2021年高考数学名校全真模拟卷06（解析）.pdf

绝密启用前备横2021年高考数学名校全真模抵卷第六模拟考生注意：1.本试卷共4 页，21道试题，满 分 150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或 写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填 空 题（本大题共有12题，满分54分，其 中 16 题每题4 分，712题每题5 分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.（2020上海市洋泾中学高三期中）已知A=1,2,3,4,5,B=M|X2|1 ,则 A B=.【答案】1,2,3【分析】由交集定义计算.【详解】A=l,2,3,4,5,B=x|l x A n B =l,2,3故答案为：1,2,3.2.抛物线y2=2px（p 0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=.【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即4 =l,p =2.3.不等式31的解集为X【答案】（8,0）r-1 1 1【解析】由题意，不等式得1 1 =0nx0,所以不等式的解集为（8,0）.X X X34 .已知复数z满足z+-=0,则|z|=.Z【答案】分析：设2 =。+沅3,e R）,代入z2=3，由复数相等的条件列式求得。力 的值得答案.3详解：由 z+-=0,得Z2=-3，设Z=Q+初ZQ2 b 2 _ 3由 z2=3得（。+初）2=-从+2。4=一3,即-=一，解得。=0力=6，2ab=0所以Z =6 i，则忖=石.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力.5 .（2 0 1 9上海高考真题）在 A A B C中，A C =3,3 s i n 4 =2 s i n B,且c o s C=工，则 A 8=_ _ _ _ _ _ _ _ _4【答案】J I 6【分析】根据正弦定理求出8C,再利用余弦定理求出A B.【详解】由正弦定理可知：B C =-=A C=2s i n 3 3由余弦定理可知：A B2=AC2+BC2-2AC BCCOSC=9+4-2X3X2X-=104A B =J i 6,本题正确结果：M【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.6.（2 0 1 9上海高考真题）计 算 l i m 21-3 +l九 2 4 +1【答案】22-+【分析】将原式转化为lim-8.41十n1牛，从而得到极限值为2.n22_ 3+_L 详解hm.=hm j-T-=-=2“T8+1 .4.1 11 1 2n n本题正确结果：2【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.7.(2 0 1 9上海高考真题)函数 x)=x 2(x 0)的反函数为【答案】y=-J x,x0)【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.【详解】当x0时,x2 0.B P/(x)0又x=，反函数为：丫 =,x 0【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.8.如图，以长方体的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若D B 的坐标为(4,3,2),则A Ct的坐标为【答案】(-4,3,2)【解析】如图所示，以长方体A8CD-4 4 G R的顶点。为坐标原点，过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为。4 的坐标为(4,3,2),所以4(4,0,0),。(0,3,2),所以46；=(-4,3,2).9.(20 20上海高三其他模拟)在正方体ABC。一 A 4 G。中，点 时和N分别是矩形ABC。和BBC。的中心，若点P 满足D P =m D A +n D M +k D N，其中加、k s R ,且 加+=1,则点尸可以是正方 体 表 面 上 的 点.【答案】用(或C或 边 上 的 任 意 一 点)【分析】因为点满足 p=?)A+)A/+ZW，其中加、“、Z e H,且 加 收 也=1,所以点A,A7,N三点共面，只需要找到平面AM N与正方体表面的交线即可.【详解】解：因为点尸满足)P=+k)N，其中加、k e R ,W.m+n+k=,所以点A M,N：点共面，因为点M和N分别是矩形A B C D和B B C C的中心，所以CN=B、N,A M =M C.连接M N,4 5 一 则MN A 4,所 以 A C S 1 即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故点/,可以是正方体表面上的 点 用（或 C或AC4边上的任意一点）故答案为：与（或 C或A C S 1 边上的任意一点）【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.1 0.（2 02 0上海高三一模）2 位女生3 位男生排成一排，则 2 位女生不相邻的排法共有 种.【答案】7 2【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、将 3 位男生排成一排，、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分 2 步进行分析：、将 3 位男生排成一排，有 父=6种情况，、3名男生排好后有4 个空位可选，在 4 个空位中，任选2 个，安排两名女生，有 A：=1 2 种情况，则2位女生不相邻的排法有6 x 1 2 =7 2 种；故答案为：7 2【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.1 1.（2 02 0上海青浦区高三一模）记明 为数列 3 在区间中的项的个数，则数列 4 的前1 0 0 项的和$0 0 =.【答案】284；【分析】可直接利用列举法，分别确定出在（0,m,m=1,2,3,1 0 0,中每个区间内含有3项的个数。机，然后相加即可.【详解】对于区间（0,汨，m G m m e N,啜 如 10 0,可知：（1）当加=1,2 时，区间内不含3项，故=。2=0，共 2 项；（2）当机=3，4,5,.8时，区间内含有才一项，故%=%=。5=.4=1，共 6 项；（3）当加=9,10,I I.26时，区间内含有3、3?两项，故q=4。=%=生6=2,共 18项；（4）当z =27,28,29,，80 时，区间内含有 3、32.3、三项，故%=。2 8 =49=4。=3,共 54项；（5）当 m=81,82,8 3,10 0 Bt，区间内含有 3,32.33.3,四项,故%=&=%,=4x）=4,共 20 项.故5m=2x0 +6x1+18x2+54x3+20 x4=2 8 4.故答案为：284.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确理解为数列3 在区间（0,加（e N：）中的项的个数这一属性，然后利用列举法求解.12.（20 20 上海高三其他模拟）若 logK 2-4+。-2）0对任意；114.【解析】由已知得不等式10 8，（6 2-4 +-2）1对 任 意 R恒成立，即不等式ax?一4工+一3 0对 任 意 R恒成立，当。=0时,a0则不等式Tx 3 0对任意xeR不恒成立，所以ao0.所以 ,，即A =(-4)2-4 tz(a-3)0 a 02c c，所以/1十解得a 4.a2-3 a-4 0 或a)4【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小.不等式l og(以2 -4 x+a -2)0对任意xw R恒成立，2分a =0与a。()两种情况讨论.a#0时结合二次函数的图像得结论.二、选 择 题(本大题共有4题，满分2 0分)【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】1 3.(2 0 2 0上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)已知xeR,则“鼠一2|1”是“3”的()A.既不充分也不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件【答案】D【分析】求出不等式解集再利用集合包含关系得解【详解】打一2|1 =1%3(1,3)是(,3)的真子集所 以“忖一2|1”是“尤 3”的充分不必要条件，故选：D【点睛】解出绝对值不等式的解集是关键.1 4.(2 0 2 0上海徐汇区位育中学高三期中)下列不等式恒成立的是()A.a2+h2 2yab D.a+b -2 ab【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得（a+人旧N O,由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知故A不正确：B.a2+b2 -2ab=a2+b2+2ab 0-即+NO恒成立，故 B 正确；C.当a=-l,b =O时，不等式不成立，故C不正确；D.当。=-3,6=-1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.15.（2020上海市进才中学高三月考）直线3 x-4 y-9 =0与圆/+丁=4的位置关系是（）A.相交且过圆心 B.相交且不过圆心 C.相切D.相离【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论.【详解】圆Y+y 2=4的圆心到直线的距离10-0-91 9d=-L =-1,解关于x 的不等式：f（x）2 时、或 1%l且 XW 2；当lv A v 2-x +2时，x 2 或 1%左.（分析】（1）把方程根代入得关于。泊 的方程组，解之可得a,b,从而得函数解析式;（2）把分式不等式转化整式不等式，然后分类讨论求解.【详解】（1）由题意得9 3+12=0，解得，-4+12=0A a +ba=-r2b=2 所以小）=不5（2）原不等式可化为二二11*士 0.2-x所以当左 2 时，x 上或l x l且x 0 2；当1左 2 或 1%女.【点睛】本题考查求解函数解析式，考查解分式不等式.解分式不等式一般是通过移项通分，因式分解后化为整式不等式求解.19.（本题满分14分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）（2020上海浦东新区华师大二附中高三期中）某药物研究所开发的一种新药，据监测，成人按规定剂量服12Z,0/（微克）与时间f（小时）之间的关系可由函数y=.f（r）=一 拟合（1）当a=0.25时，求使得y N 3 的f 的取值范围;（2）研究人员按照q =2的值来评估该药的疗效，并测定“2 2时此药有效，若某次服药后测得1=3时每毫升血液中的含药量为6微克，求此次服药产生疗效的时长.【答案】（1）：,2；（2）3小时.4【分析】（1）当。=0 25时，求出函数/（，）的解析式，分段讨论当y N 3时r的取值范围，再求并集即可;（2）由题可求出a =也，即可得出g关于f的函数关系时，再令夕=2求出f的值，结合单调性可求出.212r,0 r 当0 1,y =12x O.25,-3,解得/V 2,综上，使得y 2 3的，的取值范围为；,2；（2）当，=3,y=12a2=6,解得a =（舍负），212r,0/1),解得f =3,r-1O v/1 时，q=12xX 1单调递减,故可知q 2的解集为t （0,3,所以此次服药产生疗效的时长为3小时.【点睛】本题考查利用给定函数模型解决实际问题，解题的关键是正确理解函数关系，会利用单调性解不等式，考查学生的计算能力.20.（本题满分16分，第1小题满分4分 第2小题满分6分，第3小题满分6分）（20 21,上海高三一模）已 知椭圆八与+与=1（。8 0）的右焦点坐标为（2,0）,且长轴长为短轴长的加a b倍，直线/交椭圆于不同的两点M和N,（1）求椭圆的方程；（2）若直线/经过点P（0,4）,且 QWN的面积为2应，求直线/的方程；（3）若直线/的方程为y =/。0）,点M关于x轴的对称点为M，直线M N,M 2 V分别与x轴相交于P、Q两点，求证：1。/1“。1为定值.【答案】（1）+-=1 :（2）y =业1%+4；（3）证明见解析.8 4,2【分析】（1）根据题意，结 合 的 关 系 即 可 求 得 椭 圆 的 方 程；（2）设出直线/的方程为丁 =履+4,与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出 QWN的面积并等于2血，求解左的值，即可得直线/的方程；（3）由 已 知 得 的 坐 标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并 求 出 直 线 的方程，令y =0,求出x,即可得|0。1,并根据直线方程求出I O P I,然后相乘代入化简即可：【详解】解：（1）由题意得“=后，2_尸=4,解得a=2应，=2,所以椭圆厂的方程为三+匕=1.8 4（2）设点M,N 的坐标为（M，y）、N（X2，%），由题意可知，直线/的斜率存在设直线/的方程为 =日+4.y=+4由方程组2 ,得（1 +2公）/+16日+24=0+=118 416 人 24所以+一言7,中 2=由SMMN=1-4-|X1-X2|=21（+马）2 -4X/2 =S R：%=2忘N1 乙 K解得左=誓.，直线/的方程为y=半x+4（3）由 题 意 知 点 的 坐 标 为 M（X|,y），y =k x+t,代 入 工+匕=18 4得：Qk+1）/+4-ktx+2厂-8 =0,x.4-=-z-,x,x ；-2k2+1 J 2k2+12t tK+%=氏（玉+电）+2，=，对于直线y=Ax+1，令 y=0 得 x=IOP|=2k+1k对于直线M W：y _%=%+y（%_ ）,令 y=0r,x为一一-X j,r _%+%2必 （依2+/）+&（3+7）X -十%2-%+y%+必%+Ji2处 +不+工2）=8k.Q Q=%+,/、弘OP-OQ-=8.k t【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.2 1.（本题满分1 8 分，第 1 小题满分4分，第 2小题满分6分，第 3小题满分8分）（2 0 2 0 徐汇区上海中学高三期中）若存在常数meR,使得对于任意eN*，都有”,向 则 称 数 列 4 为Z（?）数列.（1）已知数列 4 是公差为2的等差数列，其前项和为S“，若 S“为Z（l）数列，求的取值范围；（2）已知数列出 的各项均为正数,记也 的前“项和为R”,数列 硝 的前项和为7；，且3 7；=E+4&,e N*，若数列 c,满足q,=2+了，且%为Z（?）数列，求”的最大值；（3）已知正项数列 4 满足：/J+1（n e N*）,且数列为Z（r）数列，数列，为口2 必女+2 ,Z（s）数列，若 与=rs,求证：数列 4 中必存在无穷多项可以组成等比数列.1 7【答案】（1）-2,”）；（2）tnm m=.（3）证明见解析.【分析】（D 由已知可得出5,用2 5.，可推导出 2 2 对任意的“G N*恒成立，由此可求得力的取值范围；22+二（2）利用图与 凡、瓦与7；之间的关系求得a=2,利用参变量分离法得出m -f,求得数列2日+工2“2+工2 J 的最小项的值,进而可求得实数加的最大值;（3）根据题中已知条件推导出rd2k.4 d2k+3，sd2k*4 d2 k,结 合 才=，s可推导出&=，进一步推导“k+l=d4 k+2可得出B =l,4）=4 o,依次类推得出 2 ；（2）当 =1时，由题意可得3 7；=R；+4 ,即3月=仿2+%，可得 一2仇=0,4 0 ,解得4=2；当 =2时，3 n=后+4&，可得3（4 +f）=（2 +4+4（2 +为），可得以一4 b 2=0,仇 0,解得打=4；当 心2时，由3 4=母+4凡 可得3 1 1 =/?,；_,+4&T,上述两式作差得3”=氏-%+4 2=（6一尺一）（此+R.T）+4 2=b“（R”+R,小 也,所 以,3 2=凡+凡_j+4,可得3%=及.+&+4 ,上述两式相减得3%-3 d =%+bn,可 得 今 =2且 今=2 ,所以，数列 2是首项为2,公比也为2的等比数列，所以，2=2,1 c“1则 C =d+T =2 +而,bn 2由q田 叫，可得2,+|+击2加(2 +!),所以，m2向+2 +i2n+2 2*+击 22 n+2+l 2（22,+2）-3，J 1 22 n+l+2 -22 n+,+2Z H-2=2-仁小，上，/口,22 n+,+2 23+2 1 0 1 01 7因此，实数机的最大值为市;(3)因 为 数 列4&+1 为z(r)数列,则 rd2sk+i&d?k+id2k+3，可得 rd2k_i，d 2H 3.另一方面，数列14 kd 2k+2 ,”为Z(s)数列，则s 1zzr乙 工?可 得 鼠m e%，d,7=r s,且 厂4 4，d5 d6,sdb d2=dyrs sd5,a1可得4 =痣 且中间每个等号都需取等，即s d(,=4=4不=$4，d,4T=rs dxl 又 rd5 d9,sdw db,：.rsdw rd5=rd6 d9 dw,可得rsl,rs=l,所以，dw rd5=rd6 d9 4 ,则4=4。且中间每个等号都需取等.以此类推，可得出ZA+I=d4k+2d&k+i=&k 3 .4+2 =因此，数列 4中必存在无穷多项可以组成等比数列.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的新定义问题，出列此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导.本题中，要结合“Z（加）数列”的定义得出不等关系，结合参变量分离法转化为不等式恒成立问题，在证明数列的有关结论时，要充分利用己知的结论进行推理论证，属于难题.