2021年高考数学全真模拟黄金卷05（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）.pdf

黄金卷05(新课标I卷)理科数学本 卷 满 分1 50分，考 试 时 间1 20分钟。一、选 择 题：本 题 共1 2小题，每 小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1.要 求 的。已知集合=x|y=l o g2(x +2),A =x (x-l)(x-a)-2,XQA =l,+o o),A A=(-2,1),又 A =x (x-l)(x-a)0 ,，一2、1 是 方 程 0已知实数尤、y满 足约束条件，4x y 1 2 W 0,则x y的最小值为()。y 0A、-7B、C、-3D、3【答 案】A1【解析】画可行域可知如图，令2=1一y,则y=x z,作出I T一 线y=x并平移,分析可知当平移后的直线经过点A时z取得最小值，7，则 A（-7,。）,，z=x-y的最小值为一7,故选A。/户 幺 1丫2 24.己知片、B为双曲线G：-=1（0,0）的焦点，尸 为/+丁=2与双曲线G的交点，且a b有t a n/P耳Q=:,则该双曲线的离心率为（）。底C、V2D、V3【答案】B【解析】由题意知/尸尸尸2 =9（），在RMg 中，tanZPFF2=；,可设|P BI=?，则1尸甲=4机，由勾股定理得，|即外|=而?=2。，又由I P/I-I桃|=2a得2a =3m，e =近，故选B。5.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）。3T o25【答案】C【解析】将5张奖票不放回地依取出共有C；=1 0种不同的取法，若恰好在第4次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第4次抽到最后1张中奖票,共有C；=3种不同的取法，23二概率P=,故选C。106.如图的程序框图，若输入a=log23,&=log j 3,c=3 2,则输出x 的值为（2A、log3 2B、log 2 3C、log 32D、3 2【答案】C【解析】此程序图的功能是输出的a、b、c 中的最小数，又。=log23 log2 2=1 =log 3 =log 1 =0、0 c=3 c b ,输出的值为b=log 3,故选C。27.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）oA、2B、4【答案】A【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，该儿何体是底面为直角形（匕 底是下底是2,高是2）,高为2 的四棱推产一 A3CO,，该几何体的体积V=XLX（1 +2）X2X2=2,故选A。3 28.已知在边长为2 的正三角形A 3C 中，M、N 分别为边8 C、AC上的动点，且 C N=B M,则的最大值为（）oA、73B、433c、3)、24【答案】B【解析】如图建系，则 5(-1,0)、C(1,O)、A(0,石),则 丽=(2,0),04=(-1,73),设 丽=，丽(0 41),/贝 i j K =r d(0 4 f 4 1),则 M(2 r 1,0),N Q-t,5),/匕：.A M =(2 r-l,-V3),砺=(2-3f,收)，A AM J W V =(2 Z-I)x(2-3r)+(-6)x(6t)=6产 +4t-2=-6(r当/=时 AM-MN取最大值一二，故选B。9.如图，点尸(一2,a)和点。(1,8)分别是函数/(x)=A s i n(o i t +(p)c o s(o x+c p)(A 0,图像上的最低点和最高点，若 P、。两点间的距离为5,则关于函数g（x）=A 8 s（叱-2（p）的说法正确的是D、在区间 4,1 0 上单调递增【答案】C【解析】如图，过点P作 y轴的垂线，过点。作x 轴的垂线，设两垂线的交点为3.连接PQ,可知A P Q 3 为直角三角形，|P Q|=5,|尸 3|=3,P 11|Q B =b a=4,易知/?=a ,解得 a =2 ,b=2,.：A =2,T=P B ,得 A =4,=l 2)=3,I _j兀 兀p r nC D=故/(x)=2 s i n J x +2(p)，6 37 T由函数/(x)的图像经过点Q(l,2)可得/(l)=2 s i n(-+2(p)=2,则1+2 9=+2 也，Z e Z,又0 (p 3，则(p =,；g(x)=4 c o s g x-6)，r r TTg(x)的单调递增区间为九+2%r x 2 兀+2 匕 i,得 1 2 攵+7 1 2%+1 3(%GZ),6 64IT 7Tg（x）的单调递减区间为2 Z 兀W x 兀+2%兀，得 1 2 兀+l x0,。0）的左焦点，过/作一条渐近线的垂线与右支交于点a b-P,垂足为A,且|B 4|=3|A 尸I，则双曲线方程为（）oA、X2 y2-=12 0 5B、-15 2 0C、1九11 6 9D、9 1 6【答案】D2 2工-汇=1【解析】设双曲线右焦点为广，连接期，左焦点F（-c,0）到渐近线y =的距离为匕，故 RI=3b,a在 A E 4 O 中，c o s Z A FO =-,由双曲线定义得|再|=4b 2 a ,在 F F 中，由余弦定理得(4-2Q)2 =(4)2+(2C)2-2X4X2CX2 ,c整理得 1 6b 2 1 6。8=4（。2。2）=42,即3匕=而，又2+人 2=2 5,解得/=9、h2=6,故双曲线方程为：-=1,故选D。9 1 61 1 .函数/。）=工2 _ 1%+如 4 0 恰有两个整数解，则实数。的取值范围为（）A、（3,1 B、（-2,-1 C、（-3,-23 2一 ,I n 2 ,D、（-2,-1【答案】C【解析】/（X）的定义域为（0,+8）,/（x）=x2-n x+a x 0恰有两个整数解等价于a 4 皿-x 恰有两个整数解,X5令 g(x)=电二一 X，定义域为(0,+8),g，(x)=l 叱,X X令h(x)=l-l n x-x2,易知h(x)为单调递减函数，h(V)=0,则当 0v x 0,g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递减,当%1 时(X)0,g(x)0,g(%)在(1,+8)上单调递增,又g 二-1,g(2)=(一2，g(3)=与 一3,由题意可知：g(3)a g(2),.号 3 外，不是最小球，浪费材料，可把底面A 3 C O的外心G看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥尸-A B C D的外接球,6但这时候原材料最省，最小球的半径R =A G =V ,%=g 成 3=当 等，故选A。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。13.已知a 为第三象限角，且 s i n2 a-2 =2 cos 2 a,则s i n(2 a-二)=4【答案】哈【解析】由已知得s i n2 a-2 =2(cos 2(x-l),则 t an2 a=4,山a 为第三象限角，得 t ana=2,2 a-cos 2 a)=-1 0故s i na=-3 ,cos a=-,s i n(2 a-)=5 5 41 4.已知a=J s i n r,则二项式(1 -区门的展开式中-3的系数为x【答案】-8 0【解析】a-J gSi nx J x=-cos J =-(cos i t-cos O)=2 ,则(1 -0)5的展开式中婷 的系数为:C；(-a)3=1 0 x(-2)3=-8 0。x1 5.己知函数/(x)是定义域为R 的偶函数，当xNO时，f M 2根 /(X)f +n-/(x)+1 =0 恰好有7 个不同的实数根，那么 L 的值为。【答案】4【解析】做/(x)图像如图，令/(x)=f，则原方程可化为加/+.f +i =o.T A C,4)=石，则 N Z X:+Z B=_2BC=o (本题第一空2分，第二空3 分)【答案】2 67rrjr【解析】VZBA+ZC=-,A ZDAC+ZB=-,2 2在ASM)和ADAC中,分别由正弦定理得B Dsin Z B A DA DsinBCD ADsin Z D A C sinC又 B D=C D,两式相比 得 汹 四 蛆=丝C,即 sinNm C sinB=sinNBAO sinC,sinZBAZ)sinB即 sinB cosB=sinC c o sC,即 sin2B=sin2C,则 ZS=NC或N8+NC=3,又 ABAC,/.ZB+ZC=-,故 5C=2AT=2百。2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分)已知正项数列%的前项和为S”，且2屋-3 =2%+anan_x+4(1),q=1。(1)证明数列/是等差数列，并求其前项和S,。(2)若a,试求数列也,的前项和7；。4s-1 解析(1)当相之2时,由2,-吮=24T+4M +4%得:an an-=一片+2。,1 +a/n-l+而，1 分.(%+%)(4 一 a,i)=-an(an-an_)+2(an_+2a)，2 分，(2。+an_)(an-an_)=2(an_+2an),3 分.数列 是正项数列，+a _ 。0,二为一a”=2,4分，数列%是等差数列，首项为1,公差为2,4=2-1,5分。+。2(2)由(1)知,xn=n2b4n2-l 2 2/J-I2n+l)工)+泉(3)+L 二-，)2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 2/?-1 2n+ln2H+16分8分9分12分 S”=18.(12 分)如图所示，在多面体AHCOEE中，四边形ABC。为正方形，四边形ACE尸为矩形，平面ACE/，平面A B C D,且 4 8=A b=l。求证：3 七_ 1_平面8尸；(2)求二面角8 E F C 的余弦值。【解析】平面ACM_L平面A B C O,平面ACEFCI平面A B 8=A C,又.,四边形ABC。为正方形，四边形ACE厂为矩形，A A F A C,二 AFJ_平面 ABC。，/.A B L A D,2 分.以A 为原点，以A 3、A D.A F 为x、y、z 轴建系，则 40,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),3(0,1,0),尸(0,0,1),(1,1,1),3 分 证明：BE=(0,1,1),CD=(-1,0,0),CF=(-1,-1,1),则 瓦.而=0,BE CF=0,则 3EJ_C。，B E L C F,又二 CD、CF u 平面 C D F,BE _L 平面 CDF；5 分(2)解：设平面SET7的法向量为加=(项，y,zBE=(0,1,1),E F=(-l,-l,0),-2 BE=y +Z =0*m-EF=-x1 一%=0令 2 =1,则 y=T ,Zj=1则2 二 (1,1,1),n=(l,-l,0),则 cos，设平面E FC 的法向量为=(巧，为，？2),F=(-i,-i,o),=(i,i,-i),=,m-n 3设二面角8 C 的平面角为0,经观察。为锐角，则COS0 J 8 S|=5A:面角8 所 C 的余弦值 为 迈312分19.(12 分)某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：加，)进行测量，得出这批钢管的直径 X 服从正态分布N(65,4.84)。(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73加，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6-69.4mm为合格品(合格品的概率精确到0.0 1),现要从60 根该种钢管中任意挑选3 根，求次品数丫的分布列和数学期望。(参 考 数 据：若 XN(R,，)，贝 lj p 也一 BX WN+B)=0.682(,P(g-2 c X|j+2c)=0.9544,9尸也一 3 b 7 1.6,1 分.P（X =7 3）7 1.6）=1-80 71.6）=1 二0.9974=0，3 分2 2此事件为小概率事件，.该质检员的决定有道理；4分（2）；|_1=6 5、。=2.2、口-2o =6 0.6、|1+2C J=69.4,由题意可知钢管直径满足：日-2 b 人 0）的左、右焦点分别为G、F2,过点6且与X 轴垂直的直线a b与圆0：/+2=”交于点（点 加 在 X 轴上方），与椭圆C交于点N（点 在彳轴下方），且 满 足 耳 匕V 2|N F,|o（1）若 4 同 可 尸 2的面积为4 +2也，求椭圆C的标准方程；（2）过 点/作 椭 圆 C的切线，与直线N F 2交于点。（加，/），其中0,试判断以线段。入为直径的圆是否经过点M,并说明理由。【解析】设 6（-。,0）,则直线M4的方程为X =-C,与/+/二/联立得M（_ c,。），1 分由|用用=&|NFJ得 N（c,坐 与，10.C2 b2./+市则a=尬c,又a1=护+C1故 I MW|=(1+1,，I片外1=2/?由 SWNF=I6B M M N|=(1+丝)/=4 +2 也，解得 2=2，故 4=2 收，2 2 22 2,椭圆C的标准方程为+-=1；8 42 2(2)由(1)知，椭圆 C 的方程为-+=1 M(b,b)2b b设切线M Q的方程为y-b =Z(x+6),y-b =k(x+b)由(x2 v2 得：(1+2A:2)x2+4(1+k)bx+2k(k+2)h2=0,市+L2分3分4分5分6分8分 =16炉(1+女)2人2 _ 弘(1 +2/)(%+2)b2=0,9 分解得A=0或Z=2,其中左=0时不满足 v0 ,舍去，10分又&八=-=一:，上乙居=一1，即 M Q L M F2，-b-b 2故以线段。B为直径的圆经过点12分21.(12 分)2X已知函数/(%)=-21nx且工0)。a(1)讨论函数/(x)的单调性；若函数/(x)有两个零点可、x2(xl 2 eo2r 2【解析】/(x)的定义域为(0,+8),r(x)=-1分a x当。0时，/(x)0恒成立，则/(X)在(0,+oo)上单调递减,2分当“0时，令r(x)3二=2 +历。-历,a x ax当0 c x e&时，/(x)石 时，/(X)O,则/(X)在(、份,+8)上单调递增;4分(2)由(1)知，a 0,/Wmin=/(V a)=l-ln a ,依题意可知l ln a e,由 =/得：/(x)=-2 1 n x(x 0),exx G(0,e),x2 G(,+00),由 /(26)=2-211120及/()=0 得2 2e,只要石 2e-%2,注意到/(%)在(0,e)上单调递减,且/(.)=0,x2只要证明 f(2e-x2)0 即可，由 /*()=/一 21nx2 =0 得 器=2e2 Inx2,7 分e 一、(2e)2 s 、4/442十宕、.j(2e-x2)=-21n(2e-x2)=-21n(2e一&)e e=4 f-4 2心23巧)e=4-+21nx)-21n(2e-x2),x2 G(ef2e),9 分eAt令 gQ)=4-+21nt-2ln(2e-t),t G(e,2e)f 10 分e4 7 2 4(e-f)2则gQ)=_W+4 +-=)0,则g 在(e,2e)上是递增的，11分e t 2e-t et(2e-t)于是 gQ)g(e)=0,即 f(2e-X2)0,综上历+工226。12 分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程(10分)已知点P 是曲线C”/+丁+百 3 五 y=0上的动点，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段OP绕。点顺时针旋转90得到线段O Q,设点。的轨迹为曲线C2。求曲线G 和 C2的极坐标方程；(2)设直线/：y=3,射线机：0=a,a e(0,-),若根与曲线。2,直线/分别交于A、8 两点，求 侬 的2 O B最大值。【解析】(1)将冗=P8S0、y=psin。代人得曲线G 的极坐标方程，H P p2+V2p-cos0-V2p-sin 0=0,Hpp=2sin(9-),2 分4设 Q(p,0),则 P(p,。+方)，代入曲线4 的极坐标方程得曲线C2的极坐标方程，即 p=2sin(0+-)=2cos(0-)；5 分12(2)直线/的极坐标方程为p-sin=3,设 A(p1,a)、B(p2,a),jr 3贝 ij p,=2cos奴 )、p2 二:一4 sina6 分K i n a=2|p2 3 4 3cosa+*s i n a)-sin a=*(sin a，cosa+sin2a)=*(gsin 2 a+1-C2-)(sin 2a-cos 2a+1)=:.四 的 最大值 为 走（正+1）。OB 610分23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知。、b、c 为正数，且满足a+b +c=l。证明:一U-U42；b+c a+c a+b 2 +久+41。be ac ab【解析】证明：（I）：。、b、。为正数，a+b+c =l,+-5 +!=-(2a+2/7+2c)(b+c a+c a+b 2Z?+c a+c a+b=+)+S+。)+(a+c)J(-1-1-b+c a+c a+b x 3 x#(a+1)(Y+c)(a+c)x 3x j1 1 1-x-x-b+c a+c a+b9 29 分11L+J)2 分111)3 分4 分V+b+c a+c a+b 25 分7 分=2a,同理，将上述三个不等式相加得：+a+b+c,cab9 分13而a+h+c=l,A a3+护+c3 1,当且仅当Q=/?=C=1L时，等号成立。10分be ac ab 314