2021年高考真题——数学（理）(全国乙卷) 含答案以及解析.pdf

2 0 2 1年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本 题 共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 2 (z+z)+3(z-z)=4+6 i,则 z=().A.l-2 iB.l+2 iC.1+iD.1-i2.已知集合 S=s|s=2 n+l,nd Z ,T=t|t=4 n+l,n Z ,则 S D T=()A.0B.SC.TD.Z3.已知命题p：S xG R,si nx l；命 题q：V xG R,则下列命题中为真命题 的 是()A.pA qB.-i pA qC.pA -tqD.-i(pV q)4.设函数f(x)尹，则下列函数中为奇函数的是()1+XA.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l5 .在正方体A B C D-A B C D 中，P为BD的中点,则直线P B 与A D i 所成的角为()6 .将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A.6 0 种B.1 2 0 种C.2 4 0 种D.4 8 0 种7 .把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移E 个单位长度，得到函数丫=$打仪-?的图像，则 f(x)=()A.si n停争B-si 呜C.si n(2%D.si n(2%+8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1 个数，则两数之和大于Z 的概率为()4A.-4Ill9.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点 E,H,G 在水平线AC 上，DE和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称 为“表距”，G C 和 E H 都称为“表目距”，G C 与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=().表高乂表距表目距的差A：+表 高B：表 欹 表 距表目距的差-表 高C：表高X表距表目距的差+表 距D：表高表距表目距的差-表 距1 0.设 a W O,若 x=a 为函数f(x)=a(x -a)2(x -b)的极大值点，则().A：a bC：a b a22 21 1 .设B 是椭圆C：-+(a b 0)的上顶点，若 C上的任意一点P都满足|P B|2 b,则C的离心率的取值范围是().A：惇 1)B：川c：(。靖1 2.设a =2E1.01,b =ln l.02,c =V L 0 4-1，则（）.A：a b cIVB：b c aC：b a cD：c a 0）的一条渐近线为g x+m y=0,则 C的焦距m为.1 4 .已知向量 a=（l,3）,b=（3,4）,若（a-、b）_ Lb,贝|入=。1 5 .记4 ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为8，B=6 0 ,a2+c2=3 a c,贝 U b=.1 6 .以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写出符合要求的一组答案即可）.（第16期图）三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 6 0分。1 7 .（1 2 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：V旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为土和歹，样本方差分别记为S：和s22(1)求三，y,Si2,s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果片元2 2杵I则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如图，四棱锥P-ABC D的底面是矩形，P D，底面ABC D,P D=DC=1,M为B C的中点，且 P BJ_ AM,(1)求 BC；(2)求二面角A-P M-B的正弦值。(第18题图)1 9.(1 2 分)记S n为数列 a j的前n项和，b n为数列 S J的前n项和，已知自+:?.Sn bn(1)证明：数列 b j是等差数列；(2)求 4 的通项公式.V I20.（12 分）设函数f (x)=l n (a-x),已知x=0是函数y=x f (x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数g (x)=呼 9,证明：g(x)0)的焦点为F,且 F与圆M：x2+(y+4)?=1上点的距离的最小值为4.(1)求 p；(2)若点P 在 M 上，P A,P B 是C 的两条切线，A,B 是切点，求A P A B 的最大值.(二)选考题：共 10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 一 4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系x O y 中，0 c 的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出OC 的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点F (4,1)作0 C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.23.选修4 5：不等式选讲(10分)已知函数 f (x)=|x-a|+1 x+31.(1)当a=l 时，求不等式f (x)2 6 的解集；(2)若 f (x)2 a，求a的取值范围.VII2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2（z +z）+3（z-z）=4+6i,则2=（）A.1-2/B.l +2z C.1 +/D.1-/【答案】C【解析】【分析）设z =a+而，利用共瓶复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、。的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设2=g +初，则=。一万，贝i J 2（z +z）+3（z-z）=4a +64=4+6i,4。=4所以，,解得。=因此，z =1 +z.6b=6故 选：C.2.已知集合 5=卜 卜=2 +1,2,7 =卜|=4 +1,2,则5?7 （）A.0 B.S C.T D.Z【答案】C【解析】【分析】分析可得T qS,由此可得出结论.VIII【详解】任取f e T,则r=4+l=2 (2)+l,其中e Z,所以，t e S,故T q S,因此，s n r=T.故 选：C.3.已知命题：R,sinx v 1 ；命题q:Vxw R,e区N 1,则下列命题中为真命题的是()A.夕 B.-P q C.P A f D.(p v q)【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题4的真假性,由此确定正确选项.【详解】由于一IK sin x W l,所以命题，为真命题；由于凶2 0,所以3乂2 1,所以命题4为真命题；所以q人 为真命题，r q、P 人7、为假命题.故 选：A.1 X4.设函数/(%)=,则下列函数中为奇函数的是()1+XA./(X1)1 B./(X1)+1 C./(x+l)1 D.仆+1)+1【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.-x 2【详解】由题意可得/(x)=-=-1+,1 +X 1 +X2对于A,“x 1)-1=2不是奇函数；IX2对 于B,“无1)+1=是 奇 函 数；x2对 于C,/(x +1)-1=-2,定义域不关于原点对称，不 是 奇 函 数；对 于D,f(x +l=-,定义域不关于原点对称，不是奇函数.x+2故 选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5.在 正 方 体ABC。-4与。中，P为乌。的中点，则 直 线P8与A 所成的角为()7 1 兀 兀 兀A.-B.-C.-D.一2 3 4 6【答案】D【解析】【分析】平 移 直 线A A至8 G，将 直 线 依 与A A所 成 的 角 转 化 为 心 与8 G所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连 接BG，PG，P 8,因 为A，8 G，所 以N P B Q或 其 补 角 为 直 线P B与 所 成 的 角，因为 Bq J.平面 4 4 G 2,所以 B 4 J.P G，又 PCILB QI，B B q B R=B-所 以PC,1平 面P B B 所 以PC,1 P B ,X设正方体棱长为2,则B J=27 2,P C、=；D超=6、s i nN P B G=-=1,所以N P B G=J.6 a 2 6故 选：D6,将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.48 0 种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合,排歹I J,乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有C；种选 法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；*4!=240种不同的分配方案，故 选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7.把函数y =/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移2 个单位长度，得到函数.丫=4 1 1 1-?)的图像，则/(x)=()B.sinx+7112D.s i n f 2x +I 12j【答案】B【解析】XI【分析】解 法 一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到T N.=si.n I xn4,再利用换元思想求得y=f(x)的即得2(-解析表达式;解法二：从函数y=sin|x?出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=/(x)的解析表达式.【详解】解 法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不TT变，得到y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移1个单位长度，应当得到y=的图象，根据已知得到了函数y=sin(x-?J的图象，所以“21x三I 4；所以/(/)=5由G+卷 ,所 以/)=5皿 修+*解法二：由已知的函数y=sin(x f 逆向变换，第一步：向左平移!个单位长度，得到y=sinx+?-?J=sin x+J的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin+5)的图象，即为 =/(x)的图象，所以/(x)=sin1|+春)故 选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以XII逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是X的变换，图象向左平移。个单位，对应x替换成尤+a,图象向右平移a个单位，对应x替换成X-a ,牢记“左加右X减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍，对应解析式中X替换成一.k78.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()47 23 29 32 32 9【答案】B【解析】【分析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为苍儿则实验的所有结果构成区域为Q=(x,y)|0 x l,l y 2),设 事 件A表 示 两 数 之 和 大 于;，则构成的区域为A =1(x,j)|0 x l,l y(2,x+y)|,分别求出Q,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出.【详解】如图所示：设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为孤儿则实验的所有结果构成区域为O=(x,y)0cx 1,1 y 2 ,其面积为又=1x 1=1.7设事件A表示两数之和大于一，则构成的区域为4A =(x,y)|0 x l/y 2,x+y)(,即图中的阴影部分，其面积为=1-1x23X =4,所以P(A)2 4S c 32故 选：B.XIII【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件。,A 对应的区域面积，即可顺利解出.9.魏晋时刘徽撰写的 海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点 E,H,G 在水平线A C 上，。石和E G 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，E G 称为“表距”，G C 和 硝 都称为“表目距”，G C 与 的 差 称 为“表目距的差”则 海 岛 的 高()表高x表距表目距的差+D表高x表距主一B-表目距的差一表局C.表高x表距表目距的差+表距C表高X表距寿而D表目距的差一表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.【详解】如图所示：由平面相似可知,DE EH FG CG而D E=F G,所以DE EH CG CG EH CG-EHA C-A H -CH而 CH=CE EH=CGEH+EG,即A B =CG EH+EG-C G-E Hx DE-EGxDECG-EH+DE表高x表距表目距的差+表高故 选：A.XIV【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.10.设。工0,若 x =a为函数=。了 。)的极大值点，贝 IJ()A.a b C.ab a1【答案】D【解析】【分析】结合对。进行分类讨论，画出了(X)图象，由此确定正确选项.【详解】若a =。，则/(x)=a(x 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 山b.依题意，x =为函数 x)=a(x a p(x 的极大值点，当a v O 时，由 乩/(x)0,画出“X)的图象如下图所示：由图可知/?，2.当。0 时，由%匕 时，/(x)0,画出“X)的图象如下图所示：XV综上所述，a b/成立.故 选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.2 211.设8是椭圆C：T +=l（a b ）的上顶点，若C上的任意一点P都满足P B 2 b,则C的离心率的取值范围是（）内、（1A.L2,1）B.L-2,1 J C.I 0,2J D.I 0,2-【答案】C【解析】【分析】设尸（七,%），由3（0,。），根据两点间的距离公式表示出|尸邳,分类讨论求出|P理的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.2 2【详解】设尸伉,为），由B（0，M因 为 工+磐=1,a2b2+c 所以a bI D D|2,/八2 2 r l 尤）/,2 C2（b3 Y b4,小归 却=%+（%-6）=a 1-p-+（%）y0+a+h,I”J c）c因为 当一乌一儿 即 从“2时，户 比、=4，即|尸3舄=2乩 符合XVI题意，由 2/可得即0 一人，即 从 2)2 0,显然该不等式不成立.故 选：C.【点睛】本题解题关键是如何求出1p B i的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.12.设a =21n l.0L h=l n l.O 2,c=1 贝U ()A.a b c B.b c a C.b a c D.c a l n l.02=/?,所以/?；下面比较C与。，的大小关系.记/(x)=21n(l +x)-J l +4x +1,则/()=0,r(x =_ 2_ _ _ _ _ _ J=2(-j)1 +x J l +4x (1+尤)J 1+4 尤由于 1+=2x x2=x(2 x)所以当 0尢 0,即 J l+4x(l +x)/(x)0,所以在 0,2上单调递增，XVII所以/（0.01）/（0）=0 即21n 1.01,即a c-令 g（x）=M（l+2x）-Jl+4 x +lJiHlg（0）=0,2 _ 2 _ 2（&+4XT-2X）g l+2x Jl+4x（l+x）Jl+4x由于 1 +4X-（1 +2X）2 =y%2,在 x0 时,I+4 x-（l+2x）-0,所以g（x）0,即函数g（x）在 0,+）上单调递减，所以g（0.01）g（0）=0,即lnl.02而 正 1,即 bc;综上，b c 0）的 一 条 渐 近 线 为 氐+/4=0则c的焦距为m【答案】4【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。,人的关系，再 结 合 双 曲 线 中 对 应 关 系，联立求解?，再由关系式求得J即可求解【详解】由渐近线方程百+。=（）化简得 =-3工，即2=正，同 时 平 方 得 耳=乌，m a tn a m又 双 曲 线 中a2=m,h2=,故二=一,解 得m =3,m=0（舍 去），m m=c/+/=3+l=4=c=2,故焦距 2c=4故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键XVIII14.已知向量a =(3,4),若贝 114=3【答案】-5【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为萩=(1,3)X(3,4)=(l 3 4 3 42),所 以 由 仅 一 时 可 得，3(1 3/l)+4(3 4X)=(),解得2=1.故答案为：士3.5【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设=(不 苗)=(9,%)，ab a-b-O xx2+y,y2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.15.记 A B C的内角4,B,C的对边分别为“，仇c,面积为6，8 =6()。，a2+c2-3ac,贝U b=【答案】27 2【解析】【分析】由三角形面积公式可得a c=4,再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，S ARC=a cs i n B=-ac=.2j所以 a c=4,/+/-12,所 以/=/+c2-2a cco s B =12-2x 4x =8,解得b=2a(负值舍去).2故答案为：2历.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为(写 出 符 合 要 求 的 一 组 答 案 即可).XIX/j/Wh 2 H p 2 H h 2 H图 图 图图 图【答案】【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为，如图所示，长方体 A B C D -A A G A 中，A B =B C =2,BBt=1,E I分别为棱B C，B C的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥-4*.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.XX三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1 和5,样本方差分别记为5,2和 瞪.(1)求，y.S；,；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果9一元2 2 杼禹，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】7 =10,7 =10.3,S；=0.036,5；=0.04；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.【解析】【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.(2)根据题目所给判断依据，结 合(1)的结论进行判断.八 Y /、9.8 +10.3+10+10.2+9.9 +9.8 +10+10.1 +10.2+9.7 详解(1)x =-=10,-1 0.1 +10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 y =-=10.3,“1002 0.22+O.32+0 +0.22+0.12+0.22+0 +0.12+0.22+O.32 八 八“=-=0.036，110用=0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0 +0.32+0.22+0.12+0.22 八八“-=0.04.10XXI（2）依题意，y-x =0.3=2x 0.15=27 0.152=27 0.025S0=2J 0.038 .y-x 2AK 5.,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.V io18.如图，四棱锥PABC D的底面是矩形，P）_ L底面A B C。，P D=D C =l,A f为8c的中点，且.（1）求 8 c ；（2）求二面角AD M-3的正弦值.【答案】（1）7 2；（2）叵14【解析】【分析】（1）以点。为坐标原点，D A.D C、D P所在直线分别为、z轴建立空间直角坐标系，设8 C =2a,由 已 知 条 件 得 出 方.说=0,求出。的值，即可得出8C的 长；（2）求出平面PA、P8M的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）.P DL平面A 8 C。，四边形A 3 C D为矩形，不妨以点。为坐标原点，D 4、D C、。产所在直线分别为x、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz,XXII设B C =2 a,则0(0,0,0)、P(0,0,l)x B(2a,l,0).(a,1,0)、A(2a,0,0),则 方=(2a,l,-l),AM=(-a,1,0),-.-P B I A M,则 丽 丽 =一2/+1 =0，解得 a =乎，故 B C =2a=yi；(2)设平面PAW的法向量为五=(X i，y”z j,贝I J A M=-,1,0Q=(_0,o,i),由，ni A M =-x.+y.=0 I -/一 2 7 1,取 石=0,可得加=(应,1,2),m-A P=-5/2 +Z =0设平面P8M的法向量为=(/,%2),B而=一 今0,02)BP=(-V2,-1,1),由,V2n-B M =-=0 1 ,、2，取 必=1，可得=(0,1,1),万.BP-lx2-y2+z2=0-一 in-n 3 3/14co s =I =j=f=b n -n V 7 x A/2 14所以，s i n =J l-co s2 -或 14XXIII因此，二面角A-加 8的 正 弦 值 为 叵.14【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计 算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.2 119.记5 为数列%的前 项和，么 为数列 S 的前项积，已 知 三+丁 =2.（1）证 明：数列 2 是等差数列；（2）求 为 的通项公式.-3,一,=12【答案】（1）证明见解析；（2）-7-【解析】【分析】（1）由已知丁 +丁=2得5“=，且2 N0,取=1,得仇=.由题意得3 bn 2不2 b,*U2br）寸2h七n,2b2 h.,（、=2，消积得到项的递推关系，进而证明数歹u 是等差数列；（2）由（1）可得/的表达式，由此得到S“的表达式,然后利用和与项的关系求得2 1 c 0 2b 1【详解】由 已 知 鼠+7=2得S“=近、，且尸0,2产 耳,XXIV 3取=1,由S=伪得=,由于a为数列 y 的前项积,2b,2b,2b,所所 以以-2-4-一 1 -.2.b.2-1-2-b-=bn-l n，所以2bl_ 2_ 2Z?”+2b1 2 仇-1 2%1=b“+i,所以2bz _ b+l2口一1 bn 由于2用。02 1 1所 以 大 一-即2+小 瓦;二 其 中 eN*2b“+1 bn 2q 1所以数列也 是以a=3为首项，以d=彳为公差等差数列；乙，O 1（2）由 可得，数 列 也 是以仇=9为首项，以，/=不为公差的等差数列,2btt _ 2+26Z/-1-T+73当 n-1 时，q=S=一,2C C2+H 1+H 1当 时，an-S -Sn_=-/TV,显然对于 n=l 不成立,1 +n n （几+1）4Ti）,n2【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前项和与项的关系，数列的前项积与2b.2 a 2hn 7 2A 2 a 2b+l r项的关系，其中由 ”-=b,1，得到 -,-=2+1,24一 1 2b2-1 2hn-1 2h-1 2b2-1 2btl+1-12b b进 而 得 到 玄 是 关 键 一 步；要熟练掌握前 项和，积与数列的项的关系，消和2%-1 bnXXV(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.20.设函数/(x)=l n(a-x),已知x =0 是函数y =(x)的极值点.(1)求 a ；Y 4-f(r )设 函 数 g(x)=.证明:g(x)lxf(x)【答案】1;证明见详解【解析】【分析】(1)由题意求出V,由极值点处导数为0 即可求解出参数a ；由(1)得 g*)=x+l n(l x)x l n(l-x)x l 且 xwO,分类讨论x e(0,l)和x e(f o,O),可等价转化为要证g(x)x l n(l-X)在 x e(0,l)和XC(F,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】(1)由/=n(a r)=/(x)=,x C lV*y =V(x)=y，=n(a _ x)+,又 x =O是函数y =犷(x)的极值点，所以y(O)=l n a =O,解得a =l ；由(1)得/b(力 T!。-%),g(x)x+f(x).t +l n(l-.r)V(x)x l n(l-x),X1z、x+l n(l-x),、z当 X(o,l)时，要证g(x)=-7-7 0,I n(l-x)0,.,.x l n(l-x)0,7 x l n(l-x)即证X+如,化简得x +(l-;/、x +l n(l-x)/、同理，当 X(-o o,0)时，要证 g(x)=r-r l,v x 0,x I n (1 x).x l n(l-x)x l n(l x),化简得x +(l-;令/7(x)=x+(l-x)i n(i-x),再令r =i x,贝 i J t e(0,l)U(l,+o o),x =l-r,令 g(。=1 7+H n f,g(f)=-l +l n r +l =l n/,XXVI当f e(O,l)时，g(x)g =0；当小(1,小)时，g(x)0,g(x)单增，假设g 能 取到，则g(l)=0,故g )g=；x+l n(l x)/、/、综上所述，g(x)=/0)的焦点为尸，且尸与圆M:2+(+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求。；(2)若点p在M上，PAPB是C的两条切线，A,B是切点，求 面 积 的 最 大值.【答案】(1)p=2;(2)20A/5.【解析】【分析】(1)根据圆的几何性质可得出关于月的等式，即可解出P的 值；(2)设点A(x”y)、8(%,%)、P(x0,y0),利用导数求出直线R 4、P B,进一步可求得直线A8的方程，将直线A3的方程与抛物线的方程联立，求出|A 8|以及点P到直线A3的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 P A B面积的最大值.【详解】抛物线C的 焦 点 为 小，y皿=孑+4,所以，/与 圆M：/+(y +4)2=l上点的距离的最小值为勺4-1 =4,解得。=2;(2)抛物线C的方程为f=4 y,即y =?,对该函数求导得y =万，XXVII设点A（X i，y J、8（%2，%）、P（x。，%），直线2 4的方程为y _ y =5（尤_ 玉），即,=芳 _ 凹，即X X -2,一2y =0,同理可知，直线P 8的方程为K2%-2必-2=0,由于点P为这两条直线 公共点，则 /二 7x2xa-2y2-2y0=0所以，点A、3的坐标满足方程x x-2y -2y o =0,所以，直线A 3的方程为x x 2y 2y o =0,xox-2y-2yo=0联立|x2.可得2-2%+4%=0,由韦达定理可得用+=2/,x,x2=4%,所以,|阴=1+T 小|+工2)2-4中2=1+T4 4片 一16%=J(片+4)(后4%)考-4%点P到直线A B的距离为d=1,也；+4所以，S&PAB=：|+4乂笠 4%)J ；,-4%)2 2 V%o+4 232看 一4%=1 -(%+4)2-4%=-巾 T 2%-15=-(+6+21,由已知可得-5 4%4-3,所以，当方=-5时，P A 8的面积取最大值1 X232()3=207 5.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.XXVIII(-)选考题，共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)22.在 直 角 坐 标 系 中，OC的圆心为。(2,1),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；(2)过点F(4,l)作0 C 两条切线.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.x =2+co s a TT r-【答 案】(1),.,(a为 参 数)；(2)2p co s(e +2)=4-6或y =l +s m a 32p co s(-)=4+V 3.【解析】【分析】(1)直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；(2)先 求 得 过(4.1)的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】(1)由题意，0 c的普通方程为(x-2)2+(y-l)2=1,X =2+CO S CL所以0 C 参数方程为.(a为参数)y =1 +s i n a(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y-l =-x 4),即kx y+l 4 k-0,-2k,由圆心到直线的距离等于1可 得 了 二 卞=1,J 1+二解得=g,所以切线方程为J I r一 3y+3-46=0或G x+3y-3-4石=0,将x =p co s。，y =0s i n。代入化简得2co s(6+()=4-6或 20co s(。0)=4+6【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的数学运算能力，是一道基础题.XXIX 选修4-5：不等式选讲(10分)23.已知函数/(x)=|x-a|+|x+3 .(1)当a =l时，求不等式/(x)6的解集；(2)若求a的取值范围.【答案】(1)(f),-4 U 2,侬).(2)(一,，+8【解析】【分析】(1)利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.(2)利用绝对值不等式化简/(x)a,由此求得”的取值范围.【详解】当。=1时,/(x)=|x-l|+|x+3|,1(+卜+3|表示数轴上的点到1和 3的距离之和，则6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6,故或尤之2,所以/(x)6 的解集为(T2T U 2,+8).-4 -3 0 1 2(2)依题意a,即 一+|x+3 -a怛成立,|x o|+|x+3|=|t z J V|+|X+3|+3|,故|a +3 ci,所以。+3 。或 Q+3 .2所以”的 取 值 范 围 是+8).【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.