2021年湖南省邵阳市中考数学试卷及答案解析.pdf

2021年湖南省邵阳市中考数学试卷一、选 择 题（本大题有10个小题，每小题3分，共3 0分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.（3 分）-3 的相反数是（）A.-3 B.0 C.3 D.K2.（3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）3.（3 分）20 21 年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2 月 1 0 日晚,“天问一号”探测器在距离地球约1 9 20 0 0 0 0 0 6”处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道.用科学记数法将1 9 20 0 0 0 0 0 表示为“X l（）8 的形式，则 的 值 是（）A.0.1 9 2 B.1.9 2 C.1 9.2 D.1 9 24.（3 分）如图，若数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则m+n的值可能是（）-3-2-1 0 1 2A.2 B.1 C.-1 D.-25.（3 分）如图，在 A O B 中，40=1,B O=A B=.将 A O 8 绕点。逆时针方向旋转9 0 ,得到O B,连接A 4 .则线段AA的 长 为（）A第1页 共2 8页l 3 3 r-A.1 B.V 2 C.-D.-V 22 26.（3 分）其社区针对5 月 3 0 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回 60 0 0 份有效问卷.经统计，制成如下数据表格.接种疫苗针数0123人数21 0 0228 01 32030 0小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比.下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：计算各部分扇形的圆心角分别为1 26 ,1 36.8 ,79.2 ,1 8 .计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%,38%,22%,5%.在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比.制作扇形统计图的步骤排序正确的是（）A.B.C.D.05%3%41 /2 的整数解的是（）-3X-3-XA.-2 B.-1 C.0 D.18.（3 分）某天早晨7：0 0,小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：3 0 赶到了学校.如图所示的函数图象反映了他A.小明修车花了 15min骑车上学的整个过程.结合图象 y!m2 1 0 0-1 0 0 0 7-0 :0 0 7:0 5 72 0,判断下列结论正确的是（）L7:3 0 W 时刻第2页 共2 8页B.小明家距离学校1 1 0 0 机C.小明修好车后花了 3 0 到达学校D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是3 加s9.（3分）如图，点 A,B,C是。上的三点.若/月OC=9 0 ,ZBA C=3 0 ,则N A O B的大小为（）1 0.（3 分）在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程m+x+=0的实数根的个数为（）A.0个 B.1 个 C.2 个 D.1 或 2个二、填 空 题（本大题有8 个小题，每小题3 分，共 24分）1 1.（3分）1 6 的 算 术 平 方 根 是.1 2.（3 分）因式分解：xy2-x3=.1 3.（3分）如图，点。，E,P分别为 A 8 C 三边的中点.若 A BC 的周长为1 0,贝必。所的周长为.1 4.（3分）已知点A （1,y i）,B（2,竺）为 反 比 例 函 数 图 象 上 的 两 点，则 y i 与”的大小关系是yi）2.（填”或“”）1 5.（3分）如图，已知线段A 8长为4.现按照以下步骤作图：1分别以点A,B 为圆心，大于尹8长为半径画弧，两弧分别相交于点E,F；过E,F 两点作直线，与线段45相交于点O.第3页 共2 8页则A O的长为1 6.（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是.1 7.（3分）九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了 3钱；如果每人出7 钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是 钱.41 8.（3分）如图，在矩形中，D E L A C,垂足为点E.若 s i n/4 OE=E，A D=4,则写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）1 9.（8 分）计算：（2 0 2 1 -T T）0-|V 3-2|-t a n 6 0 .第4页 共2 8页2 0.（8分）先化简，再从-1,0,1,2,企+1中选择一个合适的x的值代入求值.（1一 三）x2+2x+l21.（8分）如图，在正方形A B C D中，对角线A C,8。相交于点。，点E,尸是对角线4 c上的两点，S.A E=C F.连接。E,DF,B E,B F.（1）证明：A D E丝C BF.（2）若A B=4&,A E=2,求四边形8 E Z）尸的周长.D C22.（8分）为庆祝中国共产党成立10 0周年，某校计划举行“学党史感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品.采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图.15.005.00Y1000.00请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额.23.（8分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题.第5页 共2 8页周学习时间频数频率0WY150.0 5W 2200.202W f 3a0.3 53 W f 425m4WW5150.15(1)求 统 计 表 中 的 值.(2)甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”.求甲同学的周学习时间在哪个范围内.(3)已知该校学生约有20 0 0 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少24.(8 分)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径E D与母线AO长之比为1：2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其 中A B=A C,A D B C.将扇形 A E F 围成圆锥时，A E,A F恰好重合.(1)求这种加工材料的顶角Z BAC的大小.(2)若圆锥底面圆的直径ED为 5 c m,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留n)第6页 共2 8页2 5.(8分)如 图，在平面直角坐标系中，抛物线C：ya+bx+c(a W O)经 过 点(1,1)和(4,1).(1)求抛物线C的对称轴.(2)当a=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C).求抛物线C 1的解析式.设抛物线C 1与x轴交于A,B两点(点A在点3的右侧)，与y轴交于点C,连接BC.点D为第一象限内抛物线C i上一动点，过点D作D E 1 O A于点E.设点D的横坐标为m.是否存在点。，使得以点O,D,E为顶点的三角形与 B O C相似，若存在，求出川的值；备用图2 6.(1 0分)如 图，在R t Z A 8 C中，点P为斜边8 c上一动点，将4 B P沿直线A P折叠,使得点8的对应点为B,连接A B ,CB,BB,P B .(1)如图，若 PB AC,证明：PB=A B .(2)如图，若 A B=A C,B P=3 P C,求 c o s/B A C 的值.PC(3)如图，若/A C 8=3 0 ,是否存在点P,使得.若存在，求此时不 的值；若不存在，请说明理由.第7页 共2 8页第8页 共2 8页2021年湖南省邵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题有10个小题，每小题3分，共3 0分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.（3分）-3的相反数是（）A.-3 B.0 C.3 D.n【分析】根据相反数的概念求解即可.解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此-3 的相反数为3.故选：C.【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并正确应用是解题的关键.2.（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转 1 8 0 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意.故选：C.【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 1 8 0度后与原图重合.3.（3 分）2 0 2 1 年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2月 1 0 日晚,“天问一号”探测器在距离地球约1 9 2 0 0 0 0 0 0 A”处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道.用科学记第 9页 共 2 8 页数法将1 9 2 0 0 0 0 0 0 表示为a X 1（）8的形式，则 的 值 是（）A.0.1 9 2 B.1.9 2 C.1 9.2 D.1 9 2【分析】科学记数法的表示形式为。义1 0 的形式，其 中 l W|a|1 0,为整数.确定的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1 0 时，是正整数；当原数的绝对值小于1 时，是负整数.解：1 9 2 0 0 0 0 0 0=1.9 2 X1 0 8,故 a=1.9 2,故 选:B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义1 0 的形式，其中 l W|a|1 0,为整数，表示时关键要正确确定。的值以及的值.4.（3分）如图，若数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则m+n的值可能是（）-3-2-1 0 1 2A.2 B.1 C.-1 D.-2【分析】根据在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，可得：1,，+的结果即可求得.解：N所对应的实数分别为孙”，-3 m -2 0 TI 3x 41 ,2 的整数解的是（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【分析】先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整数解.（5 x -1 3%-4 解：1 2 z-x解不等式，得：x l，解不等式，得：x W l,.不等式组的解集为：一.不等式组的整数解为-1,0,1,故选：A.【点评】本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的步骤准确计算是解题关键.第1 2页 共2 8页8.（3分）某天早晨7：0 0,小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：3 0 赶到了学校.如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象，判断下列结论正确的是（）B.小明家距离学校1 1 0 0 wC.小明修好车后花了 3 0,山到达学校D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程.解：4.由横坐标看出，小明修车时间为2 0-5=1 5（分钟），故本选项符合题意；B.由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为2 1 0 0 米，故本选项不合题意；C.由横坐标看出，小明修好车后花了 3 0-2 0=1 0（如切到达学校，故本选项不合题意；D小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2 1 0 0 -1 1 0 0）+1 0=1 0 0（米/分钟）=|（加s）,故本选项不合题意；故选：A.【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键.9.（3 分）如图，点 A,B,C 是。上的三点.若N A O C=9 0 ,ZB A C=3 0 ,则N A O B的大小为（）A.2 5 B.3 0 C.3 5 第1 3页 共2 8页D.4 0【分析】由圆周角定理可得NBOC=2NBAC=60,继而/4。8=NAOC-N 80c=90-60=30.解：；ABAC与Z BO C所对弧为我，由圆周角定理可知：ZBOC=2ZBAC=60,又 N4OC=90,.Z A O B=Z A O C-ZB OC=W -60=30.故 选:B.【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键.10.（3 分）在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x 的方程m+x+l=0 的实数根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2 个 D.1或 2 个【分析】由直线解析式求得“W0,然后确定的符号即可.解：.直线y=-x+m 不经过第一象限，当加=0 时，方程加2+1=0 是一次方程，有一个根，当“0 时，关于x 的方程，/+x+l=0,.=产-4机 0,；关于x 的方程/+x+l=0 有两个不相等的实数根，故选：D.【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ox?+云+c=o（a/0）的根与=/-4 a c 有如下关系：当（）时，方程有两个不相等的实数根；当=（）时，方程有两个相等的实数根：当时，方程无实数根.二、填 空 题（本大题有8 个小题，每小题3 分，共 24分）11.（3 分）16的算术平方根是4.【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果.解：:42=16,/.V16=4.故答案为：4.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义.一个正数的算术平方根就是其正的平方根.第1 4页 共2 8页1 2.(3 分)因式分解：x y 2-x 3=x(y+x)(y-x).【分析】首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可.解：x y2-x2)=x(y+x)。-x).故答案为：x，+x)(y -x).【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键.1 3.(3 分)如 图，点 ,E,尸分别为 A 8 C 三边的中点.若 A BC 的周长为1 0,贝 l J O 下的周长为 5 .【分析】根据。、E、尸分别是4 8、A C、B C的中点，可以判断O F、FE、QE为三角形中位线，利用中位线定理求出。F、FE、D E 与 A B、B C、CA的长度关系即可解答.解：；、E、尸分别是A 3、A C、8C的中点，:.FD、FE、O E 为 4 BC 中位线，.DF=A C,FE=A B,D E=：B C；：.DF+FE+DE=%C+9 B+B C=|CA B+A C+CB)=1 X1 O=5,故答案为：5.【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键.1 4.(3 分)已知点A (1,y i),B(2,”)为 反 比 例 函 数 图 象 上 的 两 点，则 y i 与 y 2 的大小关系是V I (填“”=”或“0,.函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内)随x的增大而减小.第1 5页 共2 8页VA（1,与），B（2,”）,.点A、B 都在第一象限,又 12,，）”）明故答案为：.【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.15.（3 分）如图，已知线段4 8 长为4.现按照以下步骤作图：分别以点A,8 为圆心，大 于 长 为 半 径 画 弧，两弧分别相交于点E,F；过 E,尸两点作直线，与线段A 8相交于点0.则 A 0 的长为 2.【分析】直接利用基本作图方法得出所垂直平分48,即可得出答案.解：由基本作图方法可得：EF垂直平分A8,：AB=4,1：.A 0=那=2.故答案为：2.【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键.16.（3 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是=.一3一第 1 6 页 共 2 8 页食物蚂蚁【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它 有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案.解：.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，,它有6种路径，；获得食物的有2种路径，.它遇到食物的概率是：2 16-3-故答案为：.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.1 7.（3分）九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了 3钱；如果每人出7钱，则少了 4钱.问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是 53钱.【分析】设有x人，物品的价值为y钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了 3钱；如果每人出7钱，则少了 4钱.列出方程组，解方程组即可.解：设有x人，物品的价值为y钱，依题意，得:忧愿;，解得：二3,第1 7页 共2 8页即该问题中物品的价值是5 3钱，故答案为：5 3.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.1 8.（3分）如图，在矩形A 8 C D中，D E 1 A C,垂足为点E.若s i n N A O E=A D=4,则A B的长为 3 .B C 4【分析】易证由矩形的性质得出/B A C=/A C ,则一=一，由此得A C 5到AC=4=5,最后由勾股定理得出结果.5 5解：V D E 1 A C,A ZA DE+ZCA D=9 0,V ZA CD+ZCA D=9 0,Z A C D=Z A D Ef;矩 形A B C D的对边4 8 C O,ZB A C=N A C O,4V s i n Z A D E=，4-4-5-4一，5F C15=c-cc竺AA由勾股定理得，A B=JA C2-B C2=4 5 2 -4 2 =3,故答案为:3.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识：熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键.三、解 答 题（本大题有8 个小题，第 1925题每题8 分，第 26题 10分，共 66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）第1 8页 共2 8页19.(8 分)计 算：(2021-n)0-|V3-2|-tan600.【分析】结合零指数幕，绝对值的化简和6 0 角的正切值可以求出结果.解：原式=1-(2-V 3)-V3=1-2+V 3-V 3=-1.【点评】本题虽是一个简单的计算题，在平时的考试中也属解答题中的简单题型，但主要是想通过这种题型，考查学生对于零指数基、绝对值的化简和特殊角的三角函数值的掌握情况.解题的时候需要注意绝对值化简时符号的确定，这是学生失分最多的点.20.(8 分)先化简，再从-1,0,1,2,企+1 中选择一个合适的x 的值代入求值.(1 一 击)/一 1x2+2x+l【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定x 的取值，代入求值即可.解：原式=x4-l-x%+1(X+1)2(%+l)(x-l)1x-1又可以取0,此 时 原 式=-1；x 可以取2,此时原式=1；x 可以取注+1,此时原式=k 1_ 7 =孝.V2+1-1 2【点评】本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键.21.(8 分)如 图，在正方形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O,点 E,尸是对角线AC上的两点，.AE=CF.连接。E,DF,BE,BF.(1)证明：/ADEq ACBF.(2)若 A B=4&,A E=2,求四边形BECF的周长.第1 9页 共2 8页CD【分析】(1)由正方形对角线性质可得ND4E=NBCF=45,再 由SAS可证ADE名CBF；(2)由正方形性质及勾股定理可求得8D=AC=8,D 0=B 0=4.再证明四边形BEDF为菱形，因为AE=CF=2,所以可得0E=2,在RtZOOE中用勾股定理求得)E=2遍，进 而 四 边 形 的 周 长 为4O E,即可求得答案.解；(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：ZDAEZBCF=45,在AOE和ACB尸中，AD=BC/.DAE=Z.BCF,AE=CF：.(SAS).(2)：AB=AD=472,：.BD=/AB2+AD2=J(4立/4-(4A/2)2=8,由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC=BQ=8,D0=B0=4,OA=OC=4,又 AE=CF=2,：.0A-AE=OC-CF,即 OE=OF=4-2=2,故四边形BEQF为菱形.V ZDO=90,：.DE=JDO2+EO2=y/42+22=2遮.：.4DE=8V5故四边形BEDF的周长为8V5.【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键.第2 0页 共2 8页22.（8 分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品.采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图.请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额.【分析】设钢笔购买了 x 支，笔记本购买了 y 本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数=56,篮球总价+钢笔总价+笔记本总价=1 0 0 0,利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价.解：设钢笔购买了 x 支，笔记本购买了 y 本.由题意得：1 5 x+5y+600=1000,解得：江 焉.,.15X15=225（元）,35X5=175（元），答：钢笔购买了 15支共225元，笔记本购买了 35本 共 175元.【点评】仔细观察发票中的数据，理解合计中的数量即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总数，合计中的金额即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总价和，这是找到相等关系，列出方程组解决问题的关键.23.（8 分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：人）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题.第2 1页 共2 8页周学习时间频数频率0WY150.0 5W 22 00.2 02 W f 3a0.3 53 W f 42 5m4 WW51 50.1 5(1)求 统 计 表 中 的 值.(2)甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”.求甲同学的周学习时间在哪个范围内.(3)已知该校学生约有2 0 0 0 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少【分析】(1)由 周 学 习 时 间 在 的 频 数 及 频 率 求 出 样 本 容 量，再由频率=频数+样本容量求解即可得出答案；(2)根据中位数的定义可得答案；(3)用总人数乘以样本中3 W/V 4、4 W/W 5 的频率和.解：.样本容量为5 +0.0 5 =1 0 0,.4=1 0 0 X 0.3 5=3 5,机=2 5+1 0 0=0.2 5；(2).一共有1 0 0 个数据，其中位数是第5 0、5 1 个数据的平均数，而这2个数据均落在 2 W r 3 范围内，.甲同学的周学习时间在2 W f 0=器=_ 叱6+2=2或 即可求解.解：（1）I点（1,1）和（4,1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，故 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线（1+4）由 题 意 得:二:热官鼠，M e：-3故原抛物线的表达式为y=-?+5x-3；由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y=-（x+2）2+5（x+2）-3-1=-+x+2；第2 4页 共2 8页存在，理由：令 y=-7+X+2=0,解得 x=-l 或 2,令 x=0,则 y=2,故点B、A的坐标分别为（-1,0）、（2,0）,点C（0,2）；同理可得：tan/CBO=2,当以点。，D,E 为顶点的三角形与8 0 C 相似时，1贝 lj tan/O O E=2 或一,2设点。的坐标为（m,-川+加+2）,则 tan/OE=器=一 而+=2=2 或士OE m 2解得：根=-2 （舍去）或 1或1一 闻（舍去）或I f闻,2 2乂,.1+V33故m=或-.2【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.26.（10分）如图，在 RtzXABC中，点 P 为斜边BC上一动点，将AB尸沿直线A P折叠,使得点B 的对应点为，连接A 3,，CB,BB,P B .（1）如图，若 PB AC,证明：PB=4 8.（2）如图，若 AB=AC,B P=3 P C,求 cos/B 4 c 的值.PC（3）如图，若NACB=30,是否存在点P,使得A B=C B.若存在，求此时大的BC值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）易证P8 A B.所以/B 7M=N B A P,又由折叠可知N B A P=N B A P,所以第2 5页 共2 8页ZB P A=ZB A P.故 PB=A B；(2)设 AB=AC=a,AC、PB交于点D,则AABC为等腰直角三角形.再证明(?)y2a _CD PD CP V V2 J7BDA,可得=一 =一.设 BD=b,则 CD=%.则 A D=a-%,BfD DA BfA a 4 4 4PD=攀a-b,由”=立 解 得 b=a.再过点D 作 EJ_A于点E,则为等4 AD 4 7A Q q腰直角三角形.所以 8E=sin45 XBD=a,AE=AB-BE=A D=a.故 cosNB,AC=cosZEAD=笠 即 可求；(3)分点P 在 8 C 外的圆弧上；点 P 在 BC上两种情况分别求解即可.解：(1)证明：PBLAC,ZCAB=90,：.PB/AB.：.ZBPAZBAP,又由折叠可知N B A P=/8Z P,：.ZBPA=ZBAP.故 PB=A B.(2)设 AB=AC=a,AC、PS交于点 O,则ABC为等腰直角三角形，.BC=V2a,P C=*a,PB=a,由折叠可知，NP8A=NB=45,又 NACB=45,：.ZP B A ZA C B,又 NCDP=NB，DA,：.CDP/BDA.42a _CD PD CP 42 =.i/BtD DA BfA a 4设 8。=，则 c n=.AD=AC CDci-PD=PB-BD=PB-BD=竽 a-b,第2 6页 共2 8页由%乎a-b V24解得：b=-a.过点D 作 斤 于 点 E,则BDE为等腰直角三角形.BEs in4 5 X BD=b=x ya=a.4 3：.AE=AB,-BE=AB-BE=a-a=尹.又 AD=AC-CD=a-b=a-1 a=a.3AE%3cos Z BAC=cos Z EAD=而=可.(3)存在点P,使得C 9=A 3=m.V ZA C B=3 0 ,NC A B=9 0 .BC=2m.如答图2所示，由题意可知，点8 的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A.当尸为8c中点时，PC=BP=AP=AB=m,又/B=6 0 ,以B为等边三角形.又由折叠可得四边形A B P H为菱形.：.PB,/AB,：.PB,LAC.又；A P=A B，则易知AC为PB 的垂直平分线.故C B =P C=A 8=，满足题意.,PC m 1此时，一=BC 2m 2当点8 落在8c上时，如答图3所示，此时 C 8 =A B=m,1 1贝|J PB=(2 a a)=Q，第 2 7 页 共 2 8 页1 3：.PC=CBl+PBl=a+a=|a,3PC/3BC 2a 4PC 1 3综上所述，菰的值为：;或7BC 2 4答图3答图2【点评】本题以几何变换为背景考查了图形折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、辅助圆、分类讨论的数学思想，作出合理的辅助线以及学会分类讨论是解题的关键.第2 8页 共2 8页