2021年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案解析.pdf

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选 择 题（本题共12个小题，每小题3分，满 分3 6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.8 的相反数是（）A.-8 B.8 C.D.8【分析】根据相反数的概念求解即可.【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8 的相反数是-8.故选：A.【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并注意区分相反数和倒数是解题的关键.2.2021年 2 月 2 5 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫.数98990000用科学记数法表示为（）A.98.99X106 B.9.899X107C.9899X104 D.0.09899X108【分析】科学记数法的表示形式为“X 10”的形式，其 中 lW|a|10,为整数.确定的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，”是正整数；当原数的绝对值小于1 时，是负整数.【解答】解：98990000=9.899X107,故选：B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X IV 的形式，其中 lW|a|V 10,为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及”的值.3.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）第1页 共2 3页【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称.【解答】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.故选：A.【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.4.下列运算结果为小的是()A.“3 B.a12-e-a2 C.(a3)2 D.(-a3)22【分析】直接利用同底数幕的乘除运算法则、幕的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案.【解答】解：A./.a 3=q 5,故此选项不合题意；B./+“2=/0,故此选项不合题意；C.(1)2=6,故此选项符合题意；/).(2 2=%故此选项不合题意；故选：C.【点评】此题主要考查了同底数基的乘除运算、塞的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键.5.下列计算正确的是()A.V16=4 B.(-2)=1 C.V2+V5=V7 D.那=3【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可.【解答】解：16的算术平方根为4,即 属 =4,故 A 不符合题意；根据公式J=l(a#O)可 得(-2)0=1,故 8 符合题意；近、有无法运用加法运算化简，故 鱼+花 羊 近，故C不符合题意；V9=3,故。不符合题意；故选：B.第2页 共2 3页【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式/=imwo）的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键.6 .为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：8 5,8 2,8 6,8 2,8 3,9 2.关于这组数据，下列说法错误的是（）A.众数是8 2 B.中位数是8 4 C.方差是8 4 D.平均数是8 5【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可.【解答】解：将数据重新排列为8 2,8 2,8 3,8 5,8 6,92,A、数据的众数为8 2,此选项正确，不符合题意;O O J _ O CB 数据的中位数 为 丁 =8 4,此选项正确，不符合题意;C、数据的平均数为82+82+83+85+86+92-=8 5,61所以方差为一 x (8 5 -8 5)2+(8 3 -8 5)2+2X (8 2-8 5)2+(8 6 -8 5)2+(9 2-8 5)26=1 2,此选项错误，符合题意;D、由 C选项知此选项正确;故选：C.【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据.7 .如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）正面第 3 页 共 2 3 页【分析】画出该组合体的三视图即可.【解答】解：这个组合体的三视图如下：二+主视图 左视图 俯视图故选：A.【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提.8.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯A 8 的倾斜角为37,大厅两层之间的距离8 C 为 6 米，则自动扶梯AB的长约为（sin37弋0.6,cos37弋0.8,tan37弋D.10 米【分析】由锐角三角函数可以求得A 8 的长即可.【解答】解：在 RtZABC中，ZACB=90 ,B C=6米，OV sin Z B A C=丽=sin37 0.6=5，.,.A B|fiC=|x6=10（米），故选：D.【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.9.下列命题是真命题的是（）A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和B.正六边形的每一个内角为120C.有一个角是6 0 的三角形是等边三角形D.对角线相等的四边形是矩形第4页 共2 3页【分析】根据多边形的外角和都是360度对A 作出判断；根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对8 作出判断;根据等边三角形的判定对C 作出判断；根据矩形的判定对。作出判断.【解答】解：A.每个多边形的外角和都是360,故错误，假命题；B.正六边形的内角和是720,每个内角是120,故正确，真命题；C.有一个角是6 0 的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D.对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题.故选：B.【点评】本题考查命题和定理，会区分真假命题是解题关键.1 0.不等式组卜+1 的解集在数轴上可表示为（）l-2 x C.-5-4-3-2-1 0 1 2D.-5-4-3-2-1 61 2_【分析】解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案.【解答】解：解不等式x+l 0 得，x -1,解不等式-2xW 6得，x 2-3,不等式组的解集为：-3WxJO A2-O E2=3-7 =5,4 2.当点P 在 A-。段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：(V3+)x 2 =2 V3+3(cm)故答案为：(2 百+3).【点评】本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点尸在A-。段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、。的位置关系是解题的关键.三、解答题(本大题共8个小题，1920题每题6分，2124题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.)19.(6 分)计 算：(x+2 y)2+(x-2 y)(x+2 y)+x(x-4 y).【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可.【解答】解：原式=(f+4xy+4)2)+(7-4/)+(/-4孙)=/+4 冷 叶 4y2+f-4y2+j？-4 xy3X2.【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式是解题关键.2 0.(6 分)如 图，点 A、B、D、E 在同一条直线上，AB=DE,AC/DF,BC/EF.求证:A B 8 A D E F.AB DE第1 1页 共2 3页【分析】根据题目已知条件利用A S A 即可求出A A B C 丝 凡【解答】证明：A C。./C A B=N H）E（两直线平行，同位角相等），又,：BC/EF,，N C 8 A=N F E D（两直线平行，同位角相等），在 A B C 和 /中，（Z.CAB=4 F DEAB=DE,（NCBZ=/F E DZ.A B C /D E F（ASA）.【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并能熟练推理是解题的关键.2 1.（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2 0 2 0年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示.（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 6 4.8 度;（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2 万元.若我市某天生活垃圾清运总量为5 0 0 吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2 名学生参赛.甲班经选拔后，决定从2 名男生和2 名女生中随机抽取2 名学生参加比赛，【分析】（1）根据题意求出其他垃圾所占百分比即可求出其他垃圾所在的扇形的圆心角度数；第1 2页 共2 3页(2)根据可回收垃圾所占百分比算出5 0 0 吨生活垃圾中可回收垃圾中的质量，即可计算出该天可回收物所创造的经济总价值；(3)结合题意，画出树状图即可求出所抽取的学生中恰好一男一女的概率.【解答】解：(1)由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1-2 0%-7%-5 5%=1 8%,，其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：3 6 0 X 1 8%=6 4.8 ,故答案为：6 4.8；(2)5 0 0 X 2 0%=1 0 0 (吨)，1 0 0 X 0.2=2 0 (万元)，答：该天可回收物所创造的经济总价值是2 0 万元；(3)由题意可列树状图：开始【点评】本题考查统计与概率相关知识，熟练掌握统计的相关知识以及会利用列表法或树状图求概率是解题的关键.2 2.(8 分)如 图，点 E为正方形A B C 外一点，/4 E B=9 0 ,将绕A点逆时针方向旋转9 0 得到 A O F,。尸的延长线交BE于 H点.(1)试 判 定 四 边 形 的 形 状，并说明理由：(2)已知 B H=7,B C=1 3,求 O H 的长.E第1 3页 共2 3页【分析】（1）利用旋转即可得到R t A B E R t A D F,再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；（2）设 AE=x，则 8E=7+x,AB=13,利用勾股定理即可求出x,进而可求出D H的长.【解答】解：（1）四边形AfH E是正方形，理由如下：,/R t/ABE绕 A 点逆时针方向旋转9 0 得到AO凡.,.RtAABERtAADF,:.N AEB=N AF D=90 ,A ZAF H=90 ,R t/ABER t/ADF,：.Z D A F=/BAE,又.NOAF+/项8=90,NBAE+/项B=90,A ZM E=90,在四边形 中，ZM=90,N AEB=90,ZAF H=90 ,四边形AF/E是矩形，又：AE=AF,矩形A H/E是正方形：（2）设 A E=x.则 由（1）以及题意可知：AE=EH=F H=AF=x,B H=7,B C=A B=1 3,在 RlZVlEB 中，AB2=A E2+BE1,即 132=/+（X+7）2,解得：x=5,：.B E=B H+E H=5+7=12,：.DF=BE2,又,：DH=DF+F H,：.DH=2+5=1.【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键.23.（8 分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计功长或缩短，设双层部分的长度为比加，第1 4页 共2 3页单层部分的长度为)0 .经测量，得到表中数据.双层部分长度x(an)281 42 0单层部分长度y(an)1 4 81 3 61 2 41 1 2(1)根据表中数据规律，求出y 与 X的函数关系式；(2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为1 3 0 a时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；(3)设背带长度为Z z w,求 L的取值范围.【分析】(D设出y 与 x 的函数关系式为y=+b,代入表中数据求系数即可；(2)根据函数关系式和背带长度为1 3 0 a 列出二元一次方程组解方程组即可；(3)根据x 和 y 都为非负数求出L的最大值和最小值即可确定取值范围.【解答】解：(1)设 y 与 x 的函数关系式为y=H+%,由题知牒:北普解得忆备与 x的函数关系式为y=-2x+152；根 据 题 意 知解得 仁 常 8,双层部分的长度为22c m；(3)由题知，当x=0 时，y=152,当 y=0 时，x=7 6,.7 6 W L W 152.【点评】本题主要考查一次函数的应用，利用一次函数的性质解决实际问题是解题的关键.第1 5页 共2 3页24.(8分)如 图，4 8是。的直径，。为。0上一点，E为 防 的中点，点C在旦4的延长线上，且N C D 4=N B.(1)求证：C O是0 0的切线；(2)若 DE=2,ZBDE=30,求 C 的长.【分析】连 结0 D,利用已知条件证明O O L C O即可求证C O是。的切线；(2)连结0E,根据N B OE=30,E 为班)的中点即可求出Z B O D度数以及求证三角形E 0 D为等边三角形，进而求出N Q 0 C度数，再利用t an/OOC的值即可求出C O的长.【解答】解：(1)证明：连结O O,如图所示：是直径,.Z B A=9 0,/.ZBDO+ZADO=90,又。，N C D A=N B,：.ZB=ZB D O=ZC D A,：.ZCDA+ZADO=90 ,J.O D L C D,且 0。为O O 半径,是。的切线；(2)连结0 E,如图所示：:NBDE=30 ,第1 6页 共2 3页:.NBOE=2NBDE=6Q ,又 为 防 的 中点，：.Z E O D=6 0a,二E 0。为等边三角形，：.E D=E O=O D=2,又,；N B O D=N B O E+N E O D=120 ,./D OC=18 0-Z B O)=18 0-120 =6 0,在 R t Z YD OC 中，Z D O C=6 0 ,0。=2,/.t an Z OC=t an 6 00=竽=8，：.CD=2y3.【点评】本题考查圆的有关概念及基本性质，涉及切线的判定与性质，圆周角定理等知识，能弄清题意，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键.25.(10分)如 图，OA B的顶点坐标分别为O(0,0),A (3,4),B(6,0),动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作M N/O B分别交A O、4 B于点M、N,连接P M、P N.设运动时间为f (秒).(1)求点M的坐标(用含t的式子表示)；(2)求四边形M N B P面积的最大值或最小值；(3)是否存在这样的直线/,总能平分四边形M N B P的面积？如果存在，请求出直线/的解析式：如果不存在，请说明理由；(4)连接4 P,当N O A P=Z B P N时，求点N到。4的距离.【分析】(1)过点A作x轴的垂线，分别交MN和x轴于点E和点F,利用三角形相似写出点M的坐标；第1 7页 共2 3页(2)四边形的面积可以用分割法求解，A MNP和/XBN P的面积之和；四边形M N 8 0和OM P的面积之差，其它方法亦可；(3)先判断四边形MNBP的形状，就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点坐标(用含f 的式子表示)，然后消去f,得到直线/的解析式；(4)利用三角形相似解题，由NOA尸=N 8 P N 和乙40B=/P BN (由题意可知)，得证 A O P s A P B N,再利用相似的性质求出对应的，值，再由等面积法求高，求出点N 到OA的距离.【解答】解：(1)过点A 作 x 轴的垂线，交 MN于点E,交 0 8于点凡由题意得：0Q=2t,O P=3t,P B=6-3t,：0(0,0),A(3,4),B(6,0),：.O F=F B=3,AF=4,O A=A B=V32+42=5,:MN O B,：.Z O Q M=Z O F A,Z O M Q=Z A O F,.0QMS F 0,.O Q QM =,AF O F.2t Q M.=,4 33Q M=2 33点M 的坐标是(二匕2 t).2(2),:MNO B,，四边形QEFO是矩形，Q E=O F93：.M E=O F-Q M=3-t,90A=AB,:M E=N E,:M N=2 M E=6 -3t,二 S 四边形 MNBPUSAMNP+SABNP1 i=*MNOQ+58 POQ第1 8页 共2 3页1 1=7 (6 3t),2t+(6-3t),2t=-6?+12z=-6(?-l)2+6,.,点尸到达点2 时，尸、。同时停止，.0WfW2,.1=1 时，四边形MN8P的最大面积为6.(3),:M N=6-3t,B P=6-3t,：.MN=BP,:MN BP,：.四边形MNBP是平行四边形，平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即 M B的中点,设中点为/Cx,y),3VA/(-t,2t)B(6,0),1 3 3x 6)=q t+3,2t+0厂 方 一=t.Ax=4y+3,化简得：y=4,直线/的解析式为：)，=g x 4.(4)*：OA=ABf：./A O B=/P B N,又 *：/O A P=/B P N,：./AO PsAPBN,.0 4 _ OPBP BN5 3t e f6-3t解得：仁 得3,.M N=6-3f,AE=AF-OQyM E=3-t,第1 9页 共2 3页：MN=6 _ 3x Yg=-g-,4Z?_.Q 11 _ 25AE=4-2 x=-y,M E=3-2 x 111|=名25,-AM=y/ME+AE2=J(y f)2+()2=票设点N 到 OA得距离为，11*：SAAMN=办 MNAE=.AM/Z,.1 25 25 1 125.一.一.=.-h,2 6 9 2 36解得：仁 孚10.点N 到。4 得距离为三.【点评】本题是函数的综合题，在解题过程中可以利用函数的知识进行解题，也可以用几何知识解题.在这里求点M 的坐标所使用的是几何法，也可以求出直线0 4 的解析式之后令y=2 f,求出对应的x 即可写出点M 的坐标；第(2)问与第(3)有联系，第(2)问可以用分割法求解，也可以先判断出四边形MNBP的形状再求面积；第三问考查了学生对平行四边形的中心对称性的灵活应用和求动点路径的掌握：最后一问则考查了学生对于等面积法求高的熟练度.26.(12分)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例如(1,1),(2021,2021)都 是“雁点”.(1)求函数y=图象上的“雁点”坐标；(2)若抛物线y=/+5 x+c 上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x 轴交于M、N两第 2 0 页 共 2 3 页点（点M在点N的左侧）.当“1时，.求c的取值范围；求/E M N的度数；（3）如图，抛物线y=-/+2 r+3与x轴交于A、8两 点（点4在点8的左侧），尸是抛物线y=-/+2%+3上一点，连接8 P,以点尸为直角顶点，构造等腰R t Z B P C,是否存在点P,使点C恰 好 为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（2）由4=2 5 -4 a c=0,即a c=4,即可求解；求出点M的坐标为（一,0）、点E的坐标为（-1-1）,即可求解;（3）证明C M P丝CAAS）,W J P M=BN,C M=PN,即可求解.【解答】解：（1）由题意得：x=p解得x=2,4当*=2 时，y=-=+2,故“雁点”坐 标 为（2,2）或（-2,-2）；（2）.“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y=x,物线y=/+5 x+c上有且只有一个“雁点”E,贝ij a）?+5x+cx,则4=2 5 -4 ac0,即 4 c=4,：a,第2 1页 共2 3页第2 2页 共2 3页故 c 4；：a c=4,贝ij o A 5 x+c=0 为 ax2+5x+，=0,解得x=T或即点仞的坐标为（一1,0）,俨图1由 O J+5X+C=X9 a c=4,解得x=T，即点E的坐标为一，-/故点E作轴于点”，9 9 4 7则 H E=,M H X E-XM=-（-）=-=H E,故NE M N的度数为4 5 ；（3）存在，理由：由题意知，点C在直线y=x上，故设点C的坐标 为。，过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M,N,/）,交过点3与y轴的平行线于点图2设点尸的坐标为（加，-川+2加+3）,则 B N=-m2+2m+3,P N=3-m,P M=m -tyC M=-扇+2 任 3-t,：/N P B+/M P C=9 0。,N M P C+N CP M=90 ,N N P B=/C P M,:N C M P=/P N B=9U ,P C=P B,:.丛C MPQ丛P N B（A4S）,:P M=B N,C M=P N,即 a -r=|-毋+2m+3|,-n+2m+3-/=|3-m9解得m=l+缘 或 1 一 缘 或幸故点尸的坐标为（二2-V一10，-3）或（彳3 15）或 1 +.孚/Tn.【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.第2 3页 共2 3页