2021年河南省六市高考数学第一次联考试卷2（理科）.pdf

2021年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科）（3 月份）一、选 择 题（共 12小题）.1.集合 A =x|竺gw。,集合 B=x|y=J 10gL(1-x),则集合 A U 8 等 于()x+1 V 2A.0,京B.(-1,+8)C.(-1,1)D.-1,+8)2.已知i 是虚数单位，复数Z 满足（l-i）2z=l+i，则|z|=()A.&B.2C.1D-辰3.等差数列 斯 的前 项和为 S”,515=30,。10=4,则 a g=()A.2B.3C.4D.84.为了得到函数g （x）=si n 2x 的图象,A.向左平移多个单位长度6B.向右平移令K个单位长度C.向左平移居个单位长度D.向右平移器个单位长度125.2/，l o g 26,310g 32的大小关系是（A,23 l o g2631o g32c 31o g32 23 l o g26需将函数/（x）=si n （-2x）的 图 象（6B-2731o g32l o g26D-31o g32l o g26 0)的焦点为F,M(即，y)为该抛物线上一点，若 以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,NAMF=120,过F且与y轴垂直的直线/与C交于G,两点，Po为C的准线上的一点，GPo的面积为()A.1 B.2 C.4 D.910.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制.二进制数据是用。和1两个数码来表示的数.它的基数为2,进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”.如图所示，把十进制数(10)io化为二进制数(1010)2,十进制数(99)io化为二进制数(1100011)2,把二进制数(10110)2化为十进制数为1X24+0X23+l X22+l X2+0X2=16+4+2=22,随机取出 1 个不小于(100000)2，且不超 过(111111)2的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是()(10=(1010(99O=(11OOO11)2A.932c蜜D.15611.在三棱锥A-B C D中，A 8=C =4,A C=B Q=A O=B C=3,则该三棱锥的内切球的表面 积 为（）A 4兀 口 c 3兀 C 3兀A.-B.Iz u C.-D.-5 2 412.若函数f（x）=（2公+皿）I nx-（a-1）F有三个不同的零点，则实数。的取值范X围 是（）A2 A4e-4e7 2 4 e-4 e4 e2+lC.(0,1)U (1,-)4 e-4 e4e2+lD.(0,1)U-y-)4 e2-4 e二、填 空 题（共4小题）.13.已知向量（1,2），b=（k,1）.且2之+芯与向量Z的夹角为90。，则向量之在向量1方 向 上 的 投 影 为.2 x+y-2 01 4 .已知实数x,y满足,3x-y-3w 0,则z=x-3y的 最 小 值 为.x-2 y+4 01 5 .设正数数列%的前项和为S.,数列&的解项之积为五,且S,+2 4=l,则数列 斯的 通 项 公 式 是.2 21 6 .已知直线/：*-口=0交双曲线r：孑-，=1（。0,匕）于A，8两点，过Aa bz作直线I的垂线AC交双曲线r于点C若NA 8 C=6 0 ,则双曲线的 离 心 率 为.三、解答题：本大题共5小题，共7 0分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题:共6 0分。1 7 .在 A 5 C中，内角A,3 C所对的边分别为a,b,c,若 乙 2=s i n C t a n A -c o s C.a(I )求角A的大小；(I I )若 b=3&,c=2,点 D 在边 B C 上,且 C O=2 O 8,求 a 及 A D1 8 .如图，在四棱锥A-B C F E中，四边形E F C B为梯形，E F/B C,且2 E F=B C,XA B C是边长为2的正三角形，顶点尸在AC上的射影为点G,且尸G=次，C尸=Y|I,B F=52(1)证明：平面F GB _ L平面A 8 C；(2)求二面角E-A B-F的余弦值.1 9.某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月(概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月(概率均为0.5)(1)若从4件一等品和2件二等品共6件部件5中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率.(2)现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购 置1件一等品和2件二等品，试从性价比(即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比)角度考虑,选择哪一种方案更实惠.2 0 .已知椭圆C：1 b )的离心率为返，且 过 点(0,2).a，2(I )求椭圆C的方程：(II)若矩形A B C Q的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.2 1 .己知函数/(x)e1-2lnx+x.(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：f(x)N (x-2)3-3(x-2).选考题：共1 0分请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系x Oy中，直线/的参数方程为卜=1+比$?(f为参数，叩日0,IT),y=l+t s i nQ以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为/c 兀、P =4 c os(6(1)求 圆C的直角坐标方程；(2)设P(l,1),若直线/与圆C相交于A,B两点，求 而|的 最 大 值.选修4-5：不等式选讲23.已知a,b,c为正数，且4+Z+C=2.证明：(1)a b+b c+a c 4 ；(2)2za .2zb ,2 Z 8.b c a参考答案一、选 择 题（共12小题）.1.集合 A=x|&W w。,集合 B=x|y=J l0gL（1-x）,则集合 A U 8 等 于（）x+1 V 2A.0,y B.（-1,+8）c.（-1,1）D.-1,+8）解：；A=x|-1乂4千，B=x|logL（l-x）0=x|ov i-xW l=x|O l,T；.AUB=（-1,1）.故选：C.2.已知i 是虚数单位，复数z 满足（卜i）2=+则|w=（）zA.&B,2 C.1 D.代解：复数 Z 满足（l-i）2 所以 z=lk 2i=若=-2i g-i）=_ 1 一 i,z 1 1 1+i 1+i 2所以|z|=l+l=&,故选：A.3.等差数列 的前项和为S，Si5=30,IO=4,则硒=（）A.2 B.3 C.4 D.8解：设等差数列如的公差为d,Si5=30,SO=4,15X 14 15 1+央-2/d=3 0,。+9d=4,联立解得：a=-5,d=l,则。9=-5+8=3.故选：B.兀4 .为了得到函数g（x）=sin2x的图象，需将函数f （x）=sin（-2x）的 图 象（）6KA.向左平移？个单位长度61TB.向右平移;，个单位长度12C.向左平移器个单位长度12D.向右平移需个单位长度解：为了得到函数g（x）=sin2x的图象,ir jr需将函数/(%)=sin(-2x)=sinTi-(-2x)=sin(2x+-6 65兀6）的图象,向右平移哈个单位长度,故选：5.2y,log26,310g32的大小关系是（_ 1 _A 23 lo g26 31og32B.23 C31o g32 lo g26C 31og32 23 lo g26D.31og32 lo g26 21)_L n n解：2 3 2 2-|-，310g32=log38 log24=2,_ 1 _所以 2T 31og32 0 时，第一个零点为mi-p当 x=l 时，/(I)=1 s i nl MJ _A F,D D L A F,则有4 F J _面 Z M/功，同理面M DQL AE,则平面M D|_L平面 A E F,又点P在侧面BC C 及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面A E F与面BC C B的交线段E F.产为B C的中点，E为 的 中 点，及 产+6）2=冬故选：A.9.己知抛物线C：=2py（p 0）的焦点为F,M（助，y）为该抛物线上一点，若 以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,ZA MF=nO ,过F且与y轴垂直的直线/与C交于G,，两点，R）为C的准线上的一点，G H P o的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.9解：过点M作轴，由抛物线的性质可得|MA|=MF=将M点坐标代入抛物线的方程，得项2=2 ,即x 2=p,不妨设M在第一象限，则 项=爪，所以|BM|=XO=、G，因为 N A MF=120,所以 N B H W=30,所以2|8匀=|M/q,所以2（M-!）=匕 与，解得P=3,2 2 2 2所以抛物线的方程为f=6y,所以尸（0,）,2准线的方程为y=-1，所以P o到直线G H的距离d=p=3,联 立 F,解得x=3或-3,x2=6y所以 G （-3,3）,口（3,3）,所以GH=6,所以 SAGHPo=，|GH|d=/6 3=9,故选：D.1 0.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制.二进制数据是用。和 1 两个数码来表示的数.它的基数为2,进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用 1 来表示“开”，用 0 来表示“关”.如图所示，把十进制数(10)io化为二进制数(1010)2,十进制数(99)io化为二进制数(1100011)2,把二进制数(10110)2化为十进制数为1X24+0 X 23+l X22+l X2+0X2=16+4+2=22,随机取出 1 个不 小 于(100000)21 且不超 过(111111)2的二进制数，其数码中恰有4个 1 的概率是()(叫 0=(1010)2(99)10=(1100011),A.B.区 C.坨32 31 31解：(100000)2=1X25=32,(111111)2=1X25+1X24+1X23+1X22+1X2+1X2=63,33=(100001)2，34=(100010)2，35=(100011)2，36=(100100)2，37=(100101)2.38=(100110)2基本事件总数九=32,39=(100111)2,40=(101000)2，41=(101001)2，42=(101010)2，43=(101011)2，44=(101100)2，45=(101101)2，46=(101110)2，47=(101111)2，48=(110000)2，49=(110001)2，50=(110010)2，51=(110011)2，52=(110100)2，53=(110101)2，54=(110110)2，55=(110111)2，56=(111000)2，57=(111001)2，58=(111010)2，59=(111011)?,60=(111100)2，61=(111101)2，62=(111110)2，63=(111111)2，随机取出1个不小于（100000）2，且不超过（111111）2的二进制数,其数码中恰有4 个 1包含的基本事件有10个，.其数码中恰有4 个 1 的概率0=黑=昱.32 16故选：D.11.在三棱锥A-B C。中，A B=C D=4,A C=B D=A D=BC=3,则该三棱锥的内切球的表面 积 为（）.4兀 c,r C 3兀 r 3冗A.-B.17 1T C.-D.-5 2 4解：如图，在长方体A H Q G-E 3 F C 中，设 E C=c,E B=b,E A=a,则 cT+b2=16,c2+b2=9,2+c2=9.;a二b=2 c=1 ,故四面体A B C D的体积Vabc-4Xxa bc=a bc=.3 2 3 3四面体 A B CD 的表面积 S=4 SMBC=4XX4 X 遥，根 据 等 体 积 可 得 X r,r=返.3 3 7。5该三棱锥的内切球的表面积为4n x （返）2=丝 _.5 5故选：A.12.若函数f(x)=(2+应)I nx-(a-1)F有三个不同的零点，则实数。的取值范X围 是()4e-4e、，24e-4eC.(0,1)U (1,4e2-1-l-2-4e-4eD.(0,1)U 1 4e4-4e解：令/(x)(2o x 4-n)I nx-(a -1)x3=0,x幡 Inx Inx?即 2a 2+(2 )-(d -1)x xInx设 r=g (x)=2,令 g (x)x上单调递增，在(4，+8)上单调递减，则fg(4)=4，2e原方程可化为+2v -(-1)=0,设方程两根为。亥,则OVf 2 V九 ，2e设力(r)+2at-(a -1),=0,1-2 nx=2=0，则 x=即有 g (x)在(0,则1h(7r-)wh(O)CO1112=-(-1)0解：由约束条件作出可行域如图，联立4 ，解得4(2,3),3x-y-3=0由z=x-3 y,得 尸 卷 相，由图可知，当 直 线 尸 卷 希 过 4 时，O 0 O O直线在y 轴上的截距最大，z有最小值为-7.故答案为：-7.15.设正数数列 a,J的前“项和为S”数列 SJ的多项之积为国,且*+27；=1,则数列 斯 1的 通 项 公 式 是aH=.一，n kL4n -1解：S“+27；=1,T-27 ,=1 0 2 2),Tn-1整理，得；-9-=2 (22)，1n 1 n-1由 S +2=l,可得 a i=，3,3 h.数列 十 是以3 为首项，2 为公差的等差数列,1 n1.二斤=2+1,1 n T _ 1 In,2n+lT.$_ n 51-Tq-I2n-l21当n=时，当2 2 时,一。一 14 3 -;o_c 2n-l 2n-3 _ _1 _2n+l 2n-l 4n-l故答案为：ClnA n=lon2、4n2-12 216.已知直线/：x-后=0交双曲线：-%=1 (0,/0)于 A，B两 点,过 A作直线/的垂线AC交双曲线r于点C若N A B C=6 0。，则双曲线的离心率为_解:联立x=V s y2 v2,得，2 _=i2,2 1a bo2,2 2,23 a b 2_ a b3b2-a2,3b2-a2ab设 A (廊中百4 a b所以|A 8|=2|O A|=)2 5V3b-a在直角三角形A B C 中，/A B C=60 ,可得 HC 1=AB|，_ 4ab设直线AC的方程为y=-八+/2 于V 3b-a代入双曲线的方程可得（户-3 2）常 3 b _ 办 2 _,笔岑=0,V3 b2-a2 3 b2-a28 V 5 a 3 b所以b e-%=I_ _ _ _ _ _ _ 8 V a3bV3 b2-a2(b3-3a2)2V 3ab 2 V 3 a b(a2+b2)V3 b2-a2 73 b2-a2|b2-3a2|1所以|AC|=22 V 3 a b(a2+b2)73 b2-a2|b2-3a247 3 ab所 以/+/=面-3 e,解得a=b,故答案为：三、解答题：本大题共5 小题，共 70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题:共 60分。1 7.在ABC中，内角A,BC所对的边分别为a,b,c,若 返 匚？=sinCtanA-cosC.a(I)求角A 的大小；(I I)若人=3&，c=2,点。在边BC上，且 C Q=2Z)8,求。及 AO.解：(/)由正弦定理返匚？=sinCtanA-cosC 可化为&sinC -sinB-sinAsinCtanA-aco sC),即V inC-sin(A+C)=sinA(sinCtanA-co sC),2 A所以/8皿。-sinAcosC-sinCcosA=sinCX.s i r i A-sirblcosC,c o s A因为 sinC0,2 人 一所以冬n皆+cosA=&，c o s A即 1 -COS2A+COS2A=/2COSA，所以 COSA=Y 2,2因为A 为三角形内角，所以A=/IT；4(I D 由余弦定理得。2=/+/-2 历cosA=18+4-12=10,故。=V I 5，因为。在边B C上，且C O=2O B,所以 8 =(a=0，3 3又 c o s 8=g-T -2ac 10 A D2=A B2+BIJr-2ABBDcosB=.9所以A )=Y亘.318.如图，在四棱锥A-B C F E中，四边形E F C B为梯形，EF/BC,且2E F=B C,A A B C是边长为2的正三角形，顶点尸在AC上的射影为点G,且F G=M，C F=J*,BF=$二(1)证明：平面F G BJ _平面ABC；(2)求二面角E-A 8-尸的余弦值.【解答】证明：(1)由顶点F在A C上投影为点G,可知，FGLAC.取A C的中点为O,连结O B,GB.在 R t Z i P G C 中，F G=M，CF=|1,所以 C G=1.-(1 分)在 R t a G BO 中，0 B=M，O G=,所以 8G=2/1 1.-2所以，BG2+GF2=F B2,BP F G L B G.-:FGLAC,FG1GB,4 CDBG=G,AF GXffi ABC.又 F GU面F G B,所以面F GB_L面ABC.-解：(2)由(1)知，O B L F G,O B A C,且 ACAF G=G所以。虹 面 人 爪，且 F G_L面 ABC.以 OB所在直线为x 轴，OC所在直线为y 轴，过 点 O 作平面4 8 c 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 A（0,-1,0）,B（愿，0,0）,尸（0,-，7 3），（-1,百），2 2就=（-1，0）,BE=（-噂，-1 V 3）而=-V 3，V）.-乙 乙设平面ABE,A3F 的法向量分别为m=(x,y,z)，n=(a,b,c)，m,BA=-V3x-y=0则-如 取 j 得，=a，-F，T)，-m*BE=-x-y+V3 z=0 乙nBA=-V3a-b=0=1 整5 1 5 60 60（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X （单位：月），则X的可能取值为5,6,P(X=6)-X-=-,2 2 4P(X=5)=1 -P(X=6)_ 3T则X的分布列为:X56P3 _772 1 91：.E(X)=5 X3+6 X；=44 4 4它与成本价之比为2=罢,5+5 4 0若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和y（单位：月），y 的可能取值为4,5,6,p（丫=4）x.2 2 4p（y=5）=2 x x,2 2 2p（y=6）2 2 4则 丫的分布列为：Y456P2 27记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为z,则 Z 的可能取值为4,5,6,P(Z=4)=P(y=4)=,4P(Z=5)=P(M=5,y5)+P(M=6,y=5)=X-k X=,2 4 2 2 8P(Z=6)P(M=y=6)X=2 4 8z 的分布列为:E(Z)=4 x)+5 6 ）的离心率为逼，且 过 点（0,2）.2,2 0a b/（I）求椭圆。的方程；（II）若矩形ABC。的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.解：（I）由题意可知=b +ca=2解得：b=l，,c=V 3.椭圆C的方程为：zi+x2=1.4（I I）当矩形的一边与坐标轴平行时，易知S=8,当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y k x+m,则其对边所在设为直线方程为：ykx-m,另外两边所在的直线方程分别为：y -x+n,y-n,k k联立1 ，整理可得：（4+炉），+2施+加2-4=0,L4 xz+y=4由题意可得=4正-4 （4+妙）（m2-4）=0,整理得炉+4=病，设矩形与直线ykx+m对应的一条边长为4,则dj=4 7同 理 可 得=+4=n 1设矩形相邻的另一条边长为d2,则壮2一.所以矩形的面积S=d/d21 2 ml _ J2 nl=4*b(l+k2)2+9 k2(1+k2)2=49 k24+2 k2+l=4k2+-+2,2V jt2 0,/.k2,当且仅当产=1时取等号,k24-y+2G(,0,79，4令 引A5 6 (8,1 0,综上所述，该矩形面积的取值范围为8,1 0.2 1.已知函数f(x)=eA1-2lnx+x.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：/(尤)2(x-2)3-3 (x-2).解：(1)/(%)的定义域为(0,+8),针(x)=eX-1+1-X易知f(x)=e X T +l在(0，+)上单调递增，且/(1)=0,X令/(x)0,解得则/(x)的单调递增区间为(1,+8)；(2)证明：设 g(x)=(x-2)3-3 (x-2)(x 0),g1(x)=3 (x-1)(x-3),令 g(x)0,解得 O V xV l 或 x 3,当工=1时，g(x)取得极大值，且极大值为2,由(1)知，f(x)mi=f(1)=2,故当 0 V x 3 ),则hz(x)=ex 1 2-3(x-2)之+4，x设 p(x)=h(x),p(x)=ex 1-H-6(X-2),设xq(x)=p(x),q(x)=eXT6,X易知/(x)在(3,+8)上单调递增，则5(x)q(3)=e2傍-6 0,则 g(x)在(3,+8)上单调递增，从而p (x)p(3)=2 4-6 0,则/7(X)在(3,+8)上单调递增，所以h (x)h (3)=e2-4-0,则/?(x)在(3,+)上单调递增，0于是/?(x)h(3)=e2+5-2/n3 0,故当 x3 时，/(x)(x-2)3-3(x-2)；综上，/(x)2 (x-2)3-3(x-2).选考题：共 10分请考生在第22、2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为x=l+tc s f(t 为参数，叩曰0,n),y=l+ts in Q以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为，c 兀、P=4cos(0o(I)求圆C 的直角坐标方程：(2)设 P(1,1),若直线/与圆C 相交于A,8 两点，求|m-乖|的最大值.J T解：(1)圆 C 的极坐标方程为：p=4cos(0 O转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2V3y所以：x2+y2-2 x-2 V 3 y=0,fx=l+tcos(|)(2)将线/的参数方程为：a 为 参 数)，y=l+tsin(|)代入 x?+y 2-2x-2V 5y=0，所以 t2-2(V -l)s in t-2 =0设点A,B 所对应的参数为人和打，贝 iJ t+t2 =2(W-D s in。，匕 七=-2 ,解法 1 ：|PA-PB|=111-1 2 I=(t j+t2)2-4 tj t2=V 4(V 3-1)2 s in2+&73当 sin(p=1 时，|而-说 11r1ax=4,故|直-瓦|正35f=4.JllU A JIldA解法2：由r的几何意义知，|五-五|=|AB|，出人-8|曲=2=4；fe|P A-P B|m ax=4.选修4-5：不等式选讲2 3.已知a,b,c为正数，且a+c=2.证明：ab+bc+ac毋；(2)b c a【解答】证明：(1).，b,c为正数，且 +b+c=2,/.(o+b+c)2=cT-b1+c1+2ab2ac+2bc=4.VcT+blab,b2+c12bc,ci2+c22ac,2Vbc 同理 2-b a+c 2y ac 2*c a+b 2A/&b上述三式相加，得a2+b2+c2 ab+ac+bc,4=c+tr+cT+lab+lac+lbc 2 3 b+3 c+3bc,“+ac+bc得，当 且 仅 当 丑 者 时 取 等 号；(2)2-=b+cb b b c c c a a a 2-a r 2-b r 2-c 2Vbc y 2Vac._Z=8,b c a b c a即2z曳2 .&8,当且仅当a=6=c=细 取 等 号.b c a 3