2021年高考数学（理）5月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）.pdf

2021年高考数学（理）5 月模拟评估卷（一）（全国2 卷）本试卷分为第I卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第 I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A =（x,y）|y =/,6 =（x,y）|y =%,则（）A.0,1 B.（0,0）C.（1,1）D.（0,0）,（1,1）【答案】D【解析】由:，得或所以408=（0,0）,（1,1）,故选D2 .复 数 z =l +J5 i，则 Z?在复平面上所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】z =l +G i，z?=（1 +后）2 =1 +2 6 i +（）2 =1 -3 +2=-2 +2 后，所以z2在复平面上所对应的点（-2,2g）在第二象限内.故选B.3 .某校高二年级为选拔参加物理竞赛的学生组织了一次考试，最后选出1 3 名男生和7名女生，这 2 0 名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校决定对成绩不低于1 3 4 分的学生进行为期一周的集训，如果用分层抽样的方法从参加集训的学生中选取3人，则这3人中女生人数为（）男女83 11159 6 51 1124 8 964 2132 75 0143A.0B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】根据给定的茎叶图中的数据，可知参加集训的有6人，其中男生4人，女生2人，所以抽取的32人中女生有3 x -=1（人）.故选B64.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可,良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少“这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间f（单位：年）的衰变规律满足N=N“-2-太（乂 表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的33至一，据此推测良渚古城存在的时期（）（参考数据：log23“1.6,log25H2.3）A.距今约在4011年到5730年之间B.距今约在3870年 到11460年之间C.距今约在4011年 到11460年之间D.距今约在2005年到5730年之间【答案】A【解析】当=5730时，N=N o-2T=；N0,.经过5730年后，碳14的质量变为原来的;，3 3令 汽=m乂，则2 5 7 3。=：t3-_-=log2-=log23-log25-0.7,/.r=0.7x5730=4011,良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间，故选A.5.己知tan。满足tan9+1则 cos2 6+?)=(tan 03,3A.-4B-I1C.3D.)6【答案】D【解析】由tan6+tan。sin。cos。.3 可得-+-=3,cos 0 sin 0Rllsin2 6+cos?0即-cos Osin 0-=33,所 以1 .0C sin 2022sin20=,所以3cos2f+1 +cos 29+I 22l-sin 2。2I-2_32故选D.6.（X-1-的展开式中，含丁项的系数为（A.45B.-45C.15D.-152x+X1),可得6【答案】A2【解析】由二项式定理（X-1）6展开式中有C；/和c 2,所以（x +|1 x -l）6的展开式中含尤3项的系数为C；+C；x 2 =45.故选 A7.己知尸是抛物线y 2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3,l）,则 周 长 的 最 小 值 为（）A.2 +2 6 B.4+75 C.3+石 D.6+石【答案】B【解析】抛物线V=4%的焦点尸（1,0）,准线/的方程为 =-1，过P做P Q_ L/,垂足为Q,设AAPE周长为。，c=P A +P F +A F =P A+P F +7(3-1)2+12 P A+P F +5,由抛物线的定义可知：P F =P Q ,因此c=P Q +A P+百，当R A Q在同一条直线上时，c有最小值，即P A 1/时，加=3 (-1)+&=4+，故选 B8.某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体外接球的表面积（单位：c n?）是（)俯视图A.39万 B.41 4C.454D.49万【答案】B【解析】由三视图知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，P 4_ L底面AB C.B C u平面A B C,则8C _ L P C.三棱锥可以看成长宽高为4,3,4的长方体的一部分，所以该三棱锥的外接球就是长方休的外3接球，所以（2/2=32+42+42 =4,所以外接球的表面积s=4%a=4 E，故选B.9.己知“=7-，=l o g72-2 1o g73,c =f l ,则下列关系正确的是（）A.abc B.bac C.cba D.bca【答案】D【解析】。=7-3 7。=，4=7-3o ,所以0 a l：2b=l o g7 2-2 l o g73=l o g72-l o g79=l o g7-l o g71 =0,所以。0；9所以0 a 0）的左、右焦点分别为耳，工，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A,若耳工的内切圆半径为白，则双曲线的离心率为（）【答案】Ah【解析】设双曲线的左、右焦点分别为耳（一。,0）,6（c,0）,设双曲线的一条渐近线方程为丁 二 一1,a1 2 2可得直线AK的方程为y=g（x c）,与双曲线 5 =lS a 0）联立，a a b可得A（S*，%二 二 1）,设|A耳|=/，AF2 b n,由三角形的等面积法可得2c 2ac1 h 1 h(c-ci),“口 4c.x-xx (加+几+2c)=x2c-，化间可得根+=-4。-2 c,2 4 2 2ac a5由双曲线的定义可得加一=2。，在三角形A耳居中“si n 6=一),(6为直线4鸟 的倾斜角)，2acb.八 b b qJ 一 “2由ta n 6 =,si n2 0+c o s2 0=1,可得s m 6=,可得=_也，由化简可得a yja2+b2 c 2ac 53c 2-2a c-5/=0，即为(3c-5 a x e+a)=0,可得3c =5 a,则0=、.故选C.a 31_7 1 I1 2.已知I函数/(x)=a(si n x-c o sx)+5 c o s2x +x,右/(x)在 一 上单调递增，则。的范围是()A.1,2 B.0,+o o)C.0,2 D.0,1【答案】D【解析】：/(x)=a(si n x-c o sx)+；c o s2x+x,r./(X)=a(c o sx+si n x)-si n 2x +l4 JI若/(x)在一 于 兀上单调递增，则/、(x)=a(c o sx+si n x)-si n 2x +l 2 0在一 于 兀恒成立，令，=c o s尤+si n x,贝i”=0si n x +1,si n 2x =-1,又一军 龙+工 包 故，I 4 1 4 4 4一交W si n x +匹 W1 n t e 1,垃.所以问题转化为不等式-产+”+2 2 0在-1,J5 上恒成立，即不2 I 4 J/(-1)0，解得O W a W lA(V 2)Q1 3.若变量x,V满足约束条件 龙一y 0【答案】6【解析】画出可行域如下图所示，由图可知：当直线x +2y -z =0过点(2,2)时，z取得最大值2+2x 2=6.等式“一加一？。在 一1,0 匕恒成立.令。)=/一 公 一2,及，则有61 4.设函数f(x)=x+l,x 1的x的取值范围是,（1【答案】一彳,厩2（1 +4【解析】由题意,函数/（%）=X +l,X v z 2，1等价于X+1 +X-F 1 1 .解得 X ,此时 0 时，此时 f (x=2,G(0,1),2 4 4当一!40,即0；,此时满足 1,即 2 T+2二1 1恒成立，当彳一！0时，即x!时，若+/2 2即2 招1 1 =&-1解得x 8=10cm,AC=15cm,则该“鞠”的表面积为 cm2.t,700万【答案】3【解析】由已知得A8O,ACBD均为等边三角形.如图所示，设球心为。，BCD的中心为O,取 8D的中点/，连接 则 A尸 J.BD，C F L B D,得 8。，平面 ART，且可求得A F =C F =5&cm，而AC=15cm，所以Z A F C=120.在平面A F C中过点A作C F的垂线，与C F的延长线交于点E，由801.平面A EC,得8D LA E，故平面BCD,过点。作OG_LAE于点G,则四边 形 师。是矩形则 瑾=5CsE6。左空(cm)，。吟咏女mAE=AFsin600=(cm),EF=AR sin 30=生叵.设球的半径为 H，O O =x,2 v 7 2则由 OO2+OB2=OB2,OA2=A G2+G O2-得 Y+=R2,3解得x=5cm,/?2=c m,故三棱锥A BCD外接球的表面积S=41R?=_(Cm2)三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.8(一)、必考题：共6()分1 7.(1 2 分)已知数列 4 中，=1,=3,且满足-=-4-+-(neN(4+2-4用)(n +l)(a+1-a)2(+1)设舟=(“wN*),证明：勿 是等差数列;an+anb(2)若q,=j(w N*),求数列 q,的前项和S.“(4+2 -(+1)4用 _ na“1-I，=_ 4_+(+1)(4+%)2n(n+l),1 也+i=，+/，是以仇=g为首项，公差d =g的等差数列；(5 分)(2)由(1)得：2=4+5-l)d =(“eN=7整理可得：。e=3q，q 是以4=1为首项，公比4=3的等比数列,I“n二寸，X：得：-Sn=-xD 。乙n-1尹,2 c 1 (1 1 1 1 n 13 2 1 3 32 33 3T 3)23 n1 3 31 (3 3 n 3 2 +32(2 2 3 3 J 4 4-3”918.（12 分）如 图（1）,平面四边形 A5OC中，NA8C=/D=90。，AB=BC 2,CD=,将 AABC沿3C边折起如图（2）,使，点、M，N分别为AC,AO中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.AD=s/l.AC为四面体ABOC外接球的直径.平面45CJ_平面BCQ.（1）判断直线MN与平面AM的位置关系，并说明理由；（2）求二面角4 MN 8的正弦值.【解析】（1）若选：AD=布,在RtABC。中，BC=2,CD=1,BD=6 AB=2,可得 他2 +友 =AZ2，所以AB_LBD，又由 且 8。0 8。=8,8。,8。（=平 面。8。，所以 A3_L平面CBO,又因为C D u平面C 8 O,所以A 3,8，乂由且8DcCD=O,5D,Cru平面.，所以CD J平面9，又因为M，N分别为AC，AO中点，可得MN C，所以MNL平 面 曲.（5分）若选：AC为四面体A8DC外接球的直径，则NADC=90。，可得CD_ L AO,又由8，必，且4008=。，4。,8 0（=平 面/皿，所以平面4见，因为M，N分别为AC，A中点，可得M N/CD,所以MN_L平 面 至）.（5分）若选：平面ABC 1平面3 8,平面ABC C|平面5 8=BC,因为AB_L8C，且A B i平面A B C,所以A 3,平面CBD，又因为CD u 平面CBD,所以4B，8，乂由CD_L8。，且3）（。1）=,8）,8（=平 面 他 ）,所以CQ_L平面/W Z）,因为M，N分别为AC,A中点，可得M N/CD,所以MN_L平 面 说.（5分）（2）以。为原点，射线0 8为 了轴建立如图直角坐标系，10则 4（0,百,2）,B（0,V 3,0）,C（-1,O,O）,M1 B JI 2 2 J可 得 丽=（L o,o ,N W =（o,且1,=,1U ）2 2设平面AAW的法向量为 2=（X ,y,z J,则 m-AN-X -Z =0、2,一（Ii3 取y=，3，可得%=0,Z =一 ,所以7 =设平面BMN的法向量为 =（X2，%，Z 2），则 1n-MN=-x2=0ii-BN=-y2+z 2=0取 必=百，可得3=（0,6,g一一协可-1-7=9-4-9-4故二面角A-M N B的正弦 值 型.（12分）719.（12分）2020年1月15日教育部制定出台了 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称“强基计划”），意见宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力X和判断力y进行统计分析，得到下表数据11X6891012y23456请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程AA,Py=a+bx.（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲2 2大学，每门笔试科目通过的概率均为一，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为加，-5 4 3其中0 根 1,根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时加的取值范围.参考公式：工 内 一 阿线性相关系数=,一般地，相关系数r的绝对值在0.9 5 以上（含0.9 5）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.对于一组数据（XQJ,（孙 ），（X ，K），其回归直线方程3 =+4的斜率和截距的最小二乘法估 x -rix y计公式分别为：石=号-，a=y-b x.-nx/=!【解析】（1）根据表格中的数据，可得了=6+8+9 +1 0+1 25=9,_ _ 2 +3 +4 +5 +6y=-；-5=1 2 +2 4 +3 6+5 0+72 =1 9 4,1=15=3 6+64 +81 +1 00+1 4 4 =4 2 5 ,/=15=4 +9+1 6+2 5 +3 6=9 0,1 9 4-5 x9 x41 4可得用大乐数/(4 2 5-5 x81)(9 0-5 x1 6)10立 0.9 9 0.9 5故 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,12.Z x,y,一匹又由人=-=工 I。,=0.7,可得a=4一9*0.7=-2.3.S 2-2 425-5x81 x.-n x/=!综上回归直线方程y=-2.3+0.7X.(5分)26(2)通过中大学的考试科目数X 4 3,|卜 则E(X)=3 x|=(,55设通过乙大学的考试科目数为y,则 能 的 取 值 为o,I,2,3,则尸(y=0)=(l z)l 2227 1p(y=l)=,h-l1-|4 m,3 12 3p(y=2)=m x；1-|1431 2 1 5x x =H-m,4 3 6 12p(y =3)i 2=mx x 4 311-l/、八 7 1 J l 5 1 11所以 E(y);病彳根+2-+m +3 x-m =+m,12 J o 12)o 12因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，所以石(y)(x),即 荔+z :,17又由0/律 1，解得一 m A 0)的离心率 逅，其左，右集点为6,五,，过点耳的直线/与椭a-b-3圆交于M,N两点、AMNF?的周长为4指.(1)求椭圆E的标准方程：(2)过E右焦点的直线4,4互相垂直，且分别交椭圆E于A B和C,。四点，求|4川+|8|的最小值【解析】(1)由椭圆的定义知，AMN玛的周长为4a=4 ，.a=JZ13由6=亚,即 =亚得c =23 a 3b2=a-c1=2 b=/22 2故椭圆的方程为工+二=1.(4分)6 2(2)由(1)得，椭圆右焦点为(2,0),设A(X|,y),8(,)，C(x3,y3),(x4,j4)当直线/,的斜率为0,直线12的斜率不存在时,直线4：y=0,此时|钻|=2。=2几；直线4：x=2,此时1 c q2 Z?2 _ 4 _ 2 76a 在 3网+|C|=2+当直线4的斜率为0，4直线的斜率不存在时 A B +C D=2y/6+-=Y-当直线4，4的斜率都存在，设直线4的方程为=加y+2（加/0）,则直线4的方程为x=y+2m联立 2 2X J 6 2 ，整理得 5?+3)V+4 m y-2 =0 x=m y+2 =1 6加+8（痴+3）0恒 成 立,则，4 my+%=m r+-2T2y%=-T-Tm+3I如 gy f 卜E f e+必=右 曰 券 一高=当 皆22 76(-)2+l同理可得I C D|=-(-)2+3m2几(m 2+1)3+1/2 -I则所|+卬|=2 黑 T2 +1i +5-3m+3 ,85/6(/;I2+1)23/TI4+1 O m2+31411令泞+i.，则 g =3*+4 4=4 4 j-2 n-r 3-(-1)十 4当.e(l,+O)时，一(2 1)2 +4e(3,4 ,则 g )二 Q 八2 Jt-(-1)+4_ 1453所以MM+|CD|W 2石，坐-o f7-综上可知，|AB|+|C)|G 2瓜鼻,.|4.+|8的最小值为2 a(1 2分)2 1.(1 2 分)设函数/(x)=t z I n x-x2+%+/?(,/6 R).(1)求/(X)的极值；（2）已知。0,若存在 实 数 使 得6 4 4（%）/+1对工1目恒成立，求。的取值范围.（其中e是自然对数的底数）【解析】由题意知：a/0,x）定义域为（0,+e），/（x）=（x ）（2 x+a）,。分）ax当4 0时，当X G（O,a）时,/,（x）0；当x a,+o o）时,/,（x）0.-./（X）的单调递增区间为（O,a）,单调递减区间为（a,+8）,/（X）有极大值，极大值为/（a）=a l n a +/?,无极小值.（3分）当a 0时，当 xe（0,4）时，/（x）0；当-g+8 ）时，/（%）0；二/（x）的 单 调 递 减 区 间 为 单 调 递 增 区 间 为（一葭,+8）,二/（X）有极小值，极小值为=+无极大值.综上所述：当a 0时，“X）极大值为a l n a +b ,无极小值；当a 0时，/（x）极小值为15an(一9一(4+，无极大值.(5分)(2)若则由(1)知：/(%)在 l,e上单调递减,故 要 使 得e4/(x)W /+1对J,4恒 成 立，只要存在实数b,使 得 rf (z1t)=1 1 +b7 S-e-+-1a a2f (e=a-+e+b a a成立,a-eb/+2-b即要上/二+ea.L y d+e e-+2 从而只要-a-e-1,a a又“解得:若l a e,则 由 知：f(x)在 L。上单调递增，在 a,同 单调递减,故要使得.eqf(x)e2+Uil,e恒 成 立，只要存在 实 数b.-ana+b -成立,a ae+1 i e+1-b a aa,e2+1-a-e b -a In aa即 要从而只要 e-a e2-a2 1nae-a1-ea0(即4v 7片(l-lna)+(a-l)e+l 2 0(*)由 于l a e,可 知/e+a a-na2e2 e+之 (e+a 1)2 0成立,从而(*)式成立.由 于lv a e，可知(*)式显然成立.二当l a -日n s?e+1 1 ,/2e+1使得，2 2 成“，即耍-b -r(e 7,e+l a af(e)=a-+e+b -aa从而只要 t l I 4至1 a e,解得：l 2eKa+c=l.(1)若a,0wR(1V(1Y 25c=0,求证：a+b+-；k a)b)2(2)设abc,a2+b2+c2=,求证：a+b i.【解析】（1）c=0时，a+h=,因为 a+1+（6+工）I a）k b）17,:a,b e R*,a+b=l,1 1 F a b(1 1 Y,、-b a、八八 b a,=I (Q+6)=2H-1 2 +2./-=4a b)a h a b+4 4a b1 Y L 1 Y (1 +4)2 2 5从币J a d +b-=a)b)2 24+0 =1当 且 仅 当=f 即a =b =，时等号成立，(5分)a b 21 ,1 +=/7 +、a b(2)假设Q+/?W 1,则由a +/?+c =l，知CN O,故。Z?CNO.又由(。+力 +。)2 =。2 +/+/+2ab+2ac+2bc=1,得。b+b c+c a =O但由 a Z?c N 0 知 a Z?+Z?c +c a 0 矛盾，故a+Z?W l 不成立，所以a+hl.(1 0分)1 8