2021年湖北省各地中考数学压轴题汇编（解析版）.pdf

2021年湖北省各地中考数学试题压轴题汇编(解析版)1、(20 20湖 北 黄 冈)已知抛物线y=ar 2+笈+c与x轴交于点A(1,0),点 以3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点为点D.(1)求抛物线的解析式;(2)若过点C的直线交线段A B于点E,且A C E：S“C EB=3：5,求直线C E的解析式(3)若点尸在抛物线上，点。在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标;(4)已知点”,G(2,0),在抛物线对称轴上找一点凡 使*+AE的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K,使K F +KG的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1方=一%2+2%+3；(2)=-6犬+3；(3)点尸的坐标为(1土石,一1),(16,1)；(4)存在，点K的坐标为(2,3)【解析】【分析】(1)由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；(2)根据两个三角形的高相等，则由面积比得出A E:E B =3:5,求出A E,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线C E的解析式；(3)分两种情况讨论当四边形。C P Q为平行四边形时；当四边形。C Q P为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；(4)根据抛物线的对称性，A F=BF,则H F+A F=H F+BF,当H、F、B共线时，H F+A F值最小，求出此时点F的坐标，设 长(事,%)，由勾股定理和抛物线方程得KF=y17 170 ,过点K作直线S K,使S K y轴，且点S的纵坐标为上，则点S的坐标4 4(17、17为 /，丁 此时，KS=为 一 刀，K F+K G=K S+K G,当S、K、G共线且平行y轴时，K F+K G值最小，由点G坐标解得,代入抛物线方程中解得为,即为所求K的坐标.【详解】解：(1)方 法1：设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x +l)将点C(0,3)代入解析式中，则有l x()3)a=3 ：.a=-.抛物线的解析式为y=-任 2x 3)=V+2x +3 .方法二：.经过AB,C三点抛物线的解析式为y=ax1+bx+c,将A(1,O),B(3,O),C(O,3)代入解析式中，则有c =3 a=-：.a b+c =O,解得：b=2,9Q+30+C=0 C=3抛物线的解析式为y=f+2x +3 .(2)S g c E,S&CEB=3.5,-A E C O,.2=31 E B C O 52A E:E B=3:5.3 3 3A E =-A B =-x 4 =-.8 8 2.E的 坐 标 为;,0又 点 的 坐 标 为（0,3）.直线C E的解析式为y=-6x+3 .(3)v y=-x2+2x +3 =-(x-l)2+4 .顶点。的坐标为（1,4）.当四边形。C P Q为平行四边形时，由DQ C P,DQ=C P得:yD-yQ=yc-yp 即3 _ 0=4一）；尸yP=-令y=i，则一f+2 x+3 =i.;.x =l V 3 .点P的坐标为(1G,1).综合得：点P的坐标为（1 土布,一1）,（1 土省,1）（4）I点A或点8关于对称轴x =l对称；连接8 与直线x =1交点即为F点.点H的坐标为（0,泉），点B的坐标为（3,0）,直线3”的解析式为：=一1?5工+4?5.o o令x =l,则V当点F的坐标为（1,5时，“尸+A/的值最小.11分设抛物线上存在一点K（毛,）,使得FK+FG的值最小.2则由勾股定理可得:(1 5K-y又；点K在抛物线上,%=_(XoT+4.-.(x0-l)2=4一%)代入上式中,=1%一7)17为一1如图，过点K作直线SK,使SK y轴，且点S的纵坐标为.4.,.点S的坐标为(七,1).17则 SK=y0-7.(17 17 17 1(两处绝对值化简或者不化简者正确.)：.KF=SK.：.KF+KG=SK+KG当且仅当S,K,G三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，FK+FG的值最小.又.点G的坐标为(2,0),二.%=2,将其代入抛物线解析式中可得：%=3.当点K的坐标为(2,3)时，KF+KG最小.【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算.2、（20 20湖 北 咸 宁）.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3犬+2与 轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线y n-g f+b x +c过 点8且 与 直 线 相 交 于 另 一 点.（1）求抛物线的解析式；（2）点尸是抛物线上的一动点，当N B 4 O =N 8 4 O时，求 点P的坐标；（3）点N（,0）在x轴的正半轴上，点M（0,z）是），轴正半轴上的一动点,且满足NNC=9 0 .求，与之间的函数关系式;当，在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？2 7 （5 3 1【答 案】（1）y=-x2+-x+2；（2）或（3,-）或（-2,-3）；（3）24 2 10 25m-一一n+；0 m =一厂+b x+c经过B (0,2),C斗2=c3 2 25 5,，解得：，14 3 4 2b76,c-22 7抛物线的表达式为：y=-一+X+2；3 6(2)当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足N R 4 O =N B 4O,：c为：.P斗当点P在X轴下方时，如图，A P与y轴交于点Q,:ZPAO=ZBAO,A B,Q关于x轴对称,：,Q(0,-2),又 A (4,0),设直线AQ的表达式为y=px+q,代入,2=qj+q 解得:1p=2,q =-2.直线AQ的表达式为：y=x-2,联立得:1 、y=x-22，解得：x=3或-2,y=x2+x+23 6.点P 的坐标为（3,-）或（-2,-3）,2综上，当NQ4O=N 8 4 O 时，点 P 的坐标为:5 32,4或（3,-）或（-2,-3）；2(3)如图，ZM NC=90,过点C 作 C D Lx轴于点D,.ZMNO+ZCND=90,VZOMN+ZMNO=90,ZCND=ZOMN,XZMON=ZCDN=90,AAM NOANCD,m.MO NO*A _ CD即5n2nT4整理得：m =n2+3 3.点N在线段OD上（不含。和 D）,即圆E 与线段OD有两个交点（不含O 和 D）,:点 M 在 y 轴正半轴，当圆E 与线段OD相切时，有 NE=工 MC,即 NE2=-MC2，当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD（不含O 和 D）有一个交点,故m的取值范围是：O V m V .12【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.3、(20 20湖 北 襄 阳)如 图，直线y=；尤+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABO0面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段。4绕x轴 上 的 动 点 顺 时 针 旋 转9 0。得到线段O A,若线段OA与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围.1 ,1【答案】(1)A(0,2),B (-2,0),C (4,0),抛物线的解析式是丁 =一1%2+%+2 .(2)四边形A BCM面积的最大值为8,点M的坐标为(2,2)；(3)-3-71 7/?/0时，分旋转后点A与点0 落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3,分别用m的代数式表示出点A与点。的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果.【详解】解：(1)对直线y=-X +2,当x=0时，y=2,当y=0时，x=4,点A的坐标是(0,2),点C的坐标是(4,0),把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：c =2 f,1x 4 2+%=。解得：:I 4 1。=2.抛物线的解析式为丁 =一；/+X +2,.抛物线的对称轴是直线x=l,C (4,0),.点B的坐标为(-2,0)；,1 7 1 、A(0,2),B (-2,0),C (4,0),抛物线的解析式是 y=工厂+/X +2 ；(2)过点M作M E，x轴于点E,交直线A C于点F,如 图1所示.1 9 1 .1设 M (m,m+m+2 ),则 F(m,-m+2 ),4 2 2/.MF=|-m2+m +-m +2|=-/7 i2+m,I 4 2 J I 2 J 4*S 四 边 形 ABCM=SABC+SAAMC=-B C A O+-MFOC2 21 /c 1 /1 2),=x6x2 +x m+m x42 2 I 4)12c，=m +2/篦+62i9=-+8,V 0 m 0,当旋转后点4落在抛物线上时，如图2,线段0 4与抛物线只有一个公共点，点A的坐标是(m+2,m),*+2)+(m +2)+2 =m,解得：m=3 +J T 7或m=3 J F7(舍去)；当旋转后点。落在抛物线上时，如图3,线段O4与抛物线只有一个公共点,点。的坐 标 是(m,m),1 o 1/.m+m+2 =m,解得：m=2 或 m=-4（舍去）；4 2 当m 0时，若线段OA与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是:-3 +yfn m 2 I若mVO,当旋转后点O落在抛物线上时，如图4,线段OA与抛物线只有一个公共点,丁点O的坐标是（m,m）,当旋转后点4落在抛物线上时，如图5,线段OA与抛物线只有一个公共点，.点4的坐标是（m+2,m）,+2）+（m+2）+2 =m,解得：m=3 J F7或m=3 +J F7（舍去）;当m V O时，若线段OA与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：-3-V 1 7 m-4；综上，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：-3-5/百 加勺-4 或3+J17 W 2.【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.4、（2020湖 北 荆 门）.如图，抛物线=X 3 与 x 轴正半轴交于点A,与 y轴交于点B.（1）求直线4 8 的解析式及抛物线顶点坐标;（2）如 图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC，x轴，垂足为C,PC交于点。，求PD+3D的最大值，并求出此时点尸的坐标；（3）如图2,将 抛 物 线=-V x 3向右平移得到抛物线，直线与抛物线2 4/交于M,N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L 的解析式.3 5 121、13【答案】（1）直线A 3的解析式为了 =一%-3,抛 物 线 顶 点 坐 标 为 了,一 钎；（2）当x=4 4 32 J 4时，QD+8D的 最 大 值 为 曲；（3）y=-x2-X +-.32 1 4 32 J 2 4 2【解析】【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线AB的解析式为丫=丘+力，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点。作。E_Ly轴于E,则。E O A.求得AB=5,设点P的坐标为（匕万第2-1x 3（x 4）,则点Z）的坐标为,尤一3）,ED=x,证明BDEsBAO,由相似三角形的性质求出3。=3X，用含X的式子表示PD,配方求得4最大值，即可求得点P的坐标；1 191（3）设平移后抛物线 的解析式y=5（x-，）2 w，将U的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设M&,y）,N（w，%），则对毛是方程1一2（祖+一话=0的两根，得到西+=2（加+j,点A为M/V的中点，%+=8,可求得m的值，即可求得U的函数解析式.【详解】（1）在y=一一1一3中，2 4 5 3令y=0,则5彳2_1彳_3=0,解得王:,=4,/.44,0）.令x=0,则y=-3,B（0,_3）.设直线A B的解析式为了=丘+6,则4k+b=0,c,解得：b=-34 ,b=3 直 线A 8的 解 析 式 为 尸 一3.-二-32 4 2|2 1 2 1 一 五抛物线顶点坐标为5 1 2 1(2)如图，过点。作。轴于E,则)E Q 4.O A =4,O B =3,AB=1O +OB2=2+3 2 =5，设点P的坐标为(x gx?_ x v 4)，则点D坐标为1,1-3),ED=x.DE/OA,1 ABDESBAO，,BD ED 嬴 一 亩.BD x-二，5 4/.BD=-x.4而PD=-x-3-X2 x-3|=-x2+2 x,4 2 4 J 2.口+吻=4 2 二=-入+2=-泉-雪+啰2 4 2 4 2 1 4 J 3 2V -0,-x 2=SAOAB，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由.4 1 0【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）抛物线的解析式为），=。-耳）2-1,存在，Q点的横坐标为2弓3 或1 7或;7 或-1=6 6 6 6【解析】【分析】（1）证得O E是AA B C中位线，求得点E的坐标，分别求得A B、A C、B C的长，利用勾股定理的逆定理证得A A 6 C是直角三角形，从而证明结论；（2）求得B C=O D=O A=石，利用平行四边形的判定定理可证得四边形O B C D是平行四边形；(3)证明R SO D N R SO E M,求得点D 的坐标，利用待定系数法可求得此抛物线的解析式；分 PEDAOAB和ADEPzOAB两种情况讨论，利用相似三角形的性质求得PE的长，再根据三角形的面积公式即可求得Q 点的横坐标.【详解】(1)如 图 1,A E B图1设 AB与 y 轴交于点M,则 AM=2,OM=1,AB=5,则 OA=OC=A M-+O M2=x/22+l2=V 5，VOE/BC,.OE是 ABC的中位线，.,.AE=A B=-,BC=2EO,2 2.点 E 的坐标为（，-1）,M E=4,OM=1,2 2/.BC=2OE=V5,/A C2+BC2=(2V5)2+(V 5)2=25=AB2,.AABC是直角三角形，即 B C 1 A C,所以BC是半圆的。的切线；(2)四边形OBCD是平行四边形，由图知：BC=OD=OA=石，VOD/BC,四边形OBCD是平行四边形;(3)由(2)知：OD=OA=逐，E 为 AB的中点，过点D 作 D N J.y 轴，则 DN/ME,RtAODN RtAOEM,.ON _DN _ OPON _DN _ 也1 1 好，2 T：.ON=2,DN=,.点D 的坐标为(1,2).抛物线经过点D(1，2),且顶点为E(g,-1),设此抛物线的解析式为y=(x-1)2-l,则-1 =24 。=f34 1 ,此抛物线的解析式为y=(x-/)2 l,加即 y=4 x2 4 x 2,-3 3 3如图，设抛物线对称轴交AC于 F,由（1）知：ZAOE=ZACB=90,NAEF=90。，.,.ZOEF+ZAEO=90o,ZA+ZAEO=90,.ZOEF=ZA,.以E,D,P 为顶点的三角形与AOAB相似，.分APED AOAB和ADEP AOAB两种情况讨论,当 APED AOAB 时，ED=OE+OD=+J5 =-2 2P E E D3.即空=上7?一 丁3P E =-2设点Q 到 PE的距离为h,1 1 3.-PE h -A B O M ,即2 h =5 x l,2 2 2.10.n=,3.上 八 村+-+1 1 2 3 1 10 17.点Q 的横坐标为 +=sk-=-；3 2 6 2 3 6当 DEP/kOAB 时，ED=OE+OD=2 +J5 =2 2P EABE D,即 PEO A375,q =q QXEPQ，设点Q到PE距离为,：.-P E h.=-AB OM,即 h=5 x l,2 1 2 2h=2,3点Q的横坐标为2:+1=7：或1：2_：=_1：；3 2 6 2 3 62 3 1 7 7 1符合条件的Q点的横坐标为孑或或;或【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求.注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用.6、（2 02 0湖 北 十 堰）已知抛物线y =a r 2 _ 2 +c过点A（-l,0）和C（0,3）,与x轴交于另一点B,顶点为D.（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如 图1,E为线段8C上方的抛物线上一点，E F 1 B C,垂足为F,轴，垂足为M,交8c于点G.当=b时，求A f F G的面积；（3）如图2,AC与BD的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使40PB=ZAHB?若存在，AA O M B 求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.y HX A O B J图1图2【答 案】(1)y=-x2+2x+3,0(1,4)；(2)S4AG=1 ；(3)存 在，耳(0,3),【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；(2)先求出B C的解析式丁 =一 +3,再设直线E F的解析式为y =x +设点E的坐标为+2 m +3),联立方程求出点F,G的坐标，根据5 G?=C F?列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)过点A作A N J _ H B,先求得直线B D,AN的解析式，得至i j H,N的坐标，进而得到NH=4 5，设点(,川+2/2 +3),过点P作P R x轴于点R,在x轴上作点S使得R S=P R,证明OPSS AO P B,根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标.详解】(1)把点A (-1,0),C (0,3)代入y =以2-2 a r +c中，。+2。+c =01=3 解得y 一x+2x+3 ,当X =-2 =1时，y=4,2ar d,4)(2)v y =-x +2 x+3令 y =0,r.x =-l,或 x=38(3,0)设B C的解析式为丁=(左0)将点C(0,3),8(3,0)代入，得必=33k+b=0,解得Lk =Q-1，b=3y =-x+3-.EF L CB设直线E F的解析式为y =x +仇设点E的坐标为（利,t/+2m+3）,将点E坐标代入=x +中，得力=一加2+6+3，/.y=x-m2+z +3y =r +3y=x-rrr*2m-mx=-.2-nr+m+6y=-1 2f 2 2,、nr m -m+m +6I 2 2 J把x=m代入y =-x +3/.G（根，一根+3）-B G=C F.B G2=C F2m?-m、解得m=2或m=-3 ,点E是B C上方抛物线上的点m=-3 舍去（2即（加一3）2+（3 根）2=m m+、2 ，.点 E(2,3),尸(1,2),G(2,l)EF=V l2+12=V 2FG=V l2+12=V 21 S-EFG=2 X&X 夜=1(3)过点 A 作 AN L H B,.点。(1,4),3(3,0)/.y 2x +6 点A(l,0),点C(0,3)/.yAC=3x +3y=x+3y=-2x+63x-.5设 Xw=；x+b，把（-1，0）代入，得 b=；乙乙1 1y =x H =3.(一 2+2)+3).5 =0 或=1百2 (0,3)(1 +6 5 +52 2 2乙 乙)d5 s 2 2,图2【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解.7、（2020湖 北 鄂 州）如图，抛物线y n g f+b x +c与x轴交于A、B两 点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直线y=-2经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴 的 直 线 与 直 线 及x轴分别交于点D、M.PN工B C ,垂足为N.设”（租,0）.点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）.请直接写出符合条件的m的值；当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使PNC与AOC相似.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1 ,3 1【答案】(1)y x-X 2；(2)-2,-,1 ；(3)存在，(3,-2)2 2 2【解析】【分析】(1)根据直线y=；x-2经 过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线1 ,y=一r+fex+c可得答案；21,3 1(2)由题意得 P(m,tn 2.),D(m,m 2)；根据 P、D、M 二点中恰有2 2 2一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；先证明AAOCACBO,得出ZACO=ZABC,再根据PNC与AOC相似得出ZACOZPCN,则NABC=NPCN,可得出AB/PC,求出点P的纵坐标，代入抛物线1 ，3y=-x1 2一一x-2,即可求得点P的横坐标.1 、3.抛物线的解析式为：y=-x-2-,2 2(2)垂足为 N.A/(/72,0)1,3 1P(m,m m 2),D(m,m 2),2 2 22 2【详解】解：(1)由直线y=gx-2经过B、C两点得B(4,0),C(0,-2)将B、C坐标代入抛物线得18+42。解得b2,c=-2分以下几种情况：1 1,3M 是 P D 的中点时，MD=P M,B P 0-(-/n-2)=-m 一一m-22 2 2解 得 叫=-2,但=4（舍去）;1 1,3P是 M D 的中点时，M D=2 M P,即一机一2=2（一根-一一m-2）2 2 2解 得 叫=-g,生=4（舍去）；解 得 班=1,也=4（舍去）；符合条件的m的值有-2,-1，1；21 0 3,抛物线的解析式为：y =-x2-x-2,2 2/.A(-1,0),B (4,0),C (0,-2)AAO=1,C O=2,80=4,又NAOC=NCOB=90。，CO BOZ.AAOCACOB,ZACO=ZABC,/PNC 与AOC相似ZACOZPCN,ZABC=ZPCN,AB/PC,.点P的纵坐标是-2,代入抛物线y =一2,得1 2 3 _ .x x-2=-22 2解得：=0(舍去)，%2=3,.点P的坐标为：(3,-2)【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题.8、(2 0 2 0湖 北 武 汉)将抛物线C:y =(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线q,再将抛物线G向左平移2个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线G，0?的解析式;（2）如 图（1）,点 A在抛物线G 对称轴/右侧上，点 8在对称轴/上，z/M B 是以0B为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标：（3）如 图（2）,直线 =丘（左。0,左为常数）与抛物线G 交于E，F两点，M 为线4段 瓦 的 中 点；直线y =与抛物线C 2 交于G,，两点，N 为线段GH的中点.求k证：直线MN经过一个定点.【答案】（1）抛物线G 的解析式为：y=x2-4 x-2;抛物线G 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A的坐标为（5,3）或（4,-2）；（3）直线MN经过定点（0,2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、0、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到/B D A=NB O A=4 5 ,从而证出/）4c 是等腰直角三角形.设点A的坐标为（x,x2-4 x-2）,把 D C和 AC用含x的代数式表示出来，利用D C=A C 列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线丫 =依（。0,左为常数）与抛物线C?交于,F两 点,联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可.【详解】解：（1）抛物线C：y =（x-2）2 向下平移6 个单位长度得到抛物线G，再将抛物线G 向左平移2 个单位长度得到抛物线C2,抛物线。的解析式为：y=（x-2）2-6,即 y=x 2 4 x-2,抛物线G 的解析式为：y=（x-2+2 -6,即 y=x 2-6.（2）如下图，过点A作 ACLx轴于点C,连接A D,Q 4 3是等腰直角三角形，/.ZBOA=45,XVZBDO=ZBAO=90,.点A、B、0、D四点共圆，.ZBDA=ZBOA=45O,ZADC=900-ZBDA=45,ZM C是等腰直角三角形，/.DC=AC.V 点A在抛物线G对称轴/右侧上，点B在对称轴/上,抛物线G的对称轴为X=2,设点A 的坐标为（x,x2-4x-2）,；.DC=x-2,AC=x2-4x-2,；.x-2=x2-4x-2,解得：x=5或 x=0（舍去），点 A 的坐标为（5,3）；同理，当点B、点A在x轴的下方时，x-2=-（x2-4x-2）,x=4 或 x=-l（舍去），.点A的坐标为（4,-2）,综上，点A的坐标为（5,3）或（4,-2）.（3）：直线 =履（ZHO,左为常数）与抛物线G 交于E，F两点,y=kx二 2，y =x -6/.x2-k x-6=0,设点E 的横坐标为X E,点 F的横坐标为X F,/.X E+X F=k,中点M 的横坐标XM=%+%F=,2 2小中点M 的纵坐标y M=k x=一 ,2，点 M 的坐 标 为（人，）；2 22 Q同理可得：点 N的坐标为（-一，）,k k设直线MN的解析式为y=a x+b（a W O）,k b1 2 8将 M（一，）.N （一一,）代入得：2 2 k k2_F-4解得：,k，b=2k?4直线MN的解析式为y=j x+2 （A。（），不论k 取何值时（左。0）,当 x=0 时，y=2,直线MN经过定点（0,2）.【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、0、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键.9、（2 0 2 0湖 北 恩 施）如图，抛物线y =-92+云+，经过点。（6,0）,顶点为5,对称轴光=2与轴相交于点A，。为 线 段 的 中 点.（2）P为线段8。上任意一点，M为了轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将J W P C逆时针旋转9 0,记点P的对应点为E，点C的对应点为尸.当直线E E与抛物1 ,线、=一一*2+bx +C只有一个交点时，求点M的坐标.4（3）AMPC在（2）的旋转变换下，若P C =&（如图）.当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长.【答案】（1）y =-；x 2+x +3；（2）（1,o）；见解析；C M =2G-l或C M =l +26【解析】【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明4 A B C是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线E F与x轴的夹角为4 5 ,因此设直线E F的解析式为y=x+b,设点M的坐标为（m,0）,推出点F（m,6-m）,直线EF与抛物线y =-1x2+x +3只有一4个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标.注意有两种情况，均需讨论.（3）过点P作P G L x轴于点G,过点E作E H L x轴于点H,设点M的坐标为（m,0）,由P C =无及旋转的性质，证明A E H M丝Z XM GP,得到点E的坐标为（m-l,5-m）,再根据两点距离公式证明E 4 =瓦,注意分两种情况，均需讨论；把5-m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长.【详解】（1）点C（6,0）在抛物线上，0 =x 3 6 +6 6 +c ,4得到+c=9,又.对称轴x =2,b b =一丁=-i-=2,2a 2 x（-1）解得人=1，；c =3,二次函数的解析式为y =+x+3 ；（2）当点M在点C的左侧时，如下图：.抛物线的解析式为丫=-；、2+3,对称轴为=2,C（6,0）.点 A （2,0）,顶点 B （2,4）,A A B=A C=4,A B C是等腰直角三角形,AZ 1=4 5 ；将 M P C逆时针旋转9 0 得到A M E F,.FM=C M,Z 2=Z 1=4 5 ,设点M的坐标为(m,0),点 F(m,6-m),又 /2=4 5 ,直线E F与x轴的夹角为4 5 ,设直线E F的解析式为y=x+b,把点 F(m,6-m)代入得：6-m=m+b,解得：b=6-2 m,直线E F的解析式为y=x+6-2 m,直线EE与抛物线y =+x+3只有一个交点，4y=x+6-2 m:4 1 2 o 9y =x+x +3I 4整理得：-x2+3-2 m =0,43 =b2-4 a c=0,解得 m=,23点M的坐标为(一，0).2当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线E F与x轴的夹角仍是4 5。,因此直线步与抛物线y =-(/+x+3不可能只有一个交点.3综上，点 M 的坐标为(一，0).2(3)当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作 PGJ_x轴于点G,过点E 作于点H,:PC=0，由(2)知NBCA=45,.PG=GC=1,.点 G(5,0),设点M坐 标 为(m,0),/将 JW PC逆时针旋转90得到AMEF,.EM=PM,V ZHEM+ZEMH=ZGMP+ZEMH=90,ZHEM=ZGMP,在EHM 和aNIGP 中，NEHM=ZMGP 0）秒，连接MN,再将线段MN绕点M顺时针旋转9 0,设点N落在点。的位置，若点。恰好落在抛物线上，求，的值及此时点。的坐标；（3）在（2）的条件下，设尸为抛物线上一动点，。为y轴上一动点，当以点c,p,。为顶点的三角形与ZWOB相似时，请拿撰写出点尸及其对应的点。的坐 标.（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）1 3 3 （3、【答案】（1）y =x2+-x +l,Z C A O =45；（2）t=-,。点坐标为 2,二；（3）4 4 4 k 2 J叩,一|，02（0，一|）时融 口；土髀回警）;件割M。,-翳）（谭 闷。第【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；（2）过点、N作N E上A B于E,过点。作。尸，A5于F,证明A N E M乡Z M F D ,得到N E =M F,E M =D F,从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；1,3（3）设点P（m,m+m +l）,当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作4 4C P P RP R J _ y轴于点R,过点D作D S L x轴于点S,根据 C P Q s/M D B,得到=M D D S从而求出m值，再证明CPQS/XM D B,求出C Q长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.【详解】解：(1):抛物线 =以2+法+1的对称轴为直线=,b 3-二-，贝！b=-3 a,2a 2 ,抛物线经过点B (4,0),.16 a+4 b+l=0,将 b=-3 a 代入,1 3解得：a=-，b=，4 41 7 3抛物线的解析式为：y =x2+-x+l,4 4令y=0,解得：x=4或-1,令 x=0,则 y=l,；.A (-1,0),C (0,1),C O ,/.t an Z C A O=1,A O/.N C 4 O =4 5；(2)由(1)易知 A(-1,0),过点N作N E _ L A B T E,过点D作D F _ L AS于F,VZD M N=9 0,ZN M E+ZD M F=9 0,又N N M E+N E N M=9 0,Z.ZD M F=ZE N M,;N M =D M,/D MN=9Q P ,.N E M=M F D(A A S),:.N E=M F,E M =D F,由题意得：N C 4 O =4 5,A N =&，:.AE=C E =t,EM =A M A E =2t,：.DF =2t,M F =t,O F =4 t-l,0(4 1 2),1(4 f 1)H(4/-1)+1=2/,又f 0,4 43故可解得：t=一或0(舍),43经检验，“泮，点M,N均未到达终点，符合题意,此时。点坐标为(2,T =6/+2 4%+1 8当)=0时，6 x2+2 4x 4-1 8 =0.解得 =-1 或x =-3则点A的坐标为A(-3,0)，点B的坐标为B(-l,0)当 x =()时，y =1 8则点C的坐标为C(O/8)将y =6/+2 4x +1 8化成顶点式为y =6(尤+2)2-6则点D的坐标为。(2,-6)故答案为：(-3,0),(-1,0),(0,1 8),(-2,-6)；(2)如图，作D K _ L x轴于点K将 y =ax2+4ox +4a-6化成顶点式为 y=a(x+2)2-6则顶点D的坐标为。(2,-6):.D K=6,O K =2在 R t iJ DK E 中，t a n N A E D -,即.E K E K 39解得E K=：29 5:.O E=E K-OK-2 =-2 2o c 2 =i在 R f(%；中，t a n Z A E D =,即 5 3O E 解得当3/.C(0,),C E =yj0C2+0 E2l丁/0、2+将点 C(0,代入 y =+4t t r+4a 6得：4a 6 =（3）如图，作E P与E Z）的延长线交于点,由（2）可知，t z =|,C（o,10.)，=-2 X 2 H 8 X-1-03 3 39 Q 1Q当 y =0 时，-%2+-%-=0,解得*=一5 或 x =l3 3 3A(-5,0),5(1,0)Q N为O C的中点 .N 0,3设直线AN的解析式为y=&x+a/5、-5占 +4=0 K =将点A（5,0）,N 0,一不代入得：5 ，解得I 3J 一3 V1353则直线AN的解析式为），=-1 x-|P2 2 8 1 0r,-r+-t-3 3 3.PDF 1t-5-(,2t2H 8t-1-0-、)=212。3/H 53 3 3 3 3 3 3由(2)知，OE=-2 i?。*130设直线C E的解析式为y =k2x+b243将点C(0,g卜入得:5左2 +打=o,1 0b,=-,2 3 32 Q即/=一一t2-4 t+-;3 3 将/=一1一今+g化成顶点式为/=g 0 +3)2+g由二次函数的性质可知，当。一3时，/随t的增大而增大；当 2-3时,而减小k2,解得，b210T4 1 0则直线C E的解析式为y =-x-y.几 匕-当I 3 3)F厂”9.(3一%=一3+*3 3 3 3 3 3V FH ID E,一y 轴.ZFHJ=ZEOC=9 0 ,ZFJH=ZECO：.近JH 正CO上.FH _F J F H _ 3 3.瓦 在即1一2 6解得/7 7=T +125：.f =P F+F H=-t2-3t+(-t+l)f随t的增大,.-5 r/z z(m 0)/.-5 m 0因此，分以下两种情况:当一5?-3 时在内，/随t的增大而增大则当r =加时，/取得最大值，最大值为一+3）22）又丁 当一5 加一3时，一/篦+3）02 z 2 6 2 6/.（m +3）H-3 3 3当一3工 0时在一5 ，一3内，/随t的增大而增大；在一3 ，加内，/随t的增大而减小则当=一3时，/取得最大值，最大值为胃综上，/的最大值为g.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次