2021年高考数学全真模拟黄金卷04（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版）.pdf

黄金卷04(新课标III卷)文科数学本卷满分1 50 分，考试时间1 20 分钟。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 67=x|y =l o g2(x +2),A =x (x-l)(x-a)2 ,又CUA =1,+8),A A=(-2,1),又 A=x (x-l)(x-a)0 ,二 一2、1 是方程(工 一 1)(%。)0的两个根，。=一2,故选 A。2.设复数z 满足W(3+2i)=汽 则 复 数 z =()o-2+3zA、B、1 32+3i1 3C、3-2Z1 3D、3+2/1 3【答案】A户 _ _ _ -3i +2/_ _ 2 _ 3i3+2i -(3+2z)(3-20 -1 3 -1 3.-2+3/.z =-1 3,故选Ao3.某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是()。A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同照明系统评分雷达图【答案】B1【解析】根据雷达图可列表如下:根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。评分类别稳固性创新性外观造型做工用料成本设计一得分8分8分8分10分10分设计二得分8分8分10分8分9分4.函数/(x)=的大致图像是()。ln(x+1)【解析】由题意可知/(x)的定义域为X|X HO,；/(X)=sm(-j)=一 =_/(力，ln(-x)+1 ln(x-+1)/(x)为奇函数，其图像关于原点中心对称，C不对，.71 sin 一 /(砌=：兀=0,.A 不对，又/弓)=一=一5一 0.故选 B。In(A兀 +1)2 /兀 八1 /兀 八445.已知等差数列%的通项公式为凡=31-加(f w Z),当且仅当 二10时，数列 ”的前项和5 最大，则当 S q=-10时，k=()oA、20B、21C、22D、23【答案】A【解析】由题意可知，=解 得 卫/卫，又让2,贝卜=3,./=3 1-3，%=3 1-1 1 0 11 10.(59-3)”.(5 9-3母 .2 2即342_59左一20=0,女=2 0或%=一(舍)，故选A。36.宋元时期数学名若 算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的。、b分别为5、2,则输出的=()。A、2B、32C、4D、5【答案】Cn=4,【解析】模拟程序运行，可得：a=5、b=2,H=1 ,1 5C l=一，b=4,不满足。工人，执行循环，2n=2，4 5c i =:4力=8,不满足aWb,执行循环，九=3,1 3 5a=-8,=1 6,不满足。0,解得0 0,匕 0)的左焦点为F,过原点的直线/与双曲线左、右两支分别交矿 b于点P、Q ,且满足I Q W-I P 尸|=8,虚轴的上端点8 在圆f +(y 3 尸=1 内，则该双曲线离心率的取值范围为()。A、(岑，血)B、(72,73)C、(，2)D、(年，2)【答案】A【解析】设双曲线C的右焦点为尸连接尸尸、Q F ,如图所示，由对称性可知，P、。关于原点对称，则|O P|=|O Q|,QL/1又|O F|=|O 尸|,.四边形尸殖尸为平行四边形，_.IMHQ FI，则IQ FI-IP 用=IQ F|Q 尸 l=2 a=8,.a=4,孝 .虚轴的上端点8(0,份在圆产+(y -3)2 =1 内，02+(/-3)21,解得 28 4,则2 “2-a2 4,即 2 “2-1 6 4,得2 6 c 4 上，/.e=-e(,72),故选 A。a 21 0.关于函数f(x)=|cosx|-|si n|x|有下述四个结论:/(x)是偶函数:/(%)是周期为兀的函数;/(%)在区间(兀，日)上单调递减；F(x)的最大值为 后。其中正确结论的编号为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】函数/(%)的定义域为 R，由 /(-%)H cos(-x)|-1 s i n|-x|H cos x|-1 s i n|x|=/(x),/(x)是偶函数，正确，f(x+it)=|cos(x+n)|-1 s i n|(x +n)|=|cos x|-1 s i n|x|=/(x),4 /(%)是周期为九的函数,正确,当XW S 苧 时，x-+si国吨 寸,则/(X)在区间(无,手)上单调递减，正确,当x e 0,a 时，/(x)=cos x-s i nx =-V2s i n(x-)e -l,l ,当 x e(S，兀)时，/(x)=-cos x-s i nx =-V2s i n(x +e(-1,1)又由知f(x)是周期为兀的函数，,f(x)的 值 域 为,正确,故选A o11.函数，(%)=12一 111_+如 0 0 恰有两个整数解，则实数。的取值范围为()。A、(-3,-1B、(-2,-1C、-l n-3 -l n2-3 2D、(*2,-1【答案】C【解析】/(冗)的定义域为(0,+8),f(x)x2-nx+a x 0恰有两个整数解等价于a 0,g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递减,当了 1 时 hx)0,gr(x)0,g(x)在(1,+8)上单调递增,B 小 I 小、m 2 c r、l n3 c又 g =T，g(2)=-2,g(3)=-3 ,由题意可知：g(3)a g(2),号 一 33设外接球半径为R，在 R/AOO|C 中，。2=。0；+2,即 甯=(/a-/?)2+(#a)2,解得R=在用AOO1中,0E=JO0；+O|E 2过 E 点作外换球。的截面，只有当OE_L截面.圆所在的平面时，截面圆的面积最小,此时截面圆的半径为r=R2-O E2=，(苧。)2 -(苧 a/=,最大截面圆为过球心的大圆，半径为尺=巫“，4由题设存在半径为6的截面圆，百4逅。，解得2近 a 4 2 6,故选C。2 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知Z与3均为单位向量，且1_ 1_日+工)，则 与 的 夹 角 是。27r【答案】3【解析】.工与3是单位向量，日|=|各0，设向量1、3的夹角为。，a _ L(a +2Z?),，Q(Q+2Z?)=0,H P a+2a b=a+21|-cos G =1 +2cos 0=0,1 2 KC OS0=，又。0,兀,/.0=一。2 3x-y+l N O14.已知实数小y满足不等式组 工+丁-3 2 0,若一 十 丁的最大值为团,最小值为，则根 =_ _ _ _ _ _ _ _x217【答案】-26【解析】z =x2+/表示可行域中的点到原点距离的平方，由图可知点B（2,3）到原点的距离最大，m=zm a x=13 ,原点到直线x +y -3 =0的距离为可行域中点到原点距离的最小值,设距离为d,则d =L立，n=d2=,m n,故选B。V 2 2 21 5.已知数列 6 的各项均为负数，其前项和为S“，且满足2 s“=-片+%,贝 i J S s=【答案】-1 5 解析由 2 S“=-a；,+an,可得 2S+l=-a+l+an+l,两式相减得：2（*用一5“）=一（”3-寸）+（勺+I-4）,即 2 a“+=-（*-扁 +（a二 一%）,二（。向+）（+1-+1）=0.由已知。“0,用 /=1,.数列/为等差数列，公差为一1,再由 2 s“=-”；+怎，令”=1 得 2 5j =-4；+q ,口|1 2 4 =。：+q ,q =1 或 q =0（舍去），.Sn=na+（0）的 焦 点 为/，准线为/,A、8是抛物线上两个动点，且满足=设线段AB的中点M 在/上的投影为N,则感竺的最大值是AB【答案】1【解析】设|A 尸|=a、B F =b,如图所示，根据抛物线的定义,可知|4?|=|4。|、IBFH I.在梯形中，有|M N|=g（a+b）,在A 4 B E 中,|AB=a2+b2-2ab-cos=a2+b2-a b=（a+b）2-3 a b,瑞，昼 故 畏的最大值是1.2三、解 答 题（本大题共6 小题，共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.（1 2 分）7在 A4BC中。、b、c 分别为角A、B、。所对的边，已知-=-。2a-c 2cosC（1）求角8 的大小；（2）若 a=l、b=41 ,求 AA3C的面积。【解析】（1）在 A4BC中，A+B+C =n,.b 1 .sin/?1 八.-.由正弦定理得：-=-,2 分2a-c 2cosC 2sin A-sin C 2cosC2sinB cosC=2 sin A-sin C,即 2sin B cos C=2sin（B+C）sin C =2sin B-cos C+2cos B sinC sinC,化简得 2cos5,sinC =sinC,4 分1 冗又 sinCwO,A cosB=,B=；2 36 分（2）在 AA8c 中，由余弦定理得：h2=a2+c2-2ac-cos,即7=1 +。2。，.。2一。_ 6=0,解得c=3（可取）或 c=2（舍），.C 1 .R 373 SMBC=-sin 8=丁。8 分1 0分12分18.（12 分）如图，在三棱柱/IB C-A g G 中，4 月，平面力3 C，48=90,M 是 A 8的中点，A C =CB=C Ct=2.(1)求证：平面ACM _L平面；(2)求点M到平面A C K 的距离。【解析】（1）由AA_L平面ABC,C M u 平面A B C,则 A41_LCM,由AC=CB,M 是 A 8 的中点，则AB_LCM,又 A A A AB=4,则 CM，平面 ABB,A,又C M u 平面ACM,.平面ACM J_平面；1分2 分3 分4 分(2)如图，取 4 片的中点N,连结M N,设点M 到平面ACB1的距离为，5 分由题意可知g=2MC=2后，4/=痛，M N =2,7 分 x 2V2 x 2V2 x s in 60=2-73,也用=-x 2V2 x 2=272,8 分乂.AMBj=M C，SAA|M4=Vw-AC6 1。分8.点M到平面A C B 1的距离h=空 幽=巫SAAC81 31 2分1 9.(1 2 分)2 0 2 1年1月4日上午，辽宁省省委、省政府在沈阳召开辽宁省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程。某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 20 0件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品。如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表。设备改造后样本的频数分布表质量指标值 15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45 频数4369 628324(1)完成下面的2 x2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利18 0元，一件不合格品亏损10 0元，用频率估计概率，则生产10 0 0件产品企业大约能获利多少元？附：P(K2 k0)0.15 00.10 00.0 5 00.0 250.0 102.0 7 22.7 0 63.8 415.0 246.6 35nad-be)2(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)【解析】(1)根据上图和上表可得2 x2列联表:设备改造前设备改造后合计合格品17 219 236 4不合格品28836合计20 020 040 0将2x 2列联表中的数据代入公式计算得:K2 400X(172X8-2 8X192)220 0 x 20 0 x 36 4 x 36=12.21,4分9V 12.21 6.6 35.，有9 9%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；6分（2）根据上图和上表可知，设备改造后产品为合格品的概率约 为19三2=0.9 6,7分20 0设备改造前产品为合格品的概率约 为1匕7 2=0.8 6,8分20 0即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好；9分（3）用频率估计概率，10 0 0 件产品中大约有9 6 0 件合格品，40 件不合格品，10 分贝获利约为 18 0 x 9 6 0 10 0 x 40 =16 8 8 0 0 ,11 分因此，该企业大约能获利16 8 8 0 0 元。12分20.（12 分）2 2如图所示，已知椭圆c：企+方=1（。60）的左、右焦点分别为G、F2,过点G 且与X 轴垂直的直线与圆O：2+2=2 交于点M（点M在X 轴上方），与椭圆c交于点N（点 N 在 x 轴下方），且 满 足 耳|=&N F 3（1）若公肠 下2的面积为4+2后，求椭圆C的标准方程；过点M作椭圆C的切线，与 直 线 交 于 点。（3 ），其中 则。=V c,又 a1+C1,b=c,2 分a2 2b之故|MN|=(l +*)b,FF2=2b,3 分由 S.NE+半)/=4 +2 也，解得 b =2,故 a =2 行，椭圆C的标准方程 为 三+3=1：4 分8 4102 2(2)由(1)知,椭 圆C的 方 程 为+方 =1,M(-b,b)t设切线M Q的方程为y-b =%(x+6),由，y-b=k(x+b)x2 2 得：(I+2k2)x2+4k(l+k)bx+2k(k+2)b2=0,-T-7 =12b2 b25分6分8分=16产(1+kfb2-82(1+2k2)(k+2)Z?2=0,9 分解得Z=0或 左=2,其中Z=0时不满足vO,舍去，10分又 ；一:，、=一1，即 M Q L M尸2，-b-b 2故以线段。乃为直径的圆经过点V。12分21.2 2 分)已知/(x)=(e+)-ln x +-x oe x求函数/(x)的极值；设g(x)=ln(x+l)-赤+e”,对于任意不 。+8)、9 口，+8),总有g(XI)2*|/(X2)成立，求实数。的取值范围。1 /、/1、e+-1 (x-c)(x)【解析】/(X)的定义域为(0,+8)，f(x)=-4-1 =-5 -1分x x X令 fx)=0,解得x=x =e,2 分e当。尤 1时，fx)0,则f(x)在(L e)上单调递增，e e当时，fx)0,则/(x)在(e,+8)上单调递减，4分1 1 7 2 /(x)在X=一处取极小值为/(-)=一一，在x=e处取极大值为f(e)=一，5分e e e e2(2)由可知当x w 1,+oo)时,f(x)的最大值为/(e)=二，e对于任意 w0,+8)、工+8)，总有g(X)Z|/(X2)成立，等价于g(x)N l恒成立，gr(x)=ex+-a,7分X+111当x+l,g，(x)=e*H-x +l+-a 2-a 0,x+x+1即g(x)在 0,+oo)上单调递增，g(x)Ng(O)=l 恒成立,符合题意,可取,8 分当 a 2 时，设(%)=/d-a,hf(x)=ex-x+1(x+1)2(x+l)2-(x+1)2 0,gr(x)在 0,+8)上单调递增,且 g(0)=2-a 0,4 3设4、为此方程的两个实数根，则4+巧=一半，4 4=-3，5 分6 分7 分8 分12乂直线/过点尸(0,1),44 0，I P A|+1 P B|=+弓)2 -句 必=J 鬻+.=23.选修4-5：不等式选讲(1 0 分)已知函数/(x)=|2x+a|+l(1)当a =2 时，解不等式/(x)+x 2 ；(2)若存在使得不等式/(x)N+|2x +a 2|的解集非空，求人的取值范围。【解析】(1)当。=2 时，函数/。)=|2+2|+1,解不等式/(x)+x 2 转化为：|2x+2 1+1 +x v 2,即 1 2x +2 1 解得一 3 v x ，3不等式的解为 x|-3 x -g ；(2)由 f(x)2 6+1 2x +c J|得Z?2 x +a|-1 2x +c|+1 ,设 g(x)=|2x +|-|2x +。21+1，则不等式的解集非空，等价于/?W g(X)m a x，由 g(x)|(2x+a)-(2x+a2)|+1 =|a?-a|+1 W-b|t/2-|+1,由题意知存在a e -使得上式成立，而函数(a)=d-a 1+1 在 上 的 最 大 值 为/z(g)=蔡，1 3 1 3:b普,即b的取值范围是(一 8,。9分1 0 分2 分4分6分8分1 0 分13