【答案】-2【解析】试题分析：02a&=24%=勿5%；G=2%；4=2，S=-62 -=-62 a=-25 1-2,考点：等比数列性质及求和公式15.在 A3C 中，AB=yfic osx,c osxj,A C=（c osx,sinx）,贝！j ABC面积的最大值是3【答案】-4【分析】计算48c =g s in 2 x-g三,得到答案.【详解】葭 瓯=；网-|A c|sin（A B,AC）=|拙时（口 腐,氏A C=JAC一（A 3A C）=g J 4c os2x一（百c os2x+sinxc osx）=|5/3 c os x sin x-c os2=g（TT TT 7T TT2x一一=1时等号成立.此时2x 上=上，即x=时，满足题意.6）6 2 63故答案为：.4si n W【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、双空题2 21 6.已知椭圆C:二+工=1 的右焦点为f(1,0),上顶点为8,则 B 的坐标为，直线MN4 m与椭圆。交于M,N 两点，且 3MN 的重心恰为点尸，则直线MN 斜率为.【答案】(0,6)空4【分析】空 1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出“，c,再根据椭圆中小b,c 之间的关系求出，的值，最后求出上顶点B 的坐标；空 2：设出直线MN 的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN 的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.【详解】2 2空 1：因为。：二+乙=1 右焦点为尸(1,0)，所以有4 加()且0 =2,。=诟,c =l，4 m而。2=尸+0,2,所以4 =2 +1=2 =3,因此椭圆上顶点的坐标为：(0,6)；空 2：设直线MN 的方程为：y =+机，由(1)可知：椭圆的标准方程为：(2 222jy-V-H-=1+-=1.直线方程与椭圆方程联立：4 3 ，化简得：4 3 ,y-kx+m（3+4尸）/+8初a+4 1-1 2 =0,设MCrQjN H，%），线段MN的中点为。，于是有:-Skm，/、c 6m%+=3+4记，X +%=%(%+%2)+2，=7所以。点坐标为：（-4km 3 m3 +4后2 3 +4左2)因为 A W N的重心恰为点尸，所以有，如我=2$,鼻,因此有：*2(2-乂=-63 +4-4km 3 小言 2)+（2）得：k=-43,所以直线MN斜率为地.4 4故答案为：（0,6）；-4【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.五、解答题7T17.如图.在 ABC中，点尸在边8C上，C=,A P=2,A C PC=4.3A(1)求 NA P3；(2)若 ABC的 面 积 为 亚.求sin NPA B2【答案】N A P B =；sin/PA6=3 38【分析】4(1)在AP C中，设A C=x,A C P C =Ar,得到PC=一，再由余弦定理XAP-=A C2+PC2-2-A C-PC-c osy,解得x,利用平面几何知识求解.(2)由A B C的面积 为 地，利用S.Alir=工4C sin工=，解得3C,得到则B P，作 Q JT2 Z A/io C 2 3 2交 B C 于 D,得到A O,P D,进而得到4 8,然后在ABP中，利用正弦定理求解.【详解】(1)在APC 中，设 A C=x,因为 A C-PC=4,P C =,X71又因为C=,A P 2 由余弦定理得：Ap2 =A C2+P C2-2-A C-P C cos-3即：2 2=2+，-2-x-c o s yx J x 3解得x=2,所以 A C =P C =AP,此时 APC为等边三角形，2 7 1所以 NA P 3 =；3（2）由 5。沅=；4。106由。=岁，解得8 c =5 ,则 BP=3,作AO _LBC交5c于。，如图所示：由（1）知，在等边人?中，A D =G，PD=.在 R t AABD 中 A B =A E r+B D1=0 3+1 6 =晒-在 ABP中，由正弦定理得.Pg,.s i n ZA PB s i n ZPA BR 3所以2匹第=*【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.1 8.在鸟一邑=4,4工，%是与小的等比中项，2 90=1(2 2,77*)这三个条科中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知等差数列 4的前项和为S“，q=3,且_,求 数 列 的 前 项 和T.I n J注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选条件，设等差数列 q的公差为d，利用等差数列的通项公式和求和公式进行求解选条件，利用等差和等比数列的通项公式和性质，设数列an的公差为d,由01H o2得。=。2-4。0，由%是生与的等比中项，可得。：=%为，然后列方程求解即可S S f s选条件，因为j-匕=1,得.卜 是公差为1的等差数列，进而，利用等差数列的通项公式即可求n n-n解【详解】解：方案一：选条件.设数列 q的公差为d，由题意，得5,=3+(7)4 ,所 以+=3 +(一1及，吟等=2偿 一 汴23+7 x-f3+5 x-H =2 I 2=4,解得d=2,所以S“+2).故=3”_=_ x(+2)2n 九 +2,.111 1所以三+7+3+不2 3 ”+2 3 2 4 3 5 n n+2_3 2 +3-4-2(n+l)(n+2)方案二：选条件设数列 0”的公差为d,由4得。=4 -4由%是生与6的等比中项，可得裙=%4，即(3+3d =(3+d)(3+7d),整理得d(d 3)=0,解得4=0(含去)或d=3所以 a”=3+(-1)*3=3.所以S.(3+3)3(+1)n +13 I 2 2 3 3 43 I n +1 J2n-3(/z +l)方案三：选条件因为区-工 t=1，所以数列1号n n-n又4=3,所以=3,所以。1n所以 S”=(+2)1 1 1 (1 1 )S”(+2)2 (n +2 J,1 1 1 1所以北=三+不+彳+W-i f.o i f i n i2 I 3 j 2 /3z 0 _-mA.B P，m B C 七 令x=B 得 y=z=l，m=(V3,l,l).x+，3y=0设平面 PC。的法向量为“=(a,。,c),PC=(0,6,-8)，CD=(-2,0,0).屉-限=0人 ,、,nP C-”_LC。，-八 令b=l,得b=c=l,a=0，=(0,l)-2a=02 V10cos=尸=-,V5xV2 5.二面角8-P C-。为钝角，二面角8-PC-0的余弦值为_ 巫.5【点睛】本题考查线面垂直判定及计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小20.202()年4月8日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有(GN)份核酸样本，有以下两种检测方式：(1)逐份检测，则需要检测次；(2)混合检测，将其中4(Z e N*,且&.2)份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这人份核酸样本全为阴性,因而这*份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这4份核酸样本究竟哪几份为阳性，就要对这k份样本再逐份检测，此时这k份核酸样本的检测次数总共为k+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0 p l).(1)假设有5份核酸样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检测方式，求恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率.(2)现取其中左(Z e N*,且k.2)份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为刍.试运用概率统计的知识，若 E*E 42,试求P关于k的函数关系式P =/（%）；3若。=1 -，用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总次数期望值更y/e少，求k的最大值.参考数据：l n 2 0.69 31,I n 3 1.0 9 8 6,I n 4 1.38 63,I n 5 1,60 9 4,l n 6 1.7 9 1 8I【答案】（1）1；（2）（k e N*，且&.2）；4.【分析】（1）利用古典概率计算公式即可得出.（2）由己知得E =k&的所有可能取值为1,k +1 .可得P&即 可 得 出 期 望.根 据 刍，解得.由题意可知&专，得，%,设/)+原 海.p(刍=l)=(l p),p g2=%+l)=l _(l _ p)。.后值)=(1-犷+伏+1)1-(1-桓=攵+1-攵(1-4.若七(J)=(5)，则&=左+1 叙1-p)&,:.k(-p)k=,即(l_ p)=.l 一。=|p =D故。关于A的函数关系式为p=l (：J(Z eN*，且.2).由题意可知(专)信)，得:0),则/3=三,当3时，/(x)-.In5 1.6094,-1.6667,ln5 +2(机 0)与。交于A,3 两点，M 为 A 3 的中点，。为坐标原点.(1)求直线OM斜率的最大值；(2)若点P 在直线x=-2 上，且 PAB为等边三角形，求点P 的坐标.【答案】(1)(2)(-2,8).【分析】解法一：（1）设4 5两点坐标，将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式、中点坐标公式求出M的坐标，最后根据斜率公式，结合基本不等式进行求解即可；（2）利用弦长公式求出等边三角形的边长，最后利用等边三角形的性质，得到方程，求解方程即可求出点P的坐标.解法二：（1）设 出 两 点 的 坐 标，根据点在抛物线上，得到两个方程，再 利 用 两 点 在 直 线 上、中点坐标公式求出M的坐标，最后根据斜率公式，结合基本不等式进行求解即可；（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式、两点间距离公式求出等边三角形的边长，最后利用等边三角形的性质，得到方程，求解方程即可求出点尸的坐标.【详解】解法：（1）设 4 5,y）,B（X2,y2）,x=my+2,由J 2_4X 消去“得/-4 -8=0,=1 6相2+32 0,且%+%=4m,y,y2=-8.所以王+%）+4=4/n2+4.因为M为AB的中点，所以M的坐标为（土 也，江5）,即（2加+2,2?），2 2,2m m 1又因为m0,所以 加一 2M+2 一a 2+1一 1 I,加十一2 J/H-m V m（当且仅当？=一,即7 =1等号成立.）m所以OM的斜率的最大值为；(2)由(1)知,|AB|=JI+病 I*-力 I=J1 +W+%)2 4乂%=，1 +病.也6府+32=4V 1 +/n2 y!m2+2 ,由 9_ L AB得|f tW|=yl+(-m)2 12 m2+2-(-2)|=2(+2)41 +M,因为 P A B 为等边三角形，所以I P M|=I A B|,2所以 2(P +2)J1 +加=20-xll+m2-J M+2，所以J+2 =6,所以加2=1，解得机=1,又机 0,所以?=1,则 M(4,2),直线 MP 的方程为 y-2 =一(4),即 y=-x+6,所以x=-2 时，y=8,所以所求的点尸的坐标为(-2,8).解 法 二:(1)设 A(X|M，B(X 2，%)，M(%,%),因为M 为 A3 的中点，且直线/：x=m)，+2(加0),所以2%=y+%,因为+2,x,=m y2+2,两个等式相减得：=乂 一月由 卜；得 正 一只=你一钻,2 =4巧,所以y +K =所以2%=4九 即yQ=2 m.Xf所以=my0+2=2m2+2,即 A f(2m2+2,2/n),_ 2加_帆 1 V 1 _ 1又因为机 0,所以M=2加2+2=-2+=1=5,2.1m(当且仅当m=_ L,即加=i等号成立.)m所以O M的斜率的最大值为g.x =my+2,0(2)由 2 ，消去X得 了242)，-8 =0，y =4 x所以 A =16m2 +32 0,fl.X+%=4机,X%=-8 .I M =加|一工2)2+(%-%)2=瓜 町+2)一 (%+2)丁 +(%一%J=J 1+M (%+%-4yly2=，1 +m2 J16加+32=4j+nT-m2+2,由 知,A B的中点M的坐标为(2m2+2,2m),所以线段A3的垂直平分线方程为：y-2 m =-m(x-2 n r-2).令x=-2,得线段A B的垂直平分线与直线x=-2交点坐标为尸(-2,2病+6/n),所以|=，/I?+4 +(2/-工=2(1 +2)71+w2.因为 P A B 为等边三角形，所以|P M|=E|A 8|,2所以2(疗+2)，1 +用=2 石-/1+w2-府+2，所以，川+2 =6,所以加2=1，解得机=1,因为m 0,所以机=1,则M(4,2),直线MP 的方程为 一2 =-(-4),即 y=-x+6,所以x=-2 时，y=8 ,所以所求的点P的坐标为(-2,8),【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查了基本不等式的应用，考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；2 2.已知函数/(x)=l nx-x+l.(1)求函数/(X)的单调区间；(2)证明：当时，ox2+3 x-l n x 0.【答案】/(力 在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；证明见解析.【分析】(1)求得函数的导数r a)=,根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间；X(2)由(1)中函数的单调性，证得一I nx之一(冗一1),再由a x?+3%n xN a x2+3x(x l),令g(幻=0?+3%-&-1),结合二次函数的性质，即可求解.【详 解】1 1 _ y(1)由题意，函 数/(x)=l nx-x+l的定义域为(0,+8),且 广(幻=、-1 =所 以x l时，r(x)0；0 x 0,所 以/*)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.(2)由(1)得：/5)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所 以/(x)W/(l)=O,gp：nx ax2+3x-(x-1),令 g(x)=ax2+3x-(x-1)ax2+2 x+1 =a(x+)2+1 ,a a因 为“2 1,所 以1 L2O,所 以g(x)2 0,a即：ax2+3x l nx 0【点 睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，作出证明；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.