2021年河北省衡水中学高考（文科）数学第二次联考试卷（全国Ⅰ） （解析版）.pdf

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国 I）一、选 择 题（共 1 2 小题）.1 .若集合A=x*-2 元 W 0 ,集合8满足A U8=4,则 B 可 以 为（）A.M%W 2 B.3 -1WXW2 C.1,2 D.-1,0,1,2 2 .设 复 数 Z=|J i|-i 2 02 l,则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2 02 0年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番,B.该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C.该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的方D.该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的!65 .已知函数f（x）=s i n x -x,设 4=/（i T ）,b f（O.l1 1）,c=f（l o g o.i i r），则 a,b,c的大小关系是（）A.abc B.bca C.cba D.bac6.在钝角三角形A B C中，A B=（1，百），1诟=1，SAABC=吟，点。为B C的中点，则1诟=（）A.且 B.返 C.返 D.2 2 2 27 .已知函数八%）=机*2+的图象恒过点（2,1）,若对于任意的正数如，不等式上+鱼人m n成立的最大正整数n的值为恒成立，则实数A的最大值为（）A.9 B.3+2&C.78.设抛物线），2=2 p x （p 0）的焦点为F,倾斜角为8 （0 9 -焦点R且与抛物线相交于M,N两点，若 讨,而=_ 2卜/，A.-2.B.C.返3 3 49.若各项均为正数的数列 满 足。”+1=4斯，a g =2 5 6,D.4正9）的直线/经过抛物线的则 s i n 2 9=（）D,小9则 使 得 不 等 式4 1 331 上有3个不同的零点，则实数%的取值范围是（）A.5 B.61 0.在平面内，A,C是两个定点,角A的最大值为（）冗A.-Bc .-冗-6 4-2X2+4X1 1.已知函数f（X）=1yf（X+2）L /C.7 D.8B是动点，若 说4正，I舒丽=l而，则a A B C的内c 冗 n 冗3 2,0 x 2,若函数g （x）=f（x）-丘+k在区间-2,x 1 0)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间 1 0,3 0 中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为.2 21 5 .对于双曲线-%=l(a 0,b 0)来说，我们定义圆f+y 2 =”2 为它的“伴随圆”.过双 曲 线 号-卷 一 =1 (。0)的左焦点Q 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T,且这/9条切线与双曲线的右支相交于点尸，若 M 为尸人的中点，M 在 r右侧，且I M O I-I M 7 1 为定值处,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为.JT1 6 .已知函数f (x)=s i n 2 x+s i n (2 x+-)+。同时满足下述性质：若对于任意的修，工 2,o黑 0,f(x)+/(X 2)/(必)怛成立；(2)/()a，贝 U。的值为_ _ _ _ _ _ _.46 V三、解答题:共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步廉。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。17.己知数列%是递增的等差数列，且满足“4是。2与制的等比中项.(1)求数列 为 的通项公式；(2)求数列-的前项和.anan F l1 8 .如图，D 4 _ L 平面A B C,D 4=AC=1,。是 AB的中点，A C。为等边三角形.(1)证明：平面ACC平面B C E；(2)若 A O B E,P为 的 中 点，。为线段0P上的动点，判断三棱锥Q A C。的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由.1 9 .电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了 1 0 0 人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3,整理数据得到如表：(1)完成2X2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟 1 5不吸电子烟5 0总计染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v 求这两个人来自同一类别的概率.参考公式及数据：K2=-7 吗 一?C)-其中=+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2 0.已知函数/(无)=sinx-aex i(G R).P(片如)0.0 5 00.0 1 00.0 0 50.0 0 1履3.8 4 16.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8(1)定义/(X)的导函数为一(x),/(x)的导函数为了(X),以此类推,若2 0 2 0,7Tm=s i n l,求函数f(2x4)的单调区间;(2)若“2 1,x 0,证明：/(%)0 恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若集合A=R f-2 x W 0 ,集合B满足A U B=A,则 8可 以 为（）A.x|x W 2 B.x|-l W x W 2 C.1,2 D.-1,0,1,2 解：.集合 A=x|f-2 x W 0 =x|0 W x W 2 ,集合 B 满足 A U B=A,8 可以为 1,2 .故选：c.2 .设复数z=|后i l-产阳，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 后 =7（V s）2+i2=2，复数z=|后i|-严 i=2-i,则在复平面内z 对应的点（2,-1）位于第四象限，故选：D.3 .“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2 0 2 0 年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番,A.该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B.该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C.该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的义D.该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的!解：对于选项4因为该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的2 X 2=4 倍，所以选项A 正确，对 于 选 项 不 妨 设 第 一 季 度 的 总 收 入 为 则 第 二 季 度、第三季度的总收入分别为2”、4 a,所以第三季度的服装收入为4 a x 7 0%=2.8 m 第一季度和第二季度的服装总收入为aX9 0%+2“X 8 0%=2.5 a,因为 2.8 a 2.5 a,所以选项8正确，对于选项C：由题意第二季度的食品收入为2“义2 0%=0.4 0 第三季度的食品收入为4 aX 3 0%=1.2。，因 为 嚼 =4，即直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的，1.2a 3 3故选项C正确，对于选项。：第一季度的食品收入为a X 1 0%=0.1 m因为？4 工=，即第一季度的食品收入是第三季度食品收入的上，1.2a 12 12所以选项。错误，故选：D.仆）=,了=_ 丁 干 下=_ 於）,则 兀 V）是奇函数，图象关于原点对称，排除A,l n|-x I i n|x|当九一+8,x）f +8,排除 Q,当x=e 时，且 一=eV5,排 除 C,I n e故选：B.5 .已知函数f（冗）=s i n v -x,设。=f （TC。/），b=f（O.l1 1）,c=f（1 0 go.m）,则 a,b,的大小关系是（）A.a b c B.b c a C.c b a D.b a c解：V/(x)=s i n x -x,:.f(x)=c o s x -1 0,，函数/(x)=s i n x -x在 R 上单调递减，又 0 0.1 1,l o g o.H b=f(0.1K)f (TT()1),B|J cba.故选：C.6 .在钝角三角形ABC 中，标=(1,如)，I诟=1,SAABC=，点。为 BC 的中点,则 屈=()A.互 B.金 C.返 D.2 2 2 2解：如图，DAB|AB|=2,I正 1 =1,SABC 吟，*4|AB 11 AC|,sinZ B A C=sinZ B A C=_,-*-cosZBAC=-若 c o s Z B A C -，则：|BC|2=|AC-AB|2=AC2+AB2-2ACAB=1+4-2X2X1XJ=3;.,.ZB=90,ZV IBC是直角三角形，与已知AABC是钝角三角形矛盾,cosN B A C=V，|AD|=y|AB+AC|=|V(AB+AC)2=y 4+l-2 X 2 X lX y 岑.故选：c.7.已知函数八%）=松 3+的图象恒过点i）,若对于任意的正数”，不等式上m n恒成立，则实数A 的最大值为（）A.9 B.3+2&C.7 D,4&解：可令冗-2=0,即x=2,可得式2）=次+”=1,由可得1 4-I-=m n当=1+4+%如 2 5+2n m n1m当且仅当=2,w=触寸取得等号,则 AW9,可得A 的最大值为9.故选：A.8.设抛物线尸=2*（p o）的焦点为凡 倾斜角为e（o v e 0）,所 以 焦 点%,（）,T T设过焦点F,倾斜角为。的直线方程为y=x-学，仁 tanO,（0 6 0,所以 Z=t a n B=2&,.2sin8 cos 8所以 s i n 20=.R r Zsin D +co s u故选：D.2tan6 4/2tan2 8+1 99.若各项均为正数的数列 斯 满 足。“+1=4 斯，ag=2 5 6,则 使 得 不 等 式 4 可 得 伉=2妹1,由不等式4133(1+4彳 正 0 一+日)成立，得 4”133(l+2+2l+22+-+2n-1)=133=133X2n,.213328,即 V 8,可得最大正整数的值为7.故选：C.1 0.在平面内，A,C 是两个定点，8 是动点，若 更 正，I而 前=1而，则ABC的内角A的最大值为（）K八 兀 八 兀 一兀A.B C D 6 4 3 2解：根据题意，设 CD 的中点为E,|福=，则1 诟=3,，I而=2C。的中点为E,则 前 前=2前，即有I显丽=2|丽，又由I奇前=1而，则1 丽=则点3 在以E 为圆心，C D为直径即半径为r 的圆上，连接A 8,当AB与圆E 相切时，N A 最大，K当AB与圆相切时，BE=r,AE=2r,N E BA =，2贝 l j A=Kg6故内角A 的最大值为6故选：A.1 1.已知函数/1(x)=-I 若函数g(x)=f (%)-fcx+k在区间-2,y f(x+2),x 0,1上有3个不同的零点，则实数4的取值范围是()A.(-4-2,0)B.(-1,0)C.(-4+2近，0)D.(,0)2解:(o-2xz+4 x,函数f (x)=-I ,、yf(x+2),0 4 x 2,x 1 0）从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间 10,30 中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为 3.2 L解：在闭区间 10,30 中，任取一个整数，基本事件总数”=21,此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11,13,17,1 9,共 4 个，.此整数是“通体质数”的概率为2=冬.21故答案为：211 5.对于双曲线g-X；=l（a 0,%0）来说，我们定义圆f+y2=J 为它的“伴随圆,.过a bzx2 4y 2双曲线3-胃 一二 1（。0）的左焦点E 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T,且这/9条切线与双曲线的右支相交于点，若“为 PFi的中点,定值，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 运.2-2 解：设双曲线的右焦点为尸2，如图，V APF2 力则叫0|=点睡|,在 RtZkOFiT 中,OFA=c,O7=a,：.TFb,1 1 oOM-MT-PF2-（y|PF1|-b）-b -a-a-a=1,c Va2+b2 J 1-*V?，M 在 7 右侧,且为1一,2故答案为：Y豆.2JT1 6.已知函数/（x）=s i n 2x+s i n （2x+）+。同时满足下述性质：若对于任意的国，如oX3G 0,/（即）4/（x 2）刃（右）恒成立；（手）V 3-a2,则 a 的 值 为0.解:f（x）=s i n 2x+（/i n 2x+：X:os2x）+a2=sin2x+-cos2x+a2 2（金二d n 2l+2co s 2x）+a22L 兀=y 3s i n （2x+飞-）+aj r当 x 6O 时，2x+-4KK2兀】1 T 当上WO,T时，/（X）日+喙，W sbJT对于任意X|,X 2，X 3曰0，一1，/（汨）V（2）2/（应）恒成立,4 2/（X）mine/（X）max，：.2 3吟）。+百,；.心0，V/（）=V 3+a V 3 ,.,J+a WO,（2）,6由可得4=0.故答案为：a=0.三、解答题:共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步廉。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。1 7.已知数列 斯 是递增的等差数列，.=p 且满足44是 2与 8的等比中项.（1）求数列 斯 的通项公式；（2）求数列-的前项和.anan 4-l解：（1）由数列 斯 是递增的等差数列，设公差为4 4 0,由 3=且4是2与8的等比中项，可得4/=2 8，即（“；+3d）=（+d）（+7 d）,解得/（0舍去），贝！1期=5+5(-1)2 2_ 1一5”；-1 11/、=4(工 一M ,*y(n+l)n n+11(2)-=1ananFl y n则数歹ll 的前n项和为4(1-*+2-ananFl 2 2 3 n n+1=4(1-J=n+1 n+11 8.如图，D4_L平面ABC,D 4=A C=1,。是 AB的中点，AC。为等边三角形.(1)证明：平面ACDJ_平面8CE；(2)若A DBE,P 为 CE的中点，。为线段OP上的动点，判断三棱锥Q4CD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由.【解答】证明：(1)平面ABC,8Cu平面A8C,：.DA LBC,：D A=AC=1,。是 AB的中点，ZAC。为等边三角形,：.O C=A B,2J.BCA C,：D A n A C=A,；.BC_L 平面 AC。，；BCu平面 BCE,二平面AC)J_平面BCE.解：(2)取 8 c 的中点R,连接。R,PR,在ACB,BCE中，O R,PR分别为中位线，：.O R/A C,PR/BE,：A D/BE,J.PQ/A D,：ACu平面 AC。，PRt平面 AC。,平面 AC。，同理OR平面AC。，,:P R C O R=R,P Ku平面 OP R,ORu平 面。P R,平面AC Q平面OP R,.BC1.AC,平面AC。与平面O P R的距离CR=Zc=返,2 25AACD=-X 1 X 1 =-,VQ.ACD=X XJ -=.Q 3 2 2 1 2故三棱锥QAC。的体积是定值，值为唱.1 9.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了 1 0 0人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3,整理数据得到如表：感染肺部疾病 未感染肺部疾病 总计吸电子烟 1 5不吸电子烟 5 0总计(1)完成2 X 2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率.参考公式及数据：K2=-、,-其中=a+b+c+”.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解：（1）由题意知，吸电子烟的有1 0 0 X-=2 5 （人），不吸电子烟的有1 0 0-2 5 =1+3p(X22例)0.0 5 00.0 1 00.0 0 50.0 0 13.84 16.6 3 57.87 91 0.82 87 5 （人），由此填表如下：由表中数据，计算心期费缴骤件等5W,感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟1 51 02 5不吸电子烟2 55 07 5总计4 06 01 0 0所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关;（2）用分层抽样方法抽取8 人，吸电子烟的有8义1=2（人），不吸电子烟的有6人，4p 2 1/1 29 A 4从这8 个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为P=f =母.已 72 0.己知函数/（工）=s i n x-ae 1（E R）.（1）定义f （%）的导函数为/（x）,/（，）（%）的导函数为了C O ,以此类推,若.2 0 2 0）（1）=$inL求函数f（2 x 6）的单调区间；（2）若。21,证明：/（X）（无）=s i n （x+卜 j）-ae 成立，贝（j =A+1 时，/+（x）=（/（x）=c os （x+k；-）-ae l =s i n 兀一）-ae1成立，所以/（x）=s i n （一+“-）-ae则,2 0 2 0）（1）=sin（i+2 0 2；工）-e=s i n l-=s i n l,可得。=0,所以/（x）=s i n x,f(2 x+-)=s i n(2 x+)TT TT TT令-F2攵T TW 2X+-卜2kit,kwZ,2 3 2解得-，+keZ,令-+2 k T t W 2 x_i-H2 ZJ K,keZ,2 3 2解得1 2 1 2依z,所以f(2x 4)的单调递增区间为-总 詈 E，单调递减区间为 +加，7 2+k n l，keZ.冗,依Z,(2)证明：要证/(x)ev 1,故只需证s i a r /令 g(x)=e 1-x,x 2 0,则 g(x)=ex -1,在(0,1)上，g(x)0,g(x)单调递增,所以 g (x)，g (1)=0,所以令 h(x)=x-s i n _ r,则(x)=1 -c os x 0,所 以 在(0,+8)上，h(x)单调递增，所以h(x)2h(0)=0,所以xs i n x,所以s i n xW xW e 1因为左右两边的不等号不能同时取到,所以 s i n x/所以/(x)2捉=|M M，由椭圆的定义可知，2 a=4&，2 c2 7 6 解得。=2&,c=J E，所 以/=/-。2=2 _2=8 -6=2,2 2所以曲线C的方程为2 _+匚=1.8 2(2)设 R (0,yo),j oe(-&，&)，s(0,-%),设 A (修，yi),B(M，”)直线P R的方程为y-l =y l.(x-2),-2直线P S的方程为y-1 =Y&+1 (x-2),2联立直线P R与椭圆的方程,消去 y 得(yo2-2 y0+2)x2+4 (1 -yo)yoc+4 y()2-8=0,可得 2xi -,Vo 一 2y。+22yo2-4所以为二 廿-,y0-2yo+22 2nrll-y0,2y0-4-y0+4y0-2贝()%=-t(-)+州=-；-,2 丫0-2yo+2 y0-2 y0+2联立直线P S与椭圆的方程，消去y得(yo2+2 o+2)F -4 (1+州)y0c+4 y02-8=0,所以2 X 2 =,4yo2-8所以M2y0+2y 0+22yo2-4所以y22y0+2y 0+2-yo2-4 yo-25y0+2y 0+2则 A(2 y02-4-yo2+4yo-2、2 2 )y(j _ 2 y(j+2 y0-2 y0+2，B(2 yo2-4y0 2+2 yo+2_ yQ2_4y产y/+2 yo+2),2 2-Vo-4了12-y0+4 y0-22 2所以 yn+22yn+/2 yn-2 yn+2-一2 y0-4 2 yo2-42 0y0 -2 y02(y02-2)o oy0+2 y0+2 yQ-2 y0+2则直线A 8的方程为y-2 2-y。-4 y0-2 y0-2 y02y0 +2 y0+22(y02-2)(x-2 yo2-42y0 +2 y 0+2),所 以y2gy。-2 y0y。2-n2 y0-2-%-2(y0-2)2(y02-2)-2 y202-2 y0-2*2 y。+2 y 0+2X2 cy0-2 y0y0 2+2 y0+24-y(2-4 y0-2y0 2+2 yo+2则设直线过定点(m,n),2 cy。-2 y02(y02-2)(x-in)+，则有-m(y02-2 y0)-2 y022-2 y0-22(y02-2)y。2+2 y 0+2则 y所以-m(yo2 2yo)(yo2+2yo+2)+2n(yo2-2)(yo2+2yo+2)=(-2yo2-2泗-2)(2y()-4),所 以-my(-2nly/-2fn+2/?iyo3+4 niy()2-i-4/nyo+2nyo4+4 ny()3+4 fi-4 ny()2-8nyo-84yo4+8比 -4yo配 比-4yo2+8，所以9+2 n=-4 解得 2 m+2 m+4 n=-4m=2n=-l所以直线AB过 定 点(2,-1).选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程,=+22 2.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 -mt,(帆wo,f 为参数)，以坐标原.y=mt点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(x )=返2（1）求直线/的直角坐标方程;（2）若直线/经过曲线C 的焦点T,且与曲绒C 交于N 两 点,求|刀 WH77VI.解：（1）直线/的极坐标方程为pcos（x4）=除 转 换 为 孚 P cosx-孚P sinx=-77 x=P cos 0根据 y=P s in 8 转换为直角坐标为x-y-1=0.tx2+y2=P 2f _ 2曲线C 的参数方程为X=m t,（?/0,r 为参数），转换为直角坐标方程为y2=,nx.ty=mt直线与X轴的交点坐标为（1,0）,故抛物线的焦点坐标为（1,0）,故抛物线的方程为J=4x.设直线的参数方程为4x=l+-y t;（r 为参数）代入抛物线的方程为J=4x,V2丫亍得到12-坛t-8=0（“和殳为A/和 非对应的参数），所以 t t2-8,故|0W|TN|=|fif2l=8.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=x-1|.(1)求不等式/(x)-f(2x+4)W 1的解集；(2)当x0恒成立，求实数a的取值范围.解:(1)/(x)-f (2x+4)W1 即为|x-C-|2x+3|近 1,等 价 为 卜 V 4 X1/，l-x+2 x+3 l|l-x-2 x-3 l 1 x-l-2 x-3 l解得 k W -3 或-1 WxV 1 或 1,所以解集为（小 W-3 或-1；(2)当 x0 恒成立,可得-1|+|-x-l|+x0,化为-1|-x-l+x 0,即 龙-1|1,可得or-1 1 或 w 1 -1 对x -1 恒成立，9即有a V*对x 0,x9由 x V -1 时，-2.x所以-2 或。0,可得实数。的取值范围是(-8,-2 U(0,+8).